小学奥数知识点梳理1——数论教学提纲

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数论：1、奇偶;

2、整除;

3、余数；

4、质数合数‘

5、约数倍数；

6平方；

7、进制；

8、位值。

一、奇偶：

一个整数或为奇数，或为偶数，二者必居其一。

奇偶数有如下运算性质：

（1）奇数土奇数=偶数偶数土偶数= 偶数

奇数土偶数=奇数偶数土奇数二奇数

（2）奇数个奇数的和（或差）为奇数；偶数个奇数的和（或差）为偶数，任意多个偶数的和（或差）总是偶数。

（3）奇数x奇数二奇数偶数x偶数二偶数

奇数X偶数二偶数

（4）若干个整数相乘，其中有一个因数是偶数，则积是偶数；如果所有的因数都是奇数，则积是奇数。

（5）偶数的平方能被4整队，奇数的平方被4除余1。

上面几条规律可以概括成一条：几个整数相加减，运算结果的奇偶性由算式中奇数的个数所确定；如果算式中共有偶数（注意：0也是偶数）个奇数，那么结果一定是偶数；如果算式中共有奇数个奇数，那么运算结果一定是奇数。

二、整除：

掌握能被30以下质数整除的数的特征。

被2整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被2整除.

被3 （9）整除的数的特征为：它的各位数字之和可以被 3 （9）整除。

被5整除的数的特征为：它的个位数字之和可以被5整除。

被11整除的数的特征是：它的奇位数字之和与偶位数字之和的差（大减小）能被11整除。

下面研究被7、11、13整除的数的特征。有一关键性式子：7X11X13=1001。

判定某数能否被7或11或13整除，只要把这个数的末三位与前面隔开，分成两个独立的数，取它们的差（大减小），看它是否被7或11或13整除。

此法则可以连续使用。

例：N=987654321判定N是否被11整除。

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9 8 7 -333 6 54

因为654不能被11整除，所以N不能被11整除例：N= 215332判定N是否被7、11、13整除。

第一歩:第二歩

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由于117= 13X 9,所以117能被13整除，但不能被7、11整除，因此N 能

被13整除，不能被7、11整除

此方法的优点在于当判定一个较大的数能否被 7或11或13整除时，可用减 法

把这个大数化为一个至多是三位的数，然后再进行判定。

被17、19整除的简易判别法.回顾对比前面，由等式1001 = 7X 11X 13的启

发，才有简捷的“隔位相减判整除性”的方法。对于质数 17: 17X 59=1003,

因此，判定一个数可否被17整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位数与 前面

隔出数的3倍的差（大减小）是否被17整除。

例：N=31428576,判定N 能否被17整除。

而429=25X 17+4,所以N 不能被17整除 例：N = 2661027能否被17整除？

第二步t 9 5 6

-2 1 ~C?X3 ) 又 935=55X 17。

所以N 可被17整除。

下面来推导被19整除的简易判别法。

寻找关键性式子： 19X 53=1007.

因此，判定一个数可否被19整除，只要将其末三位与前面隔开，看末三位 与前

面隔出数的7倍的差（大减小）是否被19整除。

例：N = 123456789可否被19整除？

第一步：1 2 3 4 5 S 兴 T

3X192

- T X 9 S 6 3 4 0 3 又603= 31 X 19+14,所以N 不能被19整除 例：N=6111426可否被19整除？ 第一歩: -215 1 1 7

第一歩=

2661 X

3 7 9 8 3 - 0 2 7

33

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第一歩！ *、

7

生2 " T

一 4 2 6 4 2 3 S 1

又 57=3X 19,所以 N 可被 19 整除：321654X 19=611142&

下面来推导被23、29整除的简易判别法。

寻找关键性式子，随着质数增大，简易法应该在 现有

23X 435= 10005, 29 X 345=10005,

因此，判定一个数可否被23或29整除，只要将其末四位与前面隔开，看末 四位与前面隔出数的5倍的差(大减小)是否被23或29整除。

例：N = 6938801能否被23或29整除？

又 5336= 23X 232= 23X 29X 8, 所以很快判出N 可被23及29整除。

三、余数

三大余数定理：

(1) 余数的加法定理

a 与

b 的和除以

c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23+16= 39除以5的余数等 于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再 除以c 的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等 于

3+4=7除以5的余数为2

(2) 余数的减法定理

a 与

b 的差除以

c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数之差。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23- 16= 7除以5的余数等于2, 两个余数差3- 1= 2.

当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23, 14除以5的余数分别是3和4, 23- 14= 9除以5的余数等于4,两 个余数差为3+ 5-4 = 4

(3) 余数的乘法定理

a 与

b 的乘积除以

c 的余数，等于a,b 分别除以c 的余数的积，或者这个积 除以c 所得的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X16除以5的余数等于

3 X = 3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。

例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23X 19除以5的余数等于3M 除以 N 的位数多时起主要作用, 3 -5 9

15 0 6 8 4 5 6

6

3 3

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5 的余数，即2.

乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么a与b除以m的余数也相同.

（4）应用：弃九法、同余定理

应用一、弃九法原理在公元前9 世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》 , 他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行, 由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8 18922除以9的余数为4 678967除以9的余数为7 178902除以9的余数为0 这些余数的和除以9 的余数为2 而等式右边和除以9 的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理, 即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9 的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9 所得的余数时, 常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了, 在算的时候往往就是一个9 一个9 的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数, 只要先计算这个整数各数位上数字之和, 再求这个和被9 除的余数即可。

利用十进制的这个特性, 不仅可以检验几个数相加, 对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确。例如：检验算式9+9=9 时,等式两边的除以9 的余数都是0,但是显然算式是错误的。

但是反过来, 如果一个算式一定是正确的, 那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题。

应用二、同余定理：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a^b （ mod m ）,左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b,模m。

同余定理重要性质及推论：若两个数a, b除以同一个数m得到的余数相同，则a, b

的差一定能被m 整除。例如：17与11除以3的余数都是 2 ,所以（17 11）能

被3整除.

（用式子表示为：如果有a耳）（modm ），那么一定有a—b= mk,k是整数，即m|（a －b）

余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被

m除的余数”我们希望找到一个较简单的数R,使得：N与R对于除数m同余.由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数.

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1）整数N 被2 或5除的余数等于N 的个位数被2 或5 除的余数；

2）整数N 被4 或25 除的余数等于N 的末两位数被4 或25 除的余数；

3）整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；

4）整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；

5）整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11 除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；

6）整数N被7, 11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11 或13除的余数就是原数被7, 11 或13除的余数.

四、质数与合数

（ 1 ）质数与合数定义一个数除了 1 和它本身, 不再有别的约数, 这个数叫做质数（也叫做素数）。一个数除了 1 和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。

要特别记住： 1 不是质数,也不是合数。

常用的100以内的质数：2、3、5、7、 1 1、 1 3、 1 7、 1 9、23、29、3 1 、37、41 、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个。（2）质因数与分解质因数

如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

例：把30 分解质因数。

解：30= 2X 3X 5。

其中2、3、5叫做30的质因数。又如12= 2X 2X 3= 22X 3, 2、3 都叫做

12 的质因数。

（3）部分特殊数的分解

111 3 37；1001 7 11 13；11111 41 271；10001 73 137；1995 3 5 7 19 ；1998

2 3 3 3 37；2007 3 3 223；2008 2 2 2 251；10101 3 7 13 37.

（4）判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除

P,那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；

但是这样的计算量很大，对于不太大的P,我们可以先找一个大于且接近p

的平方数K2，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p, 如没有能够

除尽的那么p就为质数?

例如：149很接近144 12 12，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、

11整除，所以149是质数。

五、约数和倍数

(1)求最大公约数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来.

2 2

例如：231 3 7 11, 252 2 3 7，所以(231,252) 3 7 21 ；

218 12

39 6

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② 短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘.例如：

3 2 ,所以

(12,18) 2 3 6 .

7 ③ 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的 最大公约数.用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下： 先用小的一个数 除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数； 又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一 个余数，直到余数是0为止?那么，最后一个除数就是所求的最大公约数. (如 果最后的除数是1,那么原来的两个数是互质的)?

例如，求 600 和 1515 的最大公约数：1515 600 2L 315 ； 600 315 1L 285 ；

315 285 1L 30 ； 285 30 9L 15 ； 30 15 2L 0 .所以 1515 和 600 的最大公约数 是15.

(2) 最大公约数的性质

① 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；

② 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；

③ 几个数都乘以一个自然数n ,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约 数乘以n .

(3) 求一组分数的最大公约数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数

a ；

b 求出各个分数的分子的最大公约数 b ； a 即为所求.

(4) 求一个数约数的个数

分解质因数，之后将不同质因数的次数均加 1,之后相乘。所得结果就是这个数

2 2

不同约数的个数。如：252 2

3 7 ,则252的不同约数的个数为

(2 1) (2 1) (1 1) 3 3 2 18 (5) 求最小公倍数的方法

① 分解质因数的方法；

例如：231 3 7 11, 252 22 32 7，所以 231,252

2 3 7 11 2772

② 短除法求最小公倍数；

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