初三5-2-3菱形知识点、经典例题及练习题带答案

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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号： ______________ 副校长/组长签字： 签字日期： 学 员 编 号 ： 年 级 ：初三 课 时 数 ： 学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题 授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点 菱形 【考纲说明】

1、 掌握菱形的性质及判定有关定理，会进行菱形的判定；

2、 能够联系平行四边形及正方形等有关判定定理进行解题，掌握数形结合思想。

【趣味链接】

老师给同学们出了一道思考题，现在又用细木棍拼成的两个一样的菱形，如下图，现在只能移动两根木棍，使这两个菱形变成一个菱形，你能想到怎么移动吗？

【知识梳理】

一、平行四边形

1、定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示：平行四边形用符号“□ ”来表示。 2、平行四边形性质：

平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分

3、平行四边形的面积等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边

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的距离，即对应的高。 4、平行四边形的判定：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形 从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。 二、菱形

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等） 2、性质：

（1）边：四条边都相等； （2）角：对角相等、邻角互补；

（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角； （4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形． 3、菱形的判定方法:

一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 4、识别菱形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等． （2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直． （3）说明四边形ABCD的四条相等． 5、面积

设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=

1ab 2【经典例题】

2

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【例1】（绵阳市2013年）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ） A．

25282128cm B．cm C．cm D．cm

21252015

【例2】（2013?曲靖）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是（ ） A、梯形 B、矩形 C、菱形D、正方形 【例3】（2013凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ） A．14 B．15 C．16 D．17

【例4】（2013菏泽）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120° 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）

A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°

【例5】（2013年潍坊市）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件 ____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）

【例6】（2013?黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为 ．

例6图 例7图

3

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【例7】（2013?宁夏）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数

的图象经过点C，则k的值为 ．

【例8】（2013?黄冈）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．

【例9】（2013?常州）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．

求证：四边形ABCD是菱形．

【例10】（2013安顺）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．

【课堂练习】

1、（2012?泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ）

4

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24 A． 2、（2013?泰州）对角线互相 的平行四边形是菱形．

3、(2013年临沂)如图，菱形ABCD中，AB＝4，?B?60,AE?BC,AF?CD,垂足分别为E,F,连接EF,则的△AEF的面积是

.

o16 B． C． 4 D． 2

4、（2013?牡丹江）如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 .

5、（2013?攀枝花）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论： ①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD 其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）．

6、（2013四川宜宾）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为 ．

5

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第6题图 第7题图

7、（2013年广州市）如图8，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长.

8、（2013泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE． （2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；

（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．

【课后作业】

1、（2013?玉林）如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：

甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．

乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形． 根据两人的作法可判断（ ）

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甲正确，乙错误A ． 2、(2013年南京)如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2 cm， ?A=120?，则EF= cm。

B． 乙正确，甲错误 C． 甲、乙均正确 D． 甲、乙均错误

第2题图 第4题图 3、（2013?淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 ．

4、（2013?内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．

5、（2013?恩施州）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形．

6、（2013?宜昌）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．

（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；

（2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长．

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7、（2013?遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：

（1）△ADE≌△CDF； （2）四边形ABCD是菱形．

8、(2013年临沂)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF. （1）求证：AF=DC；

（2）若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论.

AFEBDC

【课后反馈】

本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________ 本次课后作业：___________________________________________________________________________________

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需要家长协助：____________________________________________________________________________________ 家长意见：________________________________________________________________________________________

【参考答案】

【经典例题】

1、B 2、C 3、C 4、D 5、OA=OC或AD=BC或AD//BC或AB=BC等 8、证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°， ∵DH⊥AB，∴OH=OB，∴∠OHB=∠OBH， 又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC， 在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，

在Rt△GHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO． 9、证明：∵∠B=60°，AB=AC，

∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC，∴∠ACB=60°，∠FAC=∠ACE=120°， ∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠B=∠D=60°， ∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形．

10、（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC， 又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形， 又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；

（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．

【课堂练习】

1、C 2、垂直 3、

33 4、

（）n﹣1

5、①③④ 6、20

7、解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O， ∴AC⊥BD，DO=BO，

9

6、 7、﹣6

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∵AB=5，AO=4，∴BO==3，∴BD=2BO=2×3=6．

8、（1）证明：∵在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC=∠DAC， ∵在△ABF和△ADF中

，

∴△ABF≌△ADF，∴∠AFD=∠AFB， ∵∠AFB=∠AFE，∴∠AFD=∠CFE； （2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD， 又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD，∴AD=CD，

∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形； （3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，

理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF， 在△BCF和△DCF中

，

∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CBF=∠CDF， ∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠EFD=∠BCD． 【课后作业】

1、C 2、3 3、3 4、5 5、证明：如图，连接AC、BD， ∵AD∥BC，AB=CD，∴AC=BD，

∵E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ABC中，EF=AC， 在△ADC中，GH=AC，∴EF=GH=AC，

同理可得，HE=FG=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH为菱形． 6、解：（1）菱形．

理由：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，∴四边形AEDF是菱形；

（2）连接EF，∵AE=AF，∠A=60°，∴△EAF是等边三角形，∴EF=AE=8厘米． 7、解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC∴∠AED=∠CFD=90°，

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∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C， ∵在△AED和△CFD中∴△AED≌△CFD（AAS）；

（2）∵△AED≌△CFD，∴AD=CD，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形． 8、解析：证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE=ED.

∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE, ∠FAE=∠BDE,∴△AFE≌△DBE. ∴AF=DB. ∵AD是BC边上的中点，∴DB=DC,AF=DC

（2）四边形ADCF是菱形.

理由：由（1）知，AF=DC,∵AF∥CD, ∴四边形ADCF是平行四边形. 又∵AB⊥AC, ∴△ABC是直角三角形 ∵AD是BC边上的中线, ∴AD?

1BC?DC. ∴平行四边形ADCF是菱形. 211

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