相离的两圆的公切线的做法

相离的两圆的公切线的做法

摘要：我们知道，相离的两个定圆(⊙O1 半径为r、⊙O2半径为R)具有两条内公切线和两条外公切线。那么，我们该如何运用尺规作图，作出这些公切线呢？在这里，将介绍几种做公切线的作法，分别运用了位似的性质、相似三角形的性质、构造矩形和结合位似和相似三角形。其中最主要的原理是直径所对的角是直角。

一、运用位似的性质。

我们知道任意的两个圆都会位似且最多存在两个位似中心（即位似点），而由位似的定义我们知道，在两个位似的图形中，所有具有相同性质的点会交于一个点，就是位似点。那么，由位似点引出的一条直线，它与两个位似图形的交点应该也具有相同的性质。所以运用位似的这一性质，我们可以先找出两定圆的连心线，并作圆心在连心线上的垂线，找出了两个具有相同性质的点，这两点所在的直线与连心线的交点，就是位似中心。此时，我们以位似点和某一圆的圆心为直径作圆,由直径所对的角为直角，那么我们可以得到该圆的一条切线，又由位似的性质知，该切线与另一圆也相切。 作法：1.连结O1O2，并延长。

2.过O1、O2作O1O2的垂线，分别交⊙O1、⊙O2于点A1A2。

（注：当作外公切线的时候A1A2取在O1O2的同一侧，当作内公切线的时候取在O1O2的不同侧）

3.连结A1A2并延长，交O1O2于点O。

4.以OO1为直径作圆，交⊙O1于点B1、B3。

5.连结OB1并延长交⊙O2于点B2，连结OB3并延长交⊙O2于点B4 6．则B1B2、B3B4为两圆的公切线

B2 A2

B4 A 1

B2

B1 O1 位似点 O

B3 B4 B2 A2 O2

B1

A1 位似点O B3 O1 O2

证明：在位似的⊙O1、⊙O2中，已知A1O1、A2O2 都垂直于O1O2，

则垂线A1O1和垂线A2O2的性质相同，它们两端点的连线交于位似点O 又OO1为直径，∠OB1O1 =90°

∵OB1B2在同一直线上 ∴B1B2两点的性质相同 ∴∠OB1O1 =∠OB2O2 =90°

∴B1B2为两圆的公切线，同理B3B4也为两圆的公切线。 二、运用相似三角形的性质 我们知道两个相似的三角形，它们的对应角都相等，所以我们可以尝试构造两个相似的直角三角形。而我们要确定两个直角三角形相似，只需满足一条直角边与斜边的比例相等即可。我们在找比例线段的时候，可以从相似三角形入手，当我们连接两定圆的连心线，并作圆心在连心线上的垂线，会与圆交于两点，这两

点所在的直线与垂线和连心线就会形成两个相似三角形。并且它们的相似比就是半径比，我们再以两个三角形在在连心线上的边为直径作圆，由直径所对的角为直角，我们可以得到两个直角三角形，且它们有两条边的比都为半径比，即两个直角三角形相似，它们的顶角相等，则它们有一对直角边在同一条直线上，那条直线即为两圆的公切线。

作法：1. 连结O1、O2，并延长。

2.过O1、O2作O1O2的垂线，分别交⊙O1、⊙O2于点A1A2。

（注：当作外公切线的时候A1A2取在O1O2的同一侧，当作内公切线的时候取在O1O2的不同侧）

3.连结A1A2并延长，交O1O2于点O。 4.以OO1为直径作圆，交⊙O1于点B1B3，以OO2为直径作圆，交⊙O1于点B1B4。

5.连结OB1 、OB2，连结OB3 、OB4。 6．则B1B2、B3B4为两圆的公切线。

B2 A2 B1 A1

O O1 B3 A1

B1 O1 O B4

O2

B2 O2 B4B3

A2

证明：已知A1O1、A2O2 都垂直于O1O2，则∠OA1O1=∠OA2O2=90°

又∠A1OO1=∠A2OO2，则△OA1O1∽△OA2O2，且OO1：OO2=A1O1：A2O2= r：R 由OO1 、OO2是直径 有∠OB1O1=90°、∠OO2B2=90° 又OO1：OO2= O1B1：O2B2= r：R ∴Rt△OB1O1∽Rt△OB2O2， ∴∠OB1O1 =∠OB2O2 （HL） ∴OB1B2在同一直线上

∴B1B2为两圆的公切线，同理B3B4也为两圆的公切线 三、构造矩形

我们知道，公切线会垂直于两切点到圆心的连线，如果把公切线沿小圆切点到圆心的方向平移，就会得到一个矩形，还会得到一个直角三角形，该直角三角形有一条直角边为公切线的平行线，另一条为大圆与小圆的半径差（和），斜边为连心线。所以，我们可以先在大圆圆心以半径差（和）作圆 ,再以连心线为直径作圆，交点连结得到直角三角形，接着作出平行四边形即可得到公切线。 作法： 1. 1.连结O1O2，并延长。

2.以O2为圆心，⊙O1、⊙O2的半径差(和)为半径作⊙O3。

（注：当作外公切线的时候为差，当作内公切线的时候为和） 3.以O1O2为直径作圆，交⊙O3 于点A1、A2 。

4.连结O2A1、O2A2 并延长交⊙O2于点B2、B4, 连结O1A1、O1A1 5. 过点B2取B2B1=O1A1 交⊙O1于点B1，连结O1B1。 6．B1B2为两圆的公切线，同理B3B4也为两圆的公切线

B2

B1 A1

O1 O2 A2

B3 B4

A1 B1 B4

O1 O

B2

O2

B3

A2

证明：已知O1B1=r、O2B2=R、O2A1=R-r， ∴A1B2=r=O1B1，又O1A1=B2B1

∴四边形O1A1B2B1 为平行四边形

又O1O2为⊙O1O2A1直径，∠O1A1O2 =90°

∴□O1A1B2B1 为矩形，∠O1B1B2=∠A1B1B2=90°

∴B1B2为两圆的公切线 ，同理B3B4也为两圆的公切线 四、结合位似与相似三角形的

由上述证明中，我们知道，公切线与连心线和切点到圆心的连线会组成两个相似的直角三角形，并且相似比就为半径比。我们要作的是公切线，那么我们只要在连心线上找到两段线段等于半径比，再以这两段线段为直径作圆，就可以作出两个相似的直角三角形，那两条直角边同时所在的直线即为公切线。而连心线上的两段线段等于半径比，我们可以通过位似的性质，运用已知的两半径长度构造平行线，找出位似中心从而得到。 作法：1.连结O1O2，并延长。

2.作一条线段平行于O1O2，并在线段上截取长度R和r，把O1O2 连结到R

和r的和（差）线段A1A2的端点，两线会交与点O3。

（注：当作外公切线的时候为差，当作内公切线的时候为和）

3. 把O3 与r的两端点A2A1相连并延长，会交连心线O1O2于O1、O。 4.以OO1为直径作圆，交⊙O1于点B1B3，以OO2为直径作圆，交⊙O1于点B1B4。 5.连结OB1 、OB2，连结OB3 、OB4。

6．则B1B2、B3B4为两圆的公切线。

O3

O3

A A1 A2

r R

B2 A2 A1 r A R B4

B1 O1 O

B1

O O1 B3 B4

O2

O2

B3 B2

证明：∵ AA2∥O1O2，线段AA2与O1O2位似

∴OO1：OO2= AA1:AA2=r：R

由OO1 、OO2是直径,有∠OB1O1=90°、∠OO2B2=90°

∴Rt△OB1O1∽Rt△OB2O2， ∴∠OB1O1 =∠OB2O2 （HL） ∴OB1B2在同一直线上

∴B1B2为两圆的公切线，同理B3B4也为两圆的公切线

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