中国石油大学 物理2-1 作业习题解答 7章

习题7

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7-3．在体积为2.0×10m 的容器中，有内能为 6.75×10J的刚性双原子分子理想气体。求：

(1) 气体的压强；(2)设分子总数为 5.4×1022 个，则分子的平均平动动能及气体的温度。

[解] (1)理想气体的内能 E?N?i2kT (1)

压强 p?nkT?NVkT (2)

由(1)、(2)两式可得 p?i2322E5V?1.35?10 Pa

2E5kN5(2) 由 E?N?又 w?

32kT?kT 则 T??1.38?10?23?362K

?21?362?7.5?10 J

7-4．容器内储有氧气，其压强为 p = 1.01×10 5 Pa，温度为 t= 27℃。求：(1)单位体积内的分子数；(2)分子的平均平动动能。 解：（1）由p?nkT 1.38?10?30033?23?21w?kT??1.38?10?300?76.21?10J （2）

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7-5．容器内某理想气体的温度T＝273K，压强p=1.00 ×10-3atm，密度为?n?pkT?1.01?10?235?2.44?10m

25-1?1.25g?m?3，求：

(1)气体的摩尔质量；(2)气体分子运动的方均根速率；(3)气体分子的平均平动动能和转动动能；(4)单位体积内气体分子的总平动动能；(5)0.3mol该气体的内能。

[解] (1) 气体的摩尔质量

Mmol?N0m?N0?kTp

?6.02?1023?1.25?10?3?1.38?10?3?23?27351.00?10?1.013?10?0.028kgmol

所以该气体是N2或CO (2) 由P?nkT 得 n?所以 m??n?PkT

?kTP?

3kT3P3?1.00?10?3所以 ?2?3kTm?kT?P????1.013?10?3?31.25?10?493ms

(3) 气体分子的平均平动动能

??32kT?32?1.38?10?23?273?5.65?10?21J

气体分子的转动动能

?2?22kT?1.38?10?23?273?3.77?10?21J

(4) 单位体积内气体分子的总平动动能

E?n?1?pkT?32kT?32p?32?1.00?10?3?1.013?105?1.52?102Jm3

(5) 该气体的内能

E?0.3Emol?0.3?i2RT?0.3?52?8.31?273?1.701?10J

3（删除）7-6．设N个粒子的系统的速率分布函数为:dNv=kdv (V>v>0，k为常量)，dNv=0 (v> V)，

(1) 画出分布函数图； (2)用N和v定出常量k； (3) 用V表示出算术平均速率和方均根

速率。

7-7．有N个质量均为m0的同种气体分子，f(v)是速率分布函数，N f(v)随速率的分布如图7-7所示。(1)说明曲线与横坐标所包围面积的含义；(2)由N和v0求a值；(3)求在速率v到3v间隔内的分子数；(4)

00Nf(v)a22求分子的平均平动动能。 解：（1）曲线下的面积表示总分子数 （2）根据图可得 ?a?vv?0Nf(v)???a??0(v0?v?0)(2v0?v?v0)(其他)?0Ov02v0v习题7-7图

总分子数可表示为：?Nf(v)dv?N， 1232av0?a(2v0?v0)?N v0a?N, a?02N3v00

（3）在速率v到3v间隔内的分子数为：

23v02?2v02Nf(v)dv??v0v02av03v0vdv??2v0adv?38av0?12av0?712av0

（4）速率分布函数为

?a(v0?v?0)?Nvv0??f(v)??a

(2v0?v?v0)?N?(其他)??0

则分子的平均平动动能为：

w???012m0vf(v)dv?2?v0012m0v2av0Nvdv??2v0v012m0v2aNdv?m0a8Nv0?37m0a6Nv0?331m0av024N3

又因为a?w?2N3v03，

?31362m0v0

31m0v024N?2N3v0

7-8．设地球大气是等温的，温度为17℃，海平面上的气压为P0=1.0×105pa，已知某地的海拔高度为h=2000 m，空气的摩尔质量29?10?3kg?mol?1，求该地的气压值。

解：p?p0ekT?p0eRT?1.01?10?e8.31?(273?17)?7.95?10Pa

7-9．试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率，取分子有效直径为

-10

3.5×10m，空气平均摩尔质量为29?10kg?mol。

?3?1?m0gz?Mgz5?29?10?3?10?20004解：??8RTπMkT2πdp?2?1.38?10-23?273-102?3.14??3.5?10?3?1.01?1025?6.85?10m

?1-8v?8?8.31?2733.14?29?102?8m?s9?1?4.46?10 m?s

?12z?v??4.46?106.85?10s?1?6.54?10 s

7-10．设氮分子的有效直径为10-10m，(1)求氮气在标准状态下的平均碰撞次数；(2)如果温度不变，气压降到1.33×10-4 Pa，则平均碰撞次数又为多少？ 解：（1）分子的平均速率 πM3.14?28?10由气体的压强公式可求得气体分子的数密度

v?8RT?8?8.31?273m?s?3?1?4.54?10 m?s2?1

n?pkT?1.013?101.38?102?235?273m?3?2.69?1025 m?3

平均碰撞次数

z?2n?dv?8-12?2.69?10 ?3.14??1025-10?2?4.54?102

?5.42?10次?s（2）温度不变的情况下，分子的平均速率不变，又因为

z?2n?dv?p2p122p?dvkT452，所以

z1z28?p1p2

7-1z2?z1?1.33?101.01?10?5.42?10?7.14?10次?s

7-11．设电子管内温度为300 K，如果要管内分子的平均自由程大于10cm时，则应将它抽到多大压强？(分子有效直径约为3.0×10-8 cm)。

解：气体分子的平均自由程为： ??12πdn2?kT2πdp2，要使自由程大于?0?10cm，

则有

kT2πdp2??0，最大气压为

p?kT2πd?02?1.38?10?23?300?102?3.14??3.0?10?2?0.1036Pa ?0.1

补充：

1. 一容积为10cm3的电子管，当温度为300K时，用真空泵把管内空气抽成压强为

5?10?6mmHg的真空，问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总转

动动能是多少?总动能是多少?

[解] 由理想气体状态方程 P?PVkT5?10?6NV5kT 得 ?10?10?300?6N???1.013?10760?1.38?10?23?1.61?1012

一个理想气体分子的平均平动动能为： e1?所以总的平均动能为：

E1?N32kT?PVkT?32kT?32PV?35?102?6i2kT?32kT

?1.013?107605?1.0?10?6?1?10?8 J

将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，而每一个双原子分子的平均转动动能为

e2?r2kT?22kT?kT

所以总的转动动能为：

E2?Ne2?PVkTkT?PV?5?10?6?1.013?107605?10?10?6?0.667?10?8 J

总动能Ek?E1?E2?1.667?10?8 J

?332. 容积为10?10m的容器以速率200ms匀速运动,容器中充有质量为50g，温度为18℃

的氢气。设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容器与外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子。

[解] 由能量守恒定律知 又因 ?Ek?MMmol12Mv2??Ek 52i2RT?MMmolRT

所以 ?T?NVMmol5Rv2?mv5k2?3.35?10?27?4?10?2345?1.38?10?1.9K

由 p?NVkT

?3?23?p?k??T?Mk?TmV?50?10?1.38?10?27?1.9?33.35?10?10?104?3.95?10Pa

3. 容积为30?10?3m3 的容器中，贮有20?10?3kg的气体，其压强为50.7?103Pa。求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率。

[解] 设容器内气体分子总数为N，则有N?该气体分子质量为 m?最概然速率为 vp?2kTm?2kTpVMkT?2pVM?2?50.7?103pVkT

MN?MkTpV

?30?10?3?320?10?3.89?102ms

平均速率为 v?8kT?1.60kTm?1.60pVM?1.60?50.7?103?30?10?3?3?m20?10?4.39?102ms

方均根速率

v2?3kTm?1.73kTm?1.73pVM?1.73?50.7?103?30?10?3?320?10?4.77?102ms

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