北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《数列》（理）及答案

北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练

数 列

一、选择、填空题

1、（2015年北京高考）设?an?是等差数列. 下列结论中正确的是

A.若a1?a2?0，则a2?a3?0 C.若0?a1?a2，则a2?

B.若a1?a3?0，则a1?a2?0 D.若a1?0，则(a2?a1)?a2?a3??0

a1a3

2、（2014年北京高考）若等差数列?an?满足a7?a8?a9?0，a7?a10?0，则当n?______时，

?an?的前n项和最大.

3、（2013年北京高考）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝__________；前n项和Sn＝__________.

4、（朝阳区2015届高三一模）设S n为等差数列通项公式

＝＿＿＿＿。

的前n 项和。若

，则

5、（东城区2015届高三二模）已知{an}为各项都是正数的等比数列，若a4?a8?4，则a5?a6?a7?

（A）4 （B）8 （C）16 （D）64

6、（丰台区2015届高三一模）在等比数列{an}中，a3?a4?4，a2?2，则公比q等于

(A) -2

(B) 1或-2

(C) 1

(D)1或2

7、（海淀区2015届高三二模）若等比数列{an}满足a2a6?64，a3a4?32，则公比q?_____；

22a12?a2???an? ．

8、（石景山区2015届高三一模）等差数列?an?中，am?之和为（ ） A．

11,ak?(m?k)，则该数列前mk项kmmkmk?1mkmk?1 B．?1 C． D．2222＊

9、（西城区2015届高三一模）若数列an满足a1 ??－2，且对于任意的m, n?N，都有am?n?am?an?, 则a3?? ；数列?? an??? 前10 项的和S10 ?? . 10、（大兴区2015届高三上学期期末）已知数列?an?为等差数列，若a1?a3?4，a2?a4?10，则

?an?的前n项和Sn?_____．

11、（丰台区2015届高三上学期期末）等差数列{an}的前n项和为Sn，如果a1?2，a3?a5?22，那么S3等于_____

12、（北京四中2015届高三上学期期中）在等差数列{an}中，已知a4?a8?16，则该数列前11项和S11＝ . 13、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）数列?an?的前n项和记为Sn，若

1,2an?1?Sn?0，n?1,2,...，则数列?an?的通项公式为an?_______________ 214、（东城区2015届高三4月综合练习（一））设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2?8，S4?12，a1?则{an}的公差d? ．

15、（）已知m,4,n是等差数列，那么(2)m?(2)n=______；mn的最大值为______

二、解答题 1、（2015

年北京高考）已知数列

?an?满足：a1?N*， a1?36，且

an?1?2an,an?18?n?1,2??． ??2a?36,a?18n.?n?记集合M?ann?N．

??（Ⅰ）若a1?6，写出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．

2、（2014年北京高考）对于数对序列P(a1,b1),(a2,b2),?,(an,bn)，记T1(P)?a1?b1，

Tk(P)?bk?max{Tk?1(P),a1?a2???ak}(2?k?n)，其中

max{Tk?1(P),a1?a2???ak}表示Tk?1(P)和a1?a2???ak两个数中最大的数，

（1）对于数对序列P(2,5),P(4,1)，求T1(P),T2(P)的值. （2）记

m为a,b,c,d四个数中最小值，对于由两个数对

(a,b),(c,d)组成的数对序列

试分别对m?a和m?d的两种情况比较T2(P)和T2(P')的大P(a,b),(c,d)和P'(a,b),(c,d)，小.

（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值.（只需写出结论）.

3、（2013年北京高考）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，?的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.

*

(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3，?，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1,2,3，?)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；

(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1,2,3，?)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.

4、（朝阳区2015届高三一模）若数列是数列（1）若数列（2）若数列

中不超过 f (m)的项数恰为b (m∈N * )，则称数列m

生成

的生成数列，称相应的函数 f (m)是 的控制函数。设 f (m) = m2。

单调递增，且所有项都是自然数， b1 =1，求a1； 单调递增，且所有项都是自然数， a 1= b1 ，求a1 ；

（3）若an = 2 n (n =1 ，2 ，3 ) ，是否存在 生成 的控制函数 g(n) = pn2 + qn +

r （其中常数p，q，r∈Z），使得数列

若不存在，说明理

也是数列{ } m b 的生成数列？若存在，求出 g (n)；

5、（东城区2015届高三二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1?a(a?3)，an?1?Sn?3n，设bn?Sn?3n，n?N?． (Ⅰ)求证：数列{bn}是等比数列；

(Ⅱ)若an?1?an，n?N?，求实数a的最小值； （Ⅲ）当a?4时，给出一个新数列{en}，其中en???3,n?1,设这个新数列的前n 项和为Cn，

b,n?2.?n若Cn可以写成tp (t,p?N?且t?1,p?1)的形式，则称Cn为“指数型和”．问{Cn}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．

6、（房山区2015届高三一模）下表给出一个“等差数阵”： 4 7 7 12 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ? ? ? ? ? ? ? a1j a2j a3j a4j ? ? ? ? ? ? ? ? （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ? ? ? ? ? ai1 ? ai2 ? ai3 ? ai4 ? ai5 ? aij ? 其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数. （I）写出a45的值； （II）写出aij的计算公式；

（III）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N?1可以分解成两个不是1的正整数之积..

7、（丰台区2015届高三一模）如果数列A：a1，a2，?，am(m?Z，且m?3)，满足：①ai?Z，

?mm?ai?(i?1,2,?,m)； ②a1?a2???am?1，那么称数列A为“Ω”数列． 22（Ⅰ）已知数列M：-2，1，3，-1；数列N：0，1，0，-1，1．试判断数列M，N是否为

“Ω”数列；

（Ⅱ）是否存在一个等差数列是“Ω”数列？请证明你的结论；

（Ⅲ）如果数列A是“Ω”数列，求证：数列A中必定存在若干项之和为0．

8、（海淀区2015届高三二模）对于数列A:a1,a2,L,an，经过变换T:交换A中某相邻两段的位置（数列A中的一项或连续的几项称为一段），得到数列T(A).例如，数列A:

a1,???,ai,ai?1,???,ai?p,ai?p?1,???,ai?p?q,ai?p?q?1,L,an（p?1，q?1）

144442444431444442444443MN经交换M,N两段位置，变换为数列T(A):

a1,???,ai,ai?p?1,???,ai?p?q,ai?1,???,ai?p,ai?p?q?1,L,an. 144444244444314444244443NM设A0是有穷数列，令Ak?1?T(Ak)(k?0,1,2,L).

（Ⅰ）如果数列A0为3,2,1，且A2为1,2,3. 写出数列A1；（写出一个即可）

（Ⅱ）如果数列A0为9,8,7,6,5,4,3,2,1，A1为5,4,9,8,7,6,3,2,1，A2为5,6,3,4,9,8,7,2,1，A5为1,2,3,4,5,6,7,8,9.写出数列A3,A4；（写出一组即可）

（Ⅲ）如果数列A0为等差数列：2015,2014,L,1，An为等差数列：1,2,L,2015，求n的最小值.

9、（石景山区2015届高三一模）设数列?an?满足： ①a1?1；

②所有项an?N*；

③1?a1?a2???an?an?1??．

设集合Am??n|an?m,m?N*?，将集合Am中的元素的最大值记为bm，即bm是数列?an?中满足不等式an?m的所有项的项数的最大值．我们称数列?bn?为数?an?的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．

(Ⅰ)若数列?an?的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列?an?； (Ⅱ)设an?3n?1，求数列?an?的伴随数列?bn?的前30项之和；

2(Ⅲ)若数列?an?的前n项和Sn?n?c（其中c常数），求数列?an?的伴随数列?bm? 的前m项和Tm．

10、（西城区2015届高三一模）已知点列

(k∈N*，k≥2)满足P 1（1，1），

一个成立．

⑴写出满足k = 4且P 4（1，1）的所有点列；

⑵证明：对于任意给定的k (k∈N*，k≥2)，不存在点列T ，使得

中有且只有

；

⑶当k = 2n ?1且

时，求 的最大值．

11、（朝阳区2015届高三上学期期末）若有穷数列a1，a2，a3,?,am（m是正整数）满足条件：则称其为“对称数列”．例如，“对称数列”． 1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是ai?am?i?1(i?1,2,3,?,m)，

（Ⅰ）若{bn}是25项的“对称数列”，且b13,b14,b15,?，b25是首项为1，公比为2的等比数列．求

{bn}的所有项和S；

（Ⅱ）若{cn}是50项的“对称数列”，且c26,c27,c28,?，c50是首项为1，公差为2的等差数列．求

{cn}的前n项和Sn，1?n?50,n?N?.

12、（东城区2015届高三上学期期末）已知数列{an}是等差数列，满足a2?3，a5?6，数列

{bn?2an}是公比为3等比数列，且b2?2a2?9．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Sn．

13、（北京四中2015届高三上学期期中）已知数列{an}满足：a1?1，2an?1?2an?1,n?N?.数

?1?列{bn}的前n项和为Sn，Sn?9????3?n?2,n?N?.

（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn?an?bn，n?N.求数列{cn}的前n项和Tn.

14、（东城区示范校2015届高三上学期综合能力测试）给定正奇数n?n?5?，数列?an?：

?a1,a2,...,an是1，2，?，n的一个排列，定义E（a1,a2，?，an）?|a1?1|?|a2?2|?...?|an?n|为数列?an?：a1，a2，?，an的位差和。

（I）当n?5时，求数列?an?：1，3，4，2，5的位差和；

（II）若位差和E（a1，a2，?，an）=4，求满足条件的数列?an?：a1，a2，?，an的个

数；

2n?1（III）若位差和E?a1,a2,...,an??，求满足条件的数列?an?：a1,a2,...,an的个

2数。

15、（北京市朝阳区2015届高三第二次综合练习）已知数列，是正整数1，2，3，称

为H数列． （Ⅰ）写出满足（Ⅱ）写出一个满足（Ⅲ）在H数列

证：

或

中，记．

的所有H数列

；

的

数列

的通项公式；

是公差为d的等差数列，求

，n的一个全排列．若对每个

都有

或3，则

．若数列

参考答案

一、选择、填空题 1、C

2解析：d?0 a1a3??a2?d??a2?d??a2?d222?a2?a2?d2?a2?a1a3

2、8

由等差数列的性质，a7?a8?a9?3a8，a7?a10?a8?a9，于是有a8?0，a8?a9?0，故a9?0．故S8?S7，S9?S8，S8为{an}的前n 项和Sn中的最大值

3、答案：2 2

n＋1

－2

解析：由题意知q?2

a3?a540??2.

a2?a4202

由a2＋a4＝a2(1＋q)＝a1q(1＋q)＝20，

2?1?2n?n＋1

∴a1＝2.∴Sn＝＝2－2.

1?24、答案：

5、B

4n?16、B 7、2， 8、C

39、答案：－8，682

?1,n?1,??232510、n?n 11、15 12、88 13、an??

122??n,n?2??214、－1 15、16,16

二、解答题

1、解析:（Ⅰ）6，12，24．

（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数．

?2an,an?18,a?由n?1? 可归纳证明对任意n?k，an是3的倍数．

2a?36,a?18n?n如果k?1，则M的所有元素都是3的倍数．

如果k?1，因为ak?2ak?1或ak?2ak?1?36，所以2ak?1是3的倍数，于是ak?1是3的倍数．类

似可得，ak?2,?,a1都是3的倍数．从而对任意n?1，an是3的倍数．因此集合M的所有元素都是3的倍数．

综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数．

?2an?1,an?1?18,（Ⅲ）由a1?36，an??可归纳证明an?36(n?2,3,?)．

?2an?1?36,an?1?18?2a1,a1?18,a?因为a1是正整数，2? 所以a2是2的倍数．

2a?36,a?181?1从而当n?3时，an是2的倍数．

如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n，an是3的倍数．

12,24,36}．这时M的元素的个数不超过5． 因此当n?3时，an?{如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知对所有正整数n，an不是3的倍数．

}．这时M的元素的个数不超过8． 因此当n?3时，an?{4,8,16,20,28,32当a1

2、⑴T1?P??2?5?7,T2?P??1?max?T1?P??2?4??1?max?7?6??8; ⑵当m?a时：

?1时，M?{1,2,4,8,16,20,28,32}共8个元素．综上可知，集合M元素个数的最大值为8．

T1?P??a?b，T2?P??d?max?a?b?a?c??a?d?max?b?c?；

T1?P???c?d，T2?P???b?max?c?d?c?a??b?c?max?a?d??b?c?d； 因为a是a?b?c?d中最小的数，所以a?max?b?c?≤b?c，从而T2?P?≤T2?P??； 当m?d时，

T1?P??a?b，T2?P??d?max?a?b?a?c??a?d?max?b?c?；

T1?P???c?d，T2?P???b?max?c?d?c?a??b?c?max?a?d??a?b?c； 因为d是a?b?c?d中最小的数，所以d?max?b?c?≤b?c，从而T2?P?≤T2?P??。 综上，这两种情况下都有T2?P?≤T2?P??。

⑶数列序列P:?4,6?，?11,11?，?16,11?，?11,8?，?5,2?的T5?P?的值最小；

T1?P??10，T2?P??26，T3?P??42，T4?P??50，T5?P??52.

3、解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.

(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0， 所以a1≤a2≤?≤an≤?.

因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1,2,3，?)． (必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1,2,3，?)， 所以An＝Bn＋dn≤Bn.

又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1. 于是，An＝an，Bn＝an＋1，

因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，

即{an}是公差为d的等差数列． (3)因为a1＝2，d1＝1，

所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1. 故对任意n≥1，an≥B1＝1.

假设{an}(n≥2)中存在大于2的项． 设m为满足am＞2的最小正整数， 则m≥2，并且对任意1≤k＜m，ak≤2. 又因为a1＝2，所以Am－1＝2，且Am＝am＞2.

于是，Bm＝Am－dm＞2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}≥2. 故dm－1＝Am－1－Bm－1≤2－2＝0，与dm－1＝1矛盾．

所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2. 因为对任意n≥1，an≤2＝a1， 所以An＝2.

故Bn＝An－dn＝2－1＝1.

因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1. 4、

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