现代控制理论第3章答案

第三章习题

3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示：

u+-?a?x1y+-?x2+x3-+--?x4bcd图3.16 系统模拟结构图

解：由图可得：

x1??ax1?ux2??bx2x3??cx3?x2?x1?x1?x2?cx3 x4?x3?dx4y?x3????状态空间表达式为：

?????a1??x??x??0??2????x3??1????0???x4??y??001?0??x1??1??x??0??b00???2????u1?c0??x3??0?

?????01?d??x4??0?000?x由于x2、x3、x4与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与x3有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 （3）系统如下式：

?????1?0??x1??21???11?x??x???0?10??x???a0?u??2?????2???x3???00?2????x3????b0?? ?????c0d?y???x000??解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有a?0,b?0。

要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有c?0,d?0。 3-2时不变系统

??31??11?X??X???11?u1?3????

?11?y???X1?1???试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一：

??31??1A???,B??11?3????11M??BAB????111??11?,C???1???1?1?

-2-2?-2-2?? rankM?1?2,系统不能控。1??1???C??1?1? N??????CA?2?2?????44??rankN?2,系统能观。

方法二：将系统化为约旦标准形。

?I?A???3?1?12????3??1?0??3

?1??2，?2??4?1?则状态矢量：A1P1??1P1?P1????1??1? A2P2??2P2?P2????-1?

?11??22??11?-1T??? ?，T??111-1?????2??2?11????-31??11??-20?T-1AT??22???1-1???0-4? 11?1-3?????????2??2?11????11??11? T-1B??22?????11?11???00????2??2?11??11??20?CT????1-1???02? 1-1??????T-1B中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为0的列，系统可观。

3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数?i和?i

1????1?(1)A??1,b???1?,C??1?1? 0???2??解：构造能控阵：

M??b?1?1?1? Ab?????1?2?要使系统完全能控，则?1?1??2，即?1??2?1?0 构造能观阵：

?1??C??1 N???????CA???11??2?要使系统完全能观，则1??2???1，即?1??2?1?0 3-4设系统的传递函数是

y(s)s?a?3 u(s)s?10s2?27s?18

（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。 （3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。 解：(1) 方法1 ：W(s)?y(s)s?a ?u(s)(s?1)(s?3)(s?6)系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。 方法2：

a-1a?3a-6y(s)s?a??10?6?15 u(s)(s?1)(s?3)(s?6)s?1s?3s?6?1??1，?2??3，?3??6

??1X???0??0?a?1y???10?0?3??1??X??1?u????0?6???1??

a?3a?6??X?615?00系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

（2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型

10??0?0??x??0? u?? ?0x01????

????18?27?10???1??y??a10? x（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II型为

?0?? ?1x???0y??0?18??a??1? u0?27?x???? ?1?10???0??01? x 03-6已知系统的微分方程为：y?6y?11y?6y?6u 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：a0?6，a1?11，a2?6，a3?3，b0?6 系统的状态空间表达式为

?0?? ?0x????6y??600??0??0? u01?x???? ??11?6???1??0? x1?...传递函数为

0??s?1?W(s)?C(sI-A)-1B??600??0s?1????611s?6???1?0?6?0????s3?6s2?11s?6 ??1??其对偶系统的状态空间表达式为：

?00?6??6??? ?10?11?x??0? ux???? ???01?6???0??y??001? x传递函数为W(s)?6 32s?6s?11s?63-9已知系统的传递函数为

s2?6s?8W(s)?2

s?4s?3试求其能控标准型和能观标准型。

s2?6s?82s?5?1?2解：W(s)?2

s?4s?3s?4s?3系统的能控标准I型为

?01??0??x? ??x??1 ?u -3-4????y??52?x?u 能观标准II型为

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