材料成形原理复习

6 试写出“固相无扩散，液相只有有限扩散”条件下“成分过冷”的判据，并分析哪些条件有助于形成“成分过冷”。

GmLC0(1?K0)?RDLK0

“固相无扩散，液相只有有限扩散”条件下“成分过冷”的判据：

下列条件有助于形成“成分过冷”：

(1)液相中温度梯度GL小，即温度场不陡。(2)晶体生长速度快（R大）。(3)液相线斜率mL大。

(4)原始成分浓度C0高。(5)液相中溶质扩散系数DL低。(6)K0<1时，K0小；K0>1时，K0大。

7 写出成分过冷判别式（在“固相无扩散，液相为有限扩散”条件下），讨论溶质原始含量C0、晶体生长速度R、界面前沿液相中的温度梯度GL对成分过冷程度的影响，并以图示或文字描述它们对合金单相固溶体结晶形貌的影响。

GLmlC0(1?K0)?RK0答：成分过冷判别式为：；

（1） 随着C0增加，成分过冷程度增加； （2） 随着R增加，成分过冷程度增加； （3） 随着GL减小，成分过冷程度增加；

如图所示，当C0一定时，GL减小，或R增加，晶体形貌由平面晶依次发展为胞状树枝晶、柱状树枝晶、等轴树枝晶；而当GL、R一定时，随C0的增加晶体形貌也同样由平面晶依次发展为胞状树枝晶、柱状树枝晶、等轴树枝晶。

8.常见焊缝中的夹杂物有几类，它们会对焊缝产生哪些危害？（6分）

答：（1）氧化物夹杂。主要降低焊缝金属的韧性。

（2）氮化物夹杂。在时效过程中以针状分布在晶粒上或穿过晶界，使焊缝金属的塑性、韧性急剧下降。

（3）硫化物夹杂。硫从过饱和固溶体中析出，形成硫化物夹杂，以MnS和FeS形式存在于焊缝中。FeS沿晶界析出与FeO形成低熔点共晶，增加热裂纹生成的敏感性。

9. .说明焊接定义，焊接的物理本质是什么？采取哪些工艺措施可以实现焊接？

1)焊接：是通过加热或加压或两者并用，使用或不使用填充材料，使被焊工件(同种或异种材料)达到原子间结合而形成永久性连接的工艺过程。2)焊接的物理本质是使两个独立的工件实现了原子间结合，对于金属而言，既实现了金属键结合。[对于金属材料：金属键的结合，两个被焊金属件在焊缝处形成共同的晶粒。] 3)为实现焊接可采取以下措施：(1)通过加热：目的是结合处达到熔化或塑性状态，破坏接触面氧化膜，减小金属变形阻力，缩小原子间距，增加原子振动能，促进

1

化学反应、扩散、结晶和在结晶过程的进行；(2)通过加压：目的破坏接触面氧化膜，增加接触面积，达到紧密接触；(3)通过加热加压。

四．推导题

'd???1.最大散逸功原理中整个变形体的塑性功增量的推导?ijd?ijdV

v设一钢塑性单元体，棱长为dx、dy、dz，它在x方向的正应变增量为d?，则正

x应力分量?x所作的塑性功增量为：

dAx??xdydzd?xdx，

单位体积的塑性功增量为

d?x?dAx?xdydzd?xdx???xd?x， Vdxdydz同样，剪应力分量?zx所作的单位塑性功增量为： dA?dydzd?zxdx其他应力分量所作的塑性功也可同d?zx?zx?zx??zxd?zx?2?zxd?zx，

Vdxdydz样处理，由此，单元体单位体积的塑性功增量为：

'd???xd?x??yd?y??zd?z?2(?xyyd?x??yzd?yz??zxd?zx)??ijd?ij??ijd?ij，

'd???设变形体积为V，则整个变形体的塑性功增量为?ijd?ijdV

v2. 试推导均质形核的临界形核功。（7分）

均质晶核形成时，设晶核为球体，系统自由能变化△G由两部分组成，即作为相变驱动力的液－固体积自由能之差(由△GV引起)和阻碍相变的固－液界面能(由σLS引起)

?G?V?GV4?GV?A?LS??r3?4?r2?LSVs3Vs (1)

式中，V为晶核体积；Vs为形核晶体的摩尔体积；A为晶核表面积。 因为

?GV???Hm?T/Tm

??G?0?r要求出临界形核半径r*(即r的最大值)，只要即可：

r???2?LSVs2?LSVsTm??Gv?Hm?T (2)

2将式(2)代入式(1)，可得到均质形核的临界形核功

16?3?VsTm??G???LS??3??Hm?T?

3 试推导非均质形核的临界形核功。

假设晶核在界面上形成球冠状，达到平衡时则存在以下关系：

2

?LS??CS??CLcos? (1)

式中，

?LS、?CS、?CL分别为液相与基底、液相与晶核、晶核与基底间的界面张力；

?为润湿角。

该系统吉布斯自由能的变化为

?G异＝－VC?GV?ACS(?CS??LS)?ACL?CL式中，

(2)

VC为球冠的体积，即固态核心的体积；ACS为晶核与夹杂物间的界面面积；ACL为晶核与液相的界面面积。

因此有：

?0VC???(rsin?)d(r?rcos?)?0?2?r33(2?3cos??cos2?) (3)

ACL??2?rsin?(rd?)?2?r2(1?cos?) (4)

ACS??(rsin?)2??r2sin2???r2(1?cos2?) (5)

将式(3)～(5)代入式(2)得

432-3cos??cos3?2?G异＝(-?r?GV+4?r?CL)()34 (6)

2?CL2?CL?d?G异r＝?Tm＝0异?GVL?T对式(6)求导，并令dr，可求出

316?n?CL1???G＝f(?)??Gf(?)＝A?CLf(?)均3?G23V ?异3.证明下列等式：

1??ii?kk??ik?ik?； 21212证明（1）：等式的右端为： I2?I1????1?2??2?3??3?1????1??2??3?

331???12??22??32?2?1?2?2?2?3?2?3?1????1?2??2?3??3?1? 324622???12??2??3???????????122331???1?2??2?3??3?1??6662222?????????1?2??2?3??3?1?123? 6?122222???1?2?1?2??2??2?2?2?3??3??3?2?3?1??12???61222????1??2????2??3????3??1???J2

?6?（1）：J2=I2+I1； （3）：I2??213 3

故左端=右端

?证明（3）：I2?右端=

1???ikik?kki??i2?

1??ii?kk??ik?ik? 2?1222222??x??y???2????????x??y??z???x??y??z????zxyyzzx?? 21222222222????????2????????????2??x?y??y?z??z?x????xyzxyyzzxxyz?? 2222????x?y??y?z??z?x??xy??yz??zx??I2

五.计算题：

1.设某点的应力状态如图所示，试求其主应力(应力单位：牛顿/平方毫米)

解：应力张量为：

?342?? ?ij???423???234??代入公式求得

J1??x??y??z?3?2?4?9J2????x?y??y?z??z?x???xy??yz??zx222???3?2?2?4?4?3??42?32?22?3J3??x?y?z??z?x?2?xy?yz?zx?x

22yxzzxy??????????2yz?3?2?4?2?4?3?2?(3?32?2?22?4?42)??27代入公式

?3?J1?2?J2??J3?0?3?9?2?3??27?0

???9;???1?9??2?3?02??3;?3?32.在直角坐标系中，一点的应力状态表示成张量的形式为

?50-5??ij??0-50?????-505??

用应力状态特征方程求出该点的主应力和主方向。（8分） 解：应力张量不变量为

4

J1??x??y??z?5222J2??(?x?y??z?y??x?z)??xy??xz??zy?50222J3??x?y?z?2?xy?zy?xz?(?z?xy??y?xz??x?zy)?0

代入应力状态特征方程，得

?-5?2-50?=0 或（??-10)(?+5)=0

3解得

?1?10;?2=0;?3??5

将应力分量代入P317式(14-10)，并与式(14-11)联合写成方程组

??(5-?)l-5n=0???(-5-?)m=0?-5l+(5-?)n=0?222??l+m+n=1前

为求主方向，可将解得的三个主应力值分别代入上述方程组的

三式中的任意两式，并与第四式联立求解，可求得三个主方向的方向余弦为

对于?1：l1?1对于?2：l2?12,m1?0,n1??1,m2?0,n2?122

2对于?3：l3?0,m3?1,n3?005???50??ij??0?1500???0?250??5?（MPa）3. 已知塑性状态下某质点的应力张量为，应变增量

d?x?0.1?（?为一微小量）

，试求应变增量的其余分量。（6分）

解：

?m??x??y??z3???50?150?250??1503

根据增量理论有：

'd?ij??ij?d?d??所以：所以：

d?x'?x?d?x0.1?0.1????0.001??x??m?50???50?150?250?/3?50?150

055???50?150??1000??d???00??0.001'd?ij??ij?d???0?150?15000???????50?250?150????50?100?? 5

?0.1????0??0.005?00.005??00??0?0.1???

4.

对于Oxyz直角坐标系，已知受力物体内一点的应力张量为

?01720??ij??17200???0100???0?

求出该点的应力张量不变量、主应力、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张

量及应力球张量

解：应力张量不变量为

J1??x??y??z?100222J2??(?x?y??z?y??x?z)??xy??xz??zy?29584222J3??x?y?z?2?xy?zy?xz?(?z?xy??y?xz??x?zy)??2958400

?1?172Mpa?2?100Mpa32??J??J2??J3?0解得主应力 ?3??172Mpa 1由应力状态方程

??36Mpa2???3?23??2??136Mpa2????31??31??172Mpa2主切应力

最大切应力

?12???1??2?max??172Mpa

1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?314.25Mpa2

??等效应力

应力张量得分解

?m?(?1??2??3)??33.3Mpa13

00?33.3???m??033.30???0?3033.?? 应力球张量

6

?100??3??172????0偏张量为 ??0??100?0??3100??0?3? 172?500300?800??

?3000?3005. 己知物体内一点的应力张量为：σij =??????800?3001100??应力单位为kg／cm2 。 试确定外法线为ni｛111，，｝（也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总333n 。

应力Pn、正应力σn及剪应力τ

?解：首先求出该斜截面上全应力Pn在x、y、z三个方向的三个分量：n＇=nx=ny=nz

25?3??8?10?Px=?x??xy??xzn＇=?????????1?0 31?0 31?0 3n均为零，也即：

2Py=?yx??y??yzn＇=??3?0???3????10???2?8??3?11?10?Pz=?zx??yz??zn＇=??????????所以知，该斜截面上的全应力Pn及正应力σn、剪应力τPn =σn = τn = 0

?6. 设己知下列位移，试求指定点的应变状态。

2?2??u??3x?20??10（1）：? 在（0，2）点处；

?2??v??4yx??10?u??6x2?15??10?2??（2）：?w??3z2?2xy??10?2 在（1，3，4）点处

?v??8zy??10?2??解（1）：

?u??x?6?x10?x?2

?u?v?v??0?4y?10?2 ??y?4x?10?2 ?xy??y?x?y 7

在（0，2）点处，该点的应变分量为: ?x??y?0；?xy?8?10?2；

?040?写成张量形式则为：?ij??400??10?2；

????000??解（2）：将己知位移分量函数式代入几何方程求出应变分量函数式，然后将己知点坐标（1，

3，4）代入应变分量函数式。求出设点的应变状态。

?x??v?u?8z10?2?32?10?2 ?12x10?2?12?10?2； ?y??y?x?w?u?v?6z10?2?24?10?2； ?xy???0 ?z?y?x?z??yz??zx??v?w?2?2?2???8y??2x10?24?2?10?22?10 ????????z?y?w?u????2y?0?10?2??6?10?2； ?x?z用张量形式表示则为：

?120?3???10?2

?ij??03211?????31124??8. 一藻壁圆筒平均半径为r，壁厚为t，承受内压力p作用，且材料是不可压缩的，v?1；2讨论下列三种情况： （1）：管的两端是自由的； （2）：管的两端是固定的； （3）：管的两端是封闭的；

分别用mises和Tresca两种屈服条件讨论p多大时，管子开始屈服，如已知单向拉伸试验σr值。

解：由于是藻壁圆筒，若采用柱坐标时，σr≈0，据题意首先分析三种情况下，圆筒内任意一点的应力状态：

pr??1；?r?0??z??2??3?0 tprvprpr??1；?r?0??3；?z?v???????2； （2）：???tt2tprpr??1；?r?0??3；?z???2； （3）：???t2t（1）：???显然知，若采用Tresca条件讨论时，（1）、（2）、（3）三种情况所得结果相同，也即：

?max?k??s??1??32???2?pr?s?； 2t2 8

解出得：p??str；

若采用mises屈服条件讨论时，则（2）（3）两种情况所得结论一样。于是得： （1）：2?s2???1??2????2??3????3??1?解出得：p?222?pr??pr???????? ?t??2t?22?str；

222pr??prpr??pr??2（2）、（3）：2?s???????0???0??

2t??2tt??t??解出得：p?2?st； 3r9. 对于直角坐标系 Oxyz 内，已知受力物体内一点的应力张量为

，应力单位为 Mpa ，

(1) 画出该点的应力单元体；

(2) 求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、 应力偏张量及应力球张量。 解：

(1) 该点的应力单元体如下图所示

9

(2) 应力张量不变量如下

故得应力状态方程为

解之得该应力状态的三个主应力为

（ Mpa ）

设主方向为 ，则主应力与主方向满足如下方程

即

，

10

， 解之则得 ，

， 解之则得 ，

， 解之则得

最大剪应力为：

八面体正应力为：

Mpa

八面体切应力为：

应力偏张量为：

11

，

应力球张量为：

10. 已知金属变形体内一点的应力张量为

求：

Mpa ，

(1) 计算方向余弦为 l=1/2 ， m=1/2 ， n= (2) 应力偏张量和应力球张量； (3) 主应力和最大剪应力； 解：

的斜截面上的正应力大小。

(1) 可首先求出方向余弦为（ l,m,n ）的斜截面上的应力（ ）

12

进一步可求得斜截面上的正应力 ：

(2) 该应力张量的静水应力 为

其应力偏张量

应力球张量

(3) 在主应力面上可达到如下应力平衡

其中

欲使上述方程有解，则

即

13

解之则得应力张量的三个主应力：

对应地，可得最大剪应力

。

11. 若变形体屈服时的应力状态为：

? ? ? 23 ?

? ?

? ? ? 0 15 ? ? ? 10 ij

? 0 0 -30? ? ?

MPa

试分别按Mises和Tresca塑性条件计算该材料的屈服应力异大小。

解：?1?230, ?2?150， ?3??300

Tresca准则：

?s及?值，并分析差

?1??3??s

?s?530MPa

而???1??3230?300＝＝1

530?s22Mises准则：??1??2????2??3????3???122?2?s

?s?494.9MPa

而???1??3230?300＝＝1.07

494.9?s(?2??3)?(?1??2)2?0.698，???1.07

2?1??33???或者：

???12. 某理想塑性材料，其屈服应力为100 (单位：10MPa) ，某点的应力状态为：

Z 14

Y X

????30????ij??023???10?0?315???MPa

将其各应力分量画在如图所示的应力单元图中，并判断该点处于什么状态（弹性/塑性）？ 答：?x＝－300MPa ?y＝230MPa ?z＝150MPa

?yz??zy＝－30 MPa

?xy=?yx=?xz=?zx=0

根据应力张量第一、第二、第三不变量公式：

I1＝?x+?y+?z

-I?x?yx2＝

?＋?y?zy＋?z?xz

xy?y?yz?z?zx?x?x?yx?zx I3＝?xy?y?zy

?xz?yz?z 将?x、?xy、?xy、?xz、?zx、?y、?yz、?zy、?z代入上式得： I1＝8，I2＝804，I3＝－10080 (单位：10MPa)

将I321、I2、I3代入?－I1?－I2б－I3＝0，令?1>?2>?3解得：

?1=24 ?2=14 ?3=－30 (单位：10MPa)

根据Mises屈服准则： 等效应力 ?＝

12??1??22????2??3?2???23??1?

＝49.76 (单位：10MPa)

??49.76??s?100(单位：10MPa)

因此,该点处于弹性状态。

13. 已知金属变形体内一点的应力张量为

Mpa ，求：

15

18 分）

（

(1) 计算方向余弦为 l=1/2 ， m=1/2 ， n= 的斜截面上的正应力大小。

(2) 应力偏张量和应力球张量； (3) 主应力和最大剪应力；

解： (1) 可首先求出方向余弦为（ l,m,n ）的斜截面上的应力（ …… 4'

进一步可求得斜截面上的正应力

…… 2'

(2) 该应力张量的静水应力 为

…… 2'

其应力偏张量

…… 2'

应力球张量

16

）

…… 2'

(3) 在主应力面上可达到如下应力平衡

…… 2'

其中

欲使上述方程有解，则

…… 1'

即

解之则得应力张量的三个主应力

…… 2'

对应地，可得最大剪应力

…… 1'

14. （ 15 分）对于直角坐标系 Oxyz 内，已知受力物体内一点的应力张量为

，应力单位为 Mpa ，

17

(1) 画出该点的应力单元体；

(2) 求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、 应力偏张量及应力球张量。 解：

(1) 该点的应力单元体如下图所示

…… 1'

(2) 应力张量不变量如下

…… 2'

故得应力状态方程为

18

…… 1'

解之得该应力状态的三个主应力为

（ Mpa ） …… 2'

设主方向为 ，则主应力与主方向满足如下方程

即

，

， 解之则得 ，

…… 2'

19

， 解之则得 ，

…… 2'

， 解之则得

最大剪应力为

…… 2'

…… 1'

八面体正应力为

Mpa …… 1'

八面体切应力为

应力偏张量为

， …… 1'

20

应力球张量为

…… 1'

15.对于直角坐标系 Oxyz 内，已知受力物体内一点的应力张量为

，应力单位为 Mpa ，

（ 1 ）画出该点的应力单元体；

（ 2 ）求出该点的应力张量不变量、主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、 应力偏张量及应力球张量。 (3)画出应力莫尔圆，并且标出各个面。

21

???20???16.已知一点的应力状态?ij??5?15???10MPa，试求该应力空间中

?00?10???x?2y?2z?1的斜截面上的正应力?n和切应力?n为多少？

解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：

l?AA?B?C222，m?BA?B?C222，n?CA?B?C222

因此：l?112?(-2)2?22xy m＋τxz n=

?1-2222，m???；n?? 3312?(-2)2?2212?(-2)2?22312100200??50??

33312350Sy＝τxy l＋σy m＋τzy n = 50??150??

3332200Sz＝τxz l＋τyz m＋σz n=?100???

33Sx＝σx l＋τ

??Sxl?Sym?Szn???1000??11192x2y2z100135022002?????333333

?100??350??200?S?S?S?S??????????12500

?3??3??3?2222?1000???12500????13.4

9??17.已知OXYZ坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：

2?100??????ij??4050??，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。

??2030?10???解：J1??x??y??z=100+50-10=140

J2??y?z??x?z??x?y??yz??xz??xy=100×50+50×（-10）+100×（-10）

-40-(-20)-30 =600

2

2

2

222J3??1?2?3=?x?y?z?2?xy?yz?xz??x?yz??y?xz??z?xy =-192000

222?3?140?2?600??192000?0

22

σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7

?????53.3??46.7????????403.3?ij??; ?im??046.7??;

??2030?56.7??00046.7?????σ8=σm =46.7

1(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2?39.1 33218.设物体内的应力场为?x??6xy2?c1x3，?y??c2xy，?xy??c2y3?c3x2y，

2?8???z??yz??zx?0，试求系数c1，c2，c3。

解：由应力平衡方程的：

??x??yx??zx????6y2?3c1x2?3c2y2?c3x2?0?x?y?z??yx??y??yz

????2c3xy?3c2xy?0?x?y?z??zx??zy??z???0?x?y?z即：??6?3c?y??3c222?-cx?0 （1） 13?2c3?3c2?0 （2）

有（1）可知：因为x与y为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零，

因此，-6-3c2=0 （3） 3c1-c3=0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c1=1，c2=－2，c3=3

80??5050??0?75?MPa,求外法线方向余弦为19.已知受力物体内一点应力张量为：?ij??50?80?75?30???l=m=

11，n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。 22xy m＋τxz n=

解：Sx＝σx l＋τ

50?111?50??80??50?402 22211?75??25?37.52 22Sy＝τxy l＋σy m＋τ

zy n = 50? 23

Sz＝τxz l＋τ

yz m＋σz n=80?111?75??30??2.5?152 222S=111.7

J1=20 J2=16025 J3=-806250

σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！ σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.6

20.在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为

0-10??10?0500??-10-5-10????????100?MPa；0? MPa；0? a)?ij??0b)?ij??500c)?ij??-5?2?-10?0010??-100?6?010???????MPa

1）画出该点的应力单元体；

2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。 解：a）点的应力单元体如下图

2）

0-10??10???100? MPa该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=200 MPa，J 3=0 MPa，a)?ij??0

?-10010???主应力和主方向： σ1=20 MPa，l=?

22

;m=0；n=?; 22

σ2=-10 MPa，l=m= n=0 σ3=0 MPa，l=?

22;m=0；n=?; 22

主剪应力τ12=±15 MPa；τ23=±5 MPa；τ12=±10 MPa

最大剪应力τmax=15 MPa

八面体应力σ8=3.3 MPa；τ8=12.47 MPa。 等效应力??26.45MPa

24

应力偏张量及球张量。

?200??340?ij??0??3?0?-10???10-10????30? MPa；?ij??0???20???03??01030?0??0? MPa； ?10??3?b) 点的应力单元体如下图

?0500????ij??5000? MPa该点的应力不变量：J1=10 MPa，J 2=2500 MPa，J 3=500 MPa，

?0010???主应力和主方向：

σ1=10 MPa，l=m= n=0 σ2=50 MPa，l= m=?2; n=0； 22

; n=0。 2

σ3=-50 MPa，l= m=?

主剪应力τ12=±20 MPa；τ23=±50 MPa；τ12=±30 MPa 最大剪应力τmax=30 MPa

八面体应力σ8=3.3 MPa；τ8=41.1 MPa。 等效应力??87.2MPa 应力偏张量及球张量。

?10???3?ij??50???0?50?1030??100????30? MPa；?ij??0???20???03??01030?0??0? MPa； ?10??3?c) 点的应力单元体如下图

25

?-10-5-10????ij??-5?20? MPa该点的应力不变量：J1=-18 MPa，J 2=33 MPa，J 3=230 MPa，

?-100?6???主应力和主方向：

σ1=10 MPa，l=m= n=0 σ2=50 MPa，l= m=?2; n=0； 22

; n=0。 2

12

σ3=-50 MPa，l= m=?

主剪应力τ12=±20 MPa；τ23=±50 MPa；τ最大剪应力τmax=30 MPa

八面体应力σ8=-6MPa；τ8=9.7 MPa。 等效应力?=20.6MPa 应力偏张量及球张量。

=±30 MPa

0??-16-5-10???60?????ij??-5?80?； ?ij??0?60?

?0?-100?12?0?6?????21. 设物体中任一点的位移分量为

u?10?10?3?0.1?10?3xy?0.05?10?3z v?5?10?3?0.05?10?3x?0.1?10?3yz

w?10?10?3?0.1?10?3xyz 求点A（0.5，－1，0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。 解：?x??u?0.1?10?3y ?x?y????0.1?10?3z ?y???z??-0.1?10?3xy

?z?xy??yx?(?yz?(1?u???)?0.05?10?3x?0.025?10?3 2?y?x1?????)?0.05?10?3y?0.05?10?3xz 2?z?y 26

?xz?(1???u?)?0.025?10?3?0.05?10?3yz

2?x?z00-0.05?10-30.025?10?3?? -3-0.05?10?0.05?10?3??将点A的x=0.5，y=－1，z=0代入上式，得点A的应变分量

?-0.1?10?3??A??0?0.025?10?3?对于点A：

?mA11?(?x??y??z)?-?10?4 36?5?5?-?10?3??0??0??05-?10?530???? 0??5?5-?10?3?0?ij?mAI1??x??y??z?-0.05?10?3

I2?(?x?y??y?z??z?x)-(?xy??yz??zx)?-8.125?10?10

I3?2.5?10-13

222?3?I1?2?I2??I3?0

即：?3?1.5?10-4?2-8.125?10-10??2.5?10?13?0

?1?8.3?10-5，?2?2.9?10-5，?3?-1.04?10?4

?8?(?x??y??z)?-?10?4

?8??1222(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx) 3??7.73?10?31316??2?8?1.09?10?4

22. 物体中一点应变状态为：

?x?0.001，?y?0.005，?z?-0.0001，?xy?0.0008，?yz?0.0006，?xz??0.0004，试求主应变。

27

解：由题可知：

?108-4??????8506??10-4

?-46-1???I1??x??y??z?5.9?10?3

I2?(?x?y??y?z??z?x)-(?xy??yz??zx)?3.24?10-6

I3??1.98?10-9

即：?3222?5.9?10-3?2?3.24?10-6??1.98?10-10?0

解方程得主应变：?1?6.4?10-3，?2??8.3?10-3，?3?3.7?10?3

23. 试分别用密席斯和屈雷斯加屈服准则判断下列应力状态是否存在？如存在，应力处于

弹性还是塑性状态？（材料为理想塑性材料）

??s?a)?ij??0?0?0???5?s??00?， b)?ij??0?00?s???000.1?s00?0.5?s00??0.5?s??0?， d)?ij??0?00?????0??0?， f)?ij??0.45?s?0?1.5?s???00?5?s00??0?， ?4?s??00?1.2?s?c)?ij??0?0????s???e)ij?0?0???00?， 0?0.6?s??0.45?s000??0? 0??解：a)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：σs-0=σs，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则??12??1??2?2???3??2?2???1??3?2??s。存在。应力处

于塑性状态。

b)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：-4σs+5σs =σs，存在。应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则

??1?122??1??2?2???3??2?2???1??3?2

??5?s?5?s?2??-4?s?5?s?2??-5?s?4?s?2??s存在。应力处于塑性状态。

c)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：1.2σs-0 =1.2σs＞σs，不存在。 由密席斯屈服准则

28

??1?122??1??2?2???3??2?2???1??3?2?1.2?s?0.1?s?2??0.1?s?0?2??0?1.2?s?2

?1.33?s??s不存在。

d)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：0.5σs+0.6σs =1.1σs＞σs，不存在。 由密席斯屈服准则

??1?122??1??2?2???3??2?2???1??3?2?0.5?s?0?2??0?0.6?s?2??-0.6?s?0.5?s?2

?0.96?s??s存在。应力处于弹性状态。

e)由屈雷斯加屈服准则：σ1-σ3=σs得：-0.5σs+1.5σs =σs=σs，存在，应力处于塑性状态。 由密席斯屈服准则

??1?122??1??2?2???3??2?2???1??3?2

?-?s?0.5?s?2??-0.5?s?1.5?s?2??-1.5?s??s?2?0.75?s??s存在。应力处于弹性状态。

f)由屈雷斯加屈服准则：τmax=（σ1-σ3）/2=σs/2得：τmax =0.45σs＜σs，存在，应力处于弹性状态。

由密席斯屈服准则

???1222[(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)]2

2?3??0.45?s??0.78?s??s存在。应力处于弹性状态。

?75-150?24. 已知开始塑性变形时点的应力状态为???-15150?，

??ij?000???试求：

（1）主应力大小；

（2）作为平面应力问题处理时的最大切应力和单轴向屈服应力；

（3）作为空间应力状态处理时按屈雷斯加和米塞斯准则计算的单轴向屈服应力。 解：由于点的应力状态为平面应力状态，由?1,2??x??y2??x??y???2??2?得主应??xy??2 29

力σ1和σ2：

?1,275?15?75?15?2?????15

2?2?2主应力为：σ1=78.54，σ2=11.46，σ3=0 最大切应力：τmax=33.54

?x??y?2单轴向屈服应力为：??2????67.08 ??sxy?2???作为空间应力状态处理时按屈雷斯加准则计算： 单轴向屈服应力：σs=σ1－σ3=78.54；

作为空间应力状态处理时按米塞斯准则计算的单轴向屈服应力：

2????1222[(?x??y)2?(?y??z)2?(?z??x)2?6(?xy??yz??zx)]2

1[(75?15)2?(15?0)2?(0?75)2?6(152?0?0)]2?73.48σs=73.48

25. 已知一点的应力状态如图4-16所示，试写出其应力偏量并画出主应变简图。

图4-16 (题15)

解：设σ1＞σ2＞σ3，则：

??平均应力：??1????????9?4?2?5

m1233?400?应力偏量为：????0-10?

???00-3???3由列维—米赛斯增量理论d?ij??'ijd?得：

d?1??'1d??4d?d?2??'2d??-d? d?3??'3d??-3d?主应变简图如图示：

30

26. 两端封闭的细长薄壁管平均直径为r，平均壁厚为l，承受内压力p而产生塑性变形，管材各向同性，试计算切向、轴向及径向应变增量比及应变比。 解：

求出下列两种情况下塑性应变增量的比：

① 单向应力状态：?1??s

② 纯剪力应力状态：?s??s/3 ①解：设σ1＞σ2＞σ3，则：

?1m???s31??2??3???3，因此，应力偏量为：

??2?s00??3??????-?s?0? 30????00-?s?3??由列维—米赛斯增量理论d?ij??'ijd?得：

d?1?2?s3d?

d??s2?-3d?d??s3?-3d?塑性应变增量的比为：

2?sd?d?1?3?-2, 同理： d?1?-2, d?2?1

d?2-?sd?2d?23d?②解：已知纯剪力应力状态：?s??s/3 31

设

应力张量为：

??0??s?ij???3???s?3?s30?s??s3?3??s? 3??0??由列维—米赛斯增量理论d?ij??'ijd?得：

d?xy?d?yz?d?xz??s3d?d?d?

?s3?s3塑性应变增量的比为：

d?xyd?yz?d?xz?1 d?yzKg

2

??8 -4 0 ?? -4 -2 027. （共20分）已知变形体某点的应力状态为：?ij?????? 0 0 -5?? 1）画出单元体受力图。（4分）

2）求主应力（σ1，σ2，σ3）和主剪应力（τ12，τ23，τ31）。（4分） 3）作三向应力莫尔圆，并将上述计算结果标在应力莫尔圆上。（4分）

：

4）材料屈服极限σs=10kg/mm,试用Tresca和Mises准则分别判断该点处是否已经屈服？（4分）

5）若材料应力应变曲线方程为σ=20ε（4分）

0.5

2

,试按全量理论求该点的主应变（ε1,ε2,ε3）。

解：

(1) 该点的应力单元体如下图所示（4分） (2) 由应力状态可知，Z面上无剪应力，故?z为

?x??y一主应力。又因?z?，

2故题中的应力状态为平面应变问题应力状态，?z为

中间主应力?2。 另外两个主应力可直接利用平面应力问题主应力求解方法进行

32

计算。

?1,3??x??y2?(?x??y2)??xy22?0?8?2?8?222 ??()?(?4)??22??10所以，?1?0,?2??5，?3??10 (Kg/mm2） （3分）

主剪应力为：

???3???1???2?1,2??1??2.5,?2,3??2??2.5,?3,1??3??5 (Kg/mm2）（1

222分） τ

(3) 三向应力莫尔圆如下图所示 （4分）

(4) Tresca准则：

?1??3?0?(?10)=10Kg/mm2??s，该点正好屈服。

Mises准则：

σ

??1[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]?53??s, 2该点还未屈服。（4分）

(5) 由??20?0.5可得：??(

?20)2?0.1875,所以： E?=??46.2 ?

?2??31）=0.162E?2???1?2?（?2?31）=0E?2???21?3?（?3?1）=-0.162E?2?1?（?1?（4分） 33

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