结构化学 郭用猷第二版 课后习题答案第二章到第五章
更新时间:2023-11-16 18:05:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第二章 原子结构
习 题
2.1 氢原子薛定谔方程中的能量E包含哪些能量? 2.2 令?(r,?,?)?R(r)Y(?,?)?R(r)?(?)?(?)
将单电子原子的薛定谔方程分解为3个方程。
2.3 氢原子薛定谔方程是否具有形为??(1?ar)e?br的解?若有,求a、b和能量E。
2.4 若取变分函数为??e??r,式中?为变分参数,试用变分法求H原子的基态能量和波函数。 2.5 取变分函数为??e??r,式中?为变分参数,试用变分法求H原子的基态能量,并与其1s态能量对比。
2.6 分别求氢原子1s电子和2s电子离核的平均距离r,并进行比较。 2.7求氢原子2p电子离核的平均距离r。
2.8 波函数?3d2有多少节面?用方程把这些节面表示出来。这些节面将空间分成几个区域?
z22.9 验证氢原子波函数?1s和?2p是正交的,?2p和?2p也是正交的。
zxy2.10 求氢原子2p和3d电子几率密度最大值离核的距离r。 2.11 求氢原子2pz电子出现在??45?的圆锥的几率。 2.12 求氢原子3dz2电子出现在??60?的圆锥内的几率。
2.13 比较氢原子中2px和2pz电子出现在相同半径圆球内的几率大小。
2.14 比较H中2s电子,He+中2s电子和He (1s12s1)中2s电子能量的大小。 2.15 求氦原子第2电离能。
2.16 实验测得O7+的电离能是867.09 eV,试与按量子力学所得结果进行比较。 2.17 实验测得C5+的电离能是489.98 eV, 试与按量子力学所得结果进行比较。 2.18不查表,求?3dxy的角度部分。
2.19 不查表,给出下列氢原子波函数的角度部分Y(不需要归一化)
(1) 2px (2) 3s (3) 3px (4) 4dx2?y2
2.20求氢原子2px 电子出现在p1(r,π/3,π/4)和p2(r,π/6,π/8)两处的几率密度之比。
2.21 一H原子波函数有一个径节面,两个角节面,该波函数的主量子数n和角量子数l各是多少? 2.22 以p3组态为例,证明半充满壳层的电子在空间的分布是球对称的。 2.23以p6组态为例,证明全充满壳层的电子在空间的分布是球对称的。 2.24 证明对于仅是r的函数的s态?ns?l?0?,径向分布函数Dnl可以写作
Dnl?r??4?r2?ns
2.25 求处于1s态的H原子中的电子势能平均值。 2.26 试求氢原子波函数?2s的
(1) 径向分布函数极大值的半径; (2) 几率密度极大值半径; (3) 节面半径。
2.27 画出氢原子轨道4f5z2?3zr2的角度分布图。
22.28 画出原子轨道npx的角度分布图在xy平面上的截面图 2.29 画出原子轨道3dz2的角度分布图
?。 ?、L?、L2.30 求角动量L的3个分量在直角坐标系中的算符Lzyx2.31 氢原子中处于2pz的电子,其角动量在x轴和y轴上的投影是否具有确定值?若有,求其值;若
没有,求其平均值。
1
2.32氢原子中处于2px的电子,其角动量在x, y轴和z轴上的投影是否具有确定值?若有,求其值。 2.33 氢原子中处于2px的电子,测量其角动量z分量,得什么结果? 2.34 氢原子中处于3dxy的电子,测量其角动量z分量,得什么结果?
2.35 氢原子中处于??c1?311?c2?310 (?, ?321, ?310都是归一化的)电子,其Lz和L2有无确定值?若有,
求其确定值;若没有,求其平均值。
2.36 氢原子中,函数??c1?210?c2?211?c3?311 (?,?210,?211,?311都是归一化的)所描述的状态,请给
出其
R出现的几率; 22(2) 角动量的平均值(以为单位),角动量2出现的几率;
(3) 角动量z分量的平均值(以为单位),角动量z分量2出现的几率。
2.37 氢原子中,函数??c1?2px?c2?3py?c3?4pz (?,?2px,?3py,?4pz都是归一化的)所描述的状态,请
(1)能量的平均值(以R为单位),能量?给出其
R出现的几率; 22(2) 角动量的平均值(以为单位),角动量2出现的几率;
(3) 角动量z分量的平均值(以为单位),角动量z分量2出现的几率。
?的本征函数,哪些是L2的本征函数,哪些是L?的本2.38 ?211, ?321, ?3dz2和???320??322中哪些是Hz(1) 能量的平均值(以R为单位),能量?征函数。
?的本征函数?若是,本征值是多少? 2.39 函数x?iy,x?iy是否是算符Lz2.40 求氢原子中处于?321的电子,其角动量l与z轴的夹角。
2.41 求氢原子3p电子的总角动量j与z轴的夹角。
2.42 氢原子中l=2的电子的自旋角动量与轨道角动量的相对方向有哪些? 2.43 用氦原子变分法结果求Li原子的第2电离能。
2.44 由氦原子基态能量的实验结果为-79.0 eV,求1s电子间的屏蔽系数。 2.45 用斯莱特规则求Be原子基组态能量。 2.46 求N原子第1电离能。 2.47 求C原子第1电离能。
2.48 写出Be原子基组态的行列式波函数。
2
习 题 详 解
2.1氢原子薛定谔方程中的能量E包含哪些能量?
答:氢原子薛定谔方程中的能量E包含电子相对于原子核的运动的动能、电子与原子核之间的吸引
能。
2.2令?(r,?,?)?R(r)Y(?,?)?R(r)?(?)?(?)将单电子原子的薛定谔方程分解为3个方程。 解:将?(r,?,?)?R(r)Y(?,?)带入定谔方程
2mer2?2?1??1?2?[E?V(r)]}RY=0 (1) {(r)+2(sin?)+2222?r?rrsin?????rsin???r2两边乘以?,且移项,得
2mer21?21??1d2d}Y (sin?)?(rR)?2(E?V)??{22Ysin???Ysin?????Rddr令两边等于同一常数β,于是分解为两个方程:
2mr2d2d(rR)+2(E?V)R??R (2) drdr1?2Y1??Y??Y (3) ?(sin?)?2sin???2sin?????再令Y(?,?)??(?)?(?),带入方程(3)
1?2?1????[sin?]?2?2?????0sin???sin?????
两边除以Y,移项得
1?2?1???(sin?)?????sin2???2 ?sin?????两边乘以sin2?,得
1?2?sin????2 (4)(sin?)??sin???2????????
今两边等于同一常数?,于是又可将方程(4)方程分解为下列两个方程
1dd(sin??)??sin2??? (5)
sin?d?d?d2?=??? (6) 2d?这样我们将关于?(r,?,?)的方程(1),分解成R(r),?(?)和?(?)三个常微分方程(2),(5)和(6), 于是,解方程(1)归结为解方程(2),(5)和(6)。
2.3 氢原子薛定谔方程是否具有形为??(1?ar)e?br的解?若有,求a、b和能量E。
?的本征值方程为 证明如下:由于?只是r的函数,故H1d2de2(?(r)?)??E? 22merdrdr4??0r2mee2d2?2d?2meE或者2??2????0 2drrdr4??0rd?式中?ae?br?b(1?ar)e?br?ae?br?be?br?abre?br
dr
3
2
d??br2?br?br2?br?br2?br?br??abe?be?abe?abe??2abe?be?e 2dr代入且除以e?br
2meE2meEar2mee22mee2a2a2b22?2ab?b?abr???2ab?2????0 2rr4??0r24??02上式为恒等式,所以有:
?2meE2mee2a2??0??4ab?b?224??0??22meEa2meE2ab??0?b??0?22??2mee2?0?2a?2b?24??0?(1)(2) (3)22mee2amee2(1)-(2)得:?4ab? ?0,即b?224??08??0me24e将b代入(2),E???2me64?2?20424me??222e128??0??R 4
222mee22me2e2memeee将b代入(3),2a?2b?????2224??028??4??4000??mee21 a????8??022a04??02mee4式中a0??,R?2mee32?2?02mee21 b??8??022a02.4若取变分函数为??e??r,式中?为变分参数,试用变分法求H原子的基态能量和波函数。 解: E?**???H?d?2
???d??2?r*
???d???e4?r2dr?4??r2e?2?rdr
?0根据积分公式?xne?axdx?有?r2e?2?rdr?n! an?12!1? (2?)34?31!1?2?rredr?? 22?(2?)4?*???d??? ?3d2?d?2??r??r??e ???e,因为 2drdr2d22de2*???r??r2?H?d??e{?(?)?}e4?rdr 2??2medrrdr4??0r
4
2?4?e222?2?r?2?r????redr???redr??re2?rdr
meme?02?2214?21e21????3???2??2me4?me4??04???22e12me?me?4?0?2?21?21e21????d??222?*H2me?me?4?0?2e2e2?222E?????????????*?2mm4??2m4????d?ee0e0?3????21?212
2mee2dEe21
????0,????d?me4??04??02a0??e?r/a0
将?归一化得到:??me2e4E??2me16?2?022421?r/a0 e?a032mee2mee4e2???4??04??0232?2?02?mee216??0222??mee232??0222??R
2.5取变分函数为??e??r,式中?为变分参数,试用变分法求H原子的基态能量,并与其1s态能量对比。
解: 氢原子的哈密顿算符为
22222ed2de2??? H????(2?)?2m4??0r2mdrrdr4??0r??d??H? W????d?**式中??d??e??*??2?r24?rdr?4??re22?2?r2dr
按积分公式:xe0?2n?ax2dx?1?3?5?(2n?1)?
2n?1ana? ?2?3?4?2?rredr? ?32?22???*所以:???d??
2?2?d2??rd??r??r?4?2r2e??r?2?e??r ? e??2?re,2edrdr22d2de2*???r2??r22? ??H?d???e(???)e?4?rdr22medrmerdr4??0r得:re2?2?r2dr?18?222222 ???n?ax?xedx?08??me224?2?r?redr?22212?e??r2e?2?rdr??re?2?rdrme?022 按积分公式
n! an?15
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