北大2017博雅数学试题

2017年博雅数学试卷A

选择题共20小题（15题至34题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.

15. 正整数9+95+995+?+99 …95的十进制表示中数字1的个数为（）.

2016

A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 前三个答案都不对 16. 将等差数列1,5,9,13,…,2017排成一个大数157913…2017，则该大数被9除的余数为（）.

A. 4 B. 1 C. 7 D. 前三个答案都不对 17. 一个三位数等于它的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（）.

A. 9 B. 10 C. 11 D. 前三个答案都不对 18. 单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的长度的平方和的最大值为（）.

A. 15 B. 20 C. 25 D. 前三个答案都不对 19. 1+cos7 1+cos

A. 1+8 20. 已知?? ?? =

等于（）. A. 2017?3 2017+ 31??

3??

1+cos7

1

5??7

的值为（）.

C. 1?4

1

B. 1?8

D. 前三个答案都不对

1+ 3??，定义??1 ?? 3???=?? ?? ，????+1 ?? =?? ???? ?? ，??≥1，则??2017 2017 的值

B. 2017 C.

1+2017 32017+ 3 D. 前三个答案都不对

21. 已知正整数??满足??≠2017，且????与20172017有相同的个位数字，则 2017??? 的最小

值为（）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 前三个答案都不对 22. 一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个. 从众

随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为??1，恰好三个红色和一个白色的概率为??2，恰好有两个红色，一个白色和一个蓝色的概率为??3，四种颜色各一的概率为??4，若恰好有??1=??2=??3=??4，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值等于（）. A. 17 B. 19 C. 21 D. 前三个答案都不对 23. 设??,??,??和 ????? ????? ????? 均为正整数，则2??+3??+5??的最大值与最小值的差为（）. A. 9 B. 15 C. 22 D. 前三个答案都不对 24. 有（）种方式可以将正整数集合??分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含

无穷等差数列. A. 0 B. 1 C. 无穷多 D. 前三个答案都不对 25. ??是凸四边形????????对角线????和????的交点. 已知三角形??????,??????,??????,??????的周长相

同. 三角形??????,??????,??????的内切圆半径分别为3,4,6，在三角形??????的内切圆半径为（）.

A. 2

9

1

1

1

B. 5 C.

112

D. 前三个答案都不对

26. 一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试. 已知有100名学生参加了

27. 28. 29. 30.

31.

数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试. 学生总数是参加至少两门考试学生数的两倍，也是参加三门考试学生数的三倍. 则学生总数为（）. A. 108 B. 120 C. 125 D. 前三个答案都不对 有（）个平面距离正四面体4个顶点的距离都相等. A. 4 B. 6 C. 8 D. 前三个答案都不对 有（）个互不相似的三角形??????满足sin??=cos??=tan??. A. 0 B. 1 C. 2 D. 前三个答案都不对 已知存在正整数??,??,??满足??+??+??=407，10??|??????，则??的最大值为（）. A. 5 B. 6 C. 7 D. 前三个答案都不对 整数??,??,??满足??+??+??=1，??= ??+???? ??+???? ??+???? >100，则??的最小值属于区间（）. A. 100,110 B. 110,120 C. 120,130 D. 前三个答案都不对 整数??,??满足??+??=218，??2+????+??=0有整数根，满足这样条件的整数对 ??,?? 的个数为（）. A. 0 B. 2 C. 4 D. 前三个答案都不对

tan2??+tan2??1+tan2??+tan2??

32. 已知

=sin2??+sin2??，则sin???sin??的最大值为（）. B.

41

A. 0 C.

2 2

12

D. 前三个答案都不对

33. 令??=sin14°+cos14°，??=sin16°+cos16°，??= ??2+??2 ，则??,??,??的大小顺序为（）.

A. ??

个三角形的三边长为（）. A. 4,5,6 B. 5,6,7 C. 6,7,8 D. 前三个答案都不对

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