导数中证明不等式技巧 - 构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转，

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导数中的不等式证明

导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段

命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法

命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用

命题角度1 构造函数

【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数f?x??1?lnxae1,g(x)?x??bx，若曲线y?f?x?与曲xex线y?g?x?的一个公共点是A?1,1?，且在点A处的切线互相垂直． （1）求a,b的值；

（2）证明：当x?1时，f?x??g(x)?【解析】（1）a?b??1； （2）g(x)??e12lnxe1??x，f?x??g(x)??1??x??x?0， xexxxex2?x?1?，则 x2． x令h?x??f?x??g(x)?h?x??1?h??x???lnxe1?x??x， xex1?lnxe1lnxe?x?2?1?2?x?1， 2xexxelnxe??1?0， x2exlnxe1?x??x?0， xex因为x?1，所以h??x??所以h?x?在?1.???单调递增，h?x??h?1??0，即1?所以当x?1时，f?x??g(x)?2． x【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.

命题角度2 放缩法

【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数f(x)?(x?b)(ex?a)(b?0)，在

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(?1,f(?1))处的切线方程为(e?1)x?ey?e?1?0.

（1）求a,b；

（2）若m?0，证明：f(x)?mx2?x. 【解析】（1）a?1，b?1；

（2）由（1）可知f(x)?(x?1)(ex?1)，f(0)?0,f??1??0， 由m?0，可得x?mx2?x， 令g(x)??x?1??ex?1??x，则g?(x)??x?2?ex?2， 当x??2时，g?(x)??x?2?ex?2??2?0，

当x??2时，设h(x)?g?(x)??x?2?ex?2，则h?(x)??x?3?ex?0， 故函数g?(x)在??2,???上单调递增，

又g?(0)?0，所以当x????,0?时，g?(x)?0，当x??0,???时，g?(x)?0， 所以函数g(x)在区间???,0?上单调递减，在区间?0,???上单调递增， 故g(x)?g(0)?0，即?x?1??ex?1??x?mx2?x. 故f(x)?mx2?x.

【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.

【典例3】（成都市2018届高中毕业班二诊理科）已知函数f?x??xlnx?ax?1,a?R. （1）当x?0时，若关于x的不等式f?x??0恒成立，求a的取值范围； （2）当n?N*时，证明：

n3?ln22?ln2?2n?42?ln2n?1n? nn?1【解析】（1）??1,???；

（2）设数列?an?,?bn?的前n项的和分别为Sn?nn,Tn?，则 2n?4n?1?1?S1?n?1?,由于an??，解得an?；

n?1n?2????S?Sn?2,???n?1?n同理，bn?1，

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