高中数学复习学(教)案(第8讲)函数的奇偶性周期性

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高考要求了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法掌握

函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题知识点归纳 1

2奇偶函数的性质：

（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图

象关于原点对称；

3f(x)为偶函数 f(x) f(|x|)4f(x)的定义域包含0，则f(0) 05理，但必须注意使定义域不受影响；

6

7

f(x) f( x) 0，

f(x)f( x)

1

8f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=

1应用定义的等价形式：f( x)= f(x) f( x) f(x)=0；

2讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，要重视这一

点；

30，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非

充分非必要条件；

4y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性教育资料免费下载

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函数f(x)的周期，一般所说的周期是指函数的最小正周期一定是无限集对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映

这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求（5）函数的周期性

定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f(x T) f(x)恒成立

则f(x)叫做周期函数，T 例：（1）若函数f(x)在R上是奇函数，且在 1，0 上是增函数，且

f(x 2) f(x)

则①f(x)关于 对称；②f(x)的周期为 ； ③f(x)在（1，2）是 函数（增、减）；

x④若x （0，1）时，f(x)=2，则f(log

18

12

) （2）设f(x)是定义在( , )上，以2为周期的周期函数，且

f(x)为偶函数，在区间[2，3]上，f(x)= 2(x 3) 4,则

2

x [0,2]时，f

(x)题型讲解1

例y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是 （ ）

A B2 C3 D4

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错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确 若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零2

复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的，因变量y

通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：

(1)单调性规律

如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么

若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数；若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数

(2)奇偶性规律 若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数

例6乙两地相距Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km／h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km／h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；

(2)

分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)

故所求函数及其定义域为

但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过ckm／h，所以(2)的解决需要

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论函数的增减性来解决

由于v1v2

＞0，v2-v1＞0

，并且

又

S＞0，所以

即

则当v=c时，y取最小值

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说明：此题是1997c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大例1

（1）f(x) (x （2）f(x)

lg(1 x)|x 2| 2

2

2

；

2

x x

（3）f(x)

2

x x

(x 0)

(x 0)

解：（1）由

1 x1 x

0，得定义域为[ 1,1)，关于原点不对称，∴f(x)为非

奇非偶函数2

1 x 0

（2）由 得定义域为( 1,0) (0,1)，

2 |x 2| 2 0

∴f(x)

lg(1 x) (x 2) 2

2

2

lg(1 x)

x

2

2

，

∵f( x)

lg[1 ( x)]

( x)

2

2

lg(1 x)

x

2

2

f(x) ∴f(x)为偶函数

22

（3）当x 0时， x 0，则f( x) ( x) x (x x) f(x)，

22

当x 0时， x 0，则f( x) ( x) x ( x x) f(x)，

综上所述，对任意的x ( , )，都有f( x) f(x)，∴f(x)为奇函数

例2f(x)对一切x,y R，都有f(x y) f(x) f(y)，

（1）求证：f(x)是奇函数；（2）若f( 3) a，用a表示f教育资料免费下载

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解：（1）显然f(x)的定义域是R，它关于原点对称

f(x y) f(x) f(y)中，

在

令

y x

，得

f(0 )fx (

)f ，x令

x y 0

，得

f(0 )f

(0f，)

∴f(0) 0，∴f(x) f( x) 0，即f( x) f(x)， ∴f(x)是奇函数（2）由f( 3) a，f(x y) f(x) f(y)及f(x)是奇函数， 得f(12) 2f(6) 4f(3) 4f( 3) 4a例3（1）已知f(x)是R上的奇函数，且当x (0,

)时，

f(x)

x( x，

)

x(1

则f

(x)的解析式为f(x)

x(1

x 0

x 0

x R，（2）（ 《高考A计划》考点3“智能训练第4题”）已知f(x)是偶函数，

当x 0时，f(x)为增函数，若x1 0,x2 0，且|x1| |x2|，则 （ B ）

Af( x1) f( x2) Bf( x1) f( x2)

C f(x1) f( x2) D f(x1) f( x2)

2

例4a为实数，函数f(x) x |x a| 1，x R（1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求 f(x)教育资料免费下载

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解：（1）当a 0时，f( x) ( x2) | x| 1 f(x)，此时f(x)为偶函数；

当a 0时，f(a) a2 1，f( a) a2 2|a| 1， ∴f( a) f(a),f( a) f(a), 此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数（2）①当x a时，函数f(x) x x a 1 (x 若a

12

2

12

) a

2

34

，

，则函数f(x)在( ,a]上单调递减，∴函数f(x)在( ,a]上的

最小值为f(a) a2 1； 若a

f(12

12

，函数f(x)在( ,a]上的最小值为f()

2

134

a，且

) f(a)

②当x a时，函数f(x) x x a 1 (x 若a

f(

12

12

2

12

) a

2

34

12

，

)

34

a，且

，则函数f(x)在[a, )上的最小值为f(

) f(a)； 12

若a ，则函数f(x)在[a, )上单调递增，∴函数f(x)在[a, )上

2

的最小值f(a) a 1综上，当a

12

时，函数f(x)的最小值是

2

34

a，当

12

a

12

时，函

数f(x)的最小值是a 1， 当a

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12

，函数f(x)的最小值是a

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例4已知函数y f(x)是定义在R上的周期函数，周期T 5，函数

y f(x)( 1 x 1)是奇函数又知y f(x)在[0,1]上是一次函数，在

[1,4]上是二次函数，且在x 2时函数取得最小值 5

①证明：f(1) f(4 )；0②求y f(x),x [1,4]的解析式；③求

y f(x)在[4,9]上的解析式解：∵f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4) f(4 5) f( 1)， 又∵y f(x)( 1 x 1)是奇函数，∴f(1) f( 1) f(4)， ∴f(1) f(4) 0②当x [1,4]时，由题意可设f(x) a(x 2)2 5 (a 0)，

22

由f(1) f(4) 0得a(1 2) 5 a(4 2) 5 0，∴a 2，

∴f(x) 2(x 2) 5(1 x 4)2

③∵y f(x)( 1 x 1)是奇函数，∴f(0) 0，

又知y f(x)在[0,1]上是一次函数，∴可设f(x) kx(0 x 1)，而

f(1) 2(1 2) 5 3，

2

∴k 3，∴当0 x 1时，f(x) 3x，

从而当 1 x 0时，f(x) f( x) 3，x故 1 x 1时，f(x) 3教育资料免费下载

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∴当4 x 6时，

有

1x 5 ，

∴f(x) f(x 5) 3(x 5) 3x 当

6 x 9

时，1 x ，

∴f(x) f(x 5) 2[(x 5) 2]2 5 2(x 7)2 5 4 x 6 3x 15,

∴f(x) 2

6 x 9 2(x 7) 5,

学生练习1f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函数，则

2函数F(x)=(1+2/(2x 1))f(x)(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x)

( A )

(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数，又是偶函数 (D)非奇非偶函数

3f(x)=x2+lg(x+x 1),若f(a)=M,则f( a)等于 （ A ）

2

(A)2a M (B)M 2a (C)2M a (D)a 2M 5若对正常数m和任意实数x,等式f(x m)

2222

1 f(x)1 f(x)

成立,则下列说法

正确的是 ( )

A 函数f(x)是周期函数,最小正周期为2m

B函数f(x)是奇函数,但不是周期函数

C函数f(x)是周期函数,最小正周期为4 m

D函数f(x)是偶函数,但不是周期函数

(利用周期函数的定义证明:C)

4f(x) 是奇函数，且当x (0,1)时，f(x)=ln(1/(1+x)),

那么当x ( 1,0)时，

f(x)= 5试将函数y=2表示为一个奇函数与一个偶函数之和

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(1)f(x)=(1 cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)（非奇非偶函数）;(2)f(x)=x/(ax 1)+x/2 (a>0且a≠1)(偶函数）

2 x(x 1)x 0

(3)f(x)= 2

x(x 1)x 0

奇偶性的判别方法

7f(x),g(x)都是奇函数，f(x)>0的解集是(a,b),g(x)>0的解集是(a/2,b/2),

22

则f(x)g(x)>0

8( ,+ )的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间[0,+ )上的

图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式①f(b) f( a)>g(a) g( b);②f(b) f( a)<g(a) g( b);

③f(a) f( b)>g(b) g( a);④f(a) f( b)<g(b) g( a)其中正确不等式的序号是

9已知函数f(x)的周期为4，且等式f(2+x)=f(2 x)对一切x R恒成立，求证f(x)为偶函数；

(2)设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x+4)=f(x),当x [4,6]时，f(x)=2+1,求f(x)在区间[ 2,0]上的表达式 (2 x+4+1) ( 2 x 0))

x

课前后备注

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c5nj.html