自主招生真题集萃

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2010年华约自招——数学

即2010年五校合作自主选拔通用基础测试

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

?a?i?1． 设复数w???，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为

?1?i?3113A．? B．? C． D．

22222． 设向量a，b满足a?b?1，a?b?m，则a?tb?t?R?的最小值为

23．

4．

5．

6．

A．2 B．1?m2 C．1 D．1?m2 如果平面?，?，直线m，n，点A，B满足：?∥?，m??，n??，A??，B??，且ABππ与?所成的角为，m⊥AB，n与AB所成的角为，那么m与n所成角的大小为

34ππππA． B． C． D．

3468VD的中点，则四面体AB1CD1的体积与四棱在四棱锥V?ABCD中，B1，D1分别为侧棱VB，锥V?ABCD的体积之比为 A．1:6 B．1:5 C．1:4 D．1:3

AC在△ABC中，三边长a，b，c满足a?c?3b，则tantan的值为

221121A． B． C． D．

4235如图△ABC的两条高线AD，BE交于H，其外接圆圆心为O，过AO作OF垂直BC于F，OH与AF相交于G，则△OFG与

E△GAH面积之比为

A．1:4 B．1:3 C．2:5 D．1:2 HOGBDFC7． 设f?x??eax?a?0?，过点P?a，0?且平行于y轴的直线与曲线C:y?f?x?的交点为Q，曲

线C过点Q的切线交x轴于点R，则△PQR的面积的最小值是

2ee2eA．1 B． C． D．

2242222xyxy8． 设双曲线C1:2??k?a?2，k?0?，椭圆C2:2??1，若C2的短轴长与C1的实轴长

a4a4的比值等于C2的离心率，则C1在C2的一条准线上截得线段的长为

A．22?k B．2 C．41?k D．4

9． 欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作

为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n的最小

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值为 A．6 B．7 C．8 D．9

10． 设定点A、B、C、D是以o点为中心的正四面体的顶点，用?表示空间以直线OA为轴满足条

件??B??C的旋转，用?表示空间关于OCD所在平面的镜面反射，设l为过AB中点与CD中点的直线，用?表示空间以l为轴的180旋转，设??表示变换的复合，先作?，再作?，则?可以表示为 A．????? B．?????? C．????? D．??????

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 11． （本题满分14分）

A?B在△ABC中，已知2sin2?cos2C?1，外接圆半径R?2．

2⑴ 求角C的大小；

⑵ 求△ABC面积的最大值． 12． （本题满分14分）

设A，B，C，D为抛物线x2?4y上不同的四点，A，D关于该抛物线的对称轴对称，BC平行于该抛物线在点D处的切线l．设D到直线AB，直线AC的距离分别为d1，d2，已知

d1?d2?2AD．

⑴ 判断△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形，并说明理由； ⑵ 若△ABC的面积为240，求点A的坐标及直线BC的方程． 13． （本小题满分14分）

2，求正四棱锥的表面积的最小值； ⑴ 正四棱锥的体积V?3⑵ 一般地，设正n棱锥的体积V为定值，试给出不依赖于n的一个充分必要条件，使得正n棱锥的表面积取得最小值．

14． （本小题满分14分）

假定亲本总体中三种基因型式：AA，Aa，aa的比例为u:2v:w(u?0，v?0，w?0，u?2v ?w?1)且数量充分多，参与交配的亲本是该总体中随机的两个． ⑴ 求子一代中，三种基因型式的比例；

⑵ 子二代的三种基因型式的比例与子一代的三种基因型式的比例相同吗？并说明理由． 15． （本小题满分14分）

1x?m???2t?1?2s?1设函数f?x??． ，且存在函数s???t??at?b?t?，a?0?，满足f???2sx?1???t??2s?1?2t?1⑴ 证明：存在函数t???s??cs?d?s?0?，满足f?； ??st??1⑵ 设x1?3，xn?1?f?xn?，n?1，2，，证明：xn?2≤n?1．

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2011年华约自招——数学

即2011年高水平大学自主选拔学业能力测试

一、 选择题

15?则z?（ ） z24321A． B． C． D．

54322． 在正四棱锥P?ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为

1． 设复数z满足z?1且z?2．则异面直线DM与AN所成角的余弦为（ ）

1111A． B． C． D．

612383． 过点（-1,1）的直线l与曲线y?x3?x2?2x?1相切，点（-1,1）不是切点，则直线l的斜率是

（ ） A．2 B．1 C．-1 D．-2

2π4． 若A?B?，则cos2A?cos2B的最小值和最大值分别为（ ）

333331213， ，1?1?A．1?B．， C．1? D．， 22222222

5． 如图，O1和O2外切于点C，O2又都和O内切，切点分别为A，B．设

?AOB??，?AC?B?，则（ ）

A．cos??sin?2C．sin2??sin??0

?0

B．sin??cos?A2D．sin2??sin??0

?0

CBO2O1O6．

7．

8．

9．

已知异面直线a，b成60?角．A为空间一点则过A与a，b都成45?角的平面（ ）

C有且只有三个 A有且只有一个 B有且只有两个 D有且只有四个

??331?1??，?，c?，?，xa?yb?zc?已知向量a??0，1?，b???1，1?则x2?y2?z2的????2???2?2???2最小值为（ ）

43A．1 B． C． D．2

322O为坐标原点，且?OFA?135?，C为抛物线准线与x轴AB为过抛物线y?4x焦点F的弦，

的交点，则?ACB的正切值为（ ）

424222A．22 B． C． D．

533如图，已知△ABC的面积为2，D，E分别为边AB，边AC上的点，F为线段DED上一点，ADAEDF?x，?y，?z，且y?z?x?1，则△BDF面积的最大值为（ ） ABACDEA810A． B．

2727D1416FC． D．

2727E

设

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10． 将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，则（ ）

A．存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形 B．存在某种分法，所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C．存在某种分法，所分出的三有形至少有3个锐角三角形 D．任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 二、 解答题

11． 已知△ABC不是直角三角形．

⑴ 证明：tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC；

tanB?tanC⑵ 若3tanC?1?，且sin2A，sin2B，sin2B，sin2C的倒数成等差数列，求

tanAA?C值． cos212． 已知圆柱形水杯质量为a克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯

直立放置）．质量为b克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点处． ⑴ 若b?3a，求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； ⑵ 水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？

2x1?1?2，f?1??1，f???．令x1?，xn?1?f?xn?． 13． 已知函数f?x??ax?b2?2?3⑴ 求数列?xn?的通项公式； 1． 2e2xy214． 已知双曲线C:2?2?1?a?0，b?0?，F1，F2分别为C的左右焦点．P为C右支上一点，

abπ且使?F1PF2?，又△F1PF2的面积为33a2．

3⑴ 求C的离心率e；

⑵ 设A为C的左顶点，Q为第一象限内CC上的任意一点，问是否存在常数????0?，使得

⑵ 证明x1x2xn?1??QF2A???QAF2恒成立．若存在，求出?的值；若不存在，请说明理由．

PFE2aF12cxPF2

15． 将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以pn表示未出现连续3次正面的概率．

⑴ 求p1，p2，p3，p4；

⑵ 探究数列?pn?的递推公式，并给出证明；

⑶ 讨论数列?pn?的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．

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N??30? f ??15? F mg 摩擦力和支持力的合力与法线夹角为arctan??30?，因此合力与重力的夹角为45?。由于拉力、重力、支持力与摩擦力合力构成三角形即受力平衡，因此当拉力和摩擦力支持力合力垂直的时候，拉力最小。 因此mmax?52kg

【点评】此题和去年北约考查摩擦力那题完全一致，可见自主招生考试模型从10年以来已经逐渐稳定。对竞赛学生考查的是摩擦角这样方法的基本使用，对高考学生而言则要对三角函数有灵活的使用，两种方法在学而思自主招生讲义中都有详细讨论。

【第四题】一个车胎内部气压为P0，由于被扎了一个小孔，开始慢慢漏气。假设漏气的过程中气体之间几乎没有热量交换，这样气体的压强和体积满足pV?保持常数，其中??的时候，漏出去的气体占原来总气体质量的百分比。

【解析】假设漏出去的比例为x。则没有漏出去气体开始的时候体积为(1?x)V0。由绝热方程：

73。求当车胎气压降为P054P0[(1?x)V0]??3?PV00解得x?18.6% 4【评析】北约华约不约而同的考查了绝热过程，而非直接高考常见的理想气体状态方程。本题除数据外几乎和学而思竞赛班、尖端班例题完全一致，破题点为“选择合理的对象”，即没有漏出去气体。 【第五题】如图，一个质量为m的小磁体从一个空心金属圆筒中间掉下去。由于电磁感应的作用，小磁体几乎匀速下降，速度为v。重力加速度为g，金属圆筒的电阻为R。求小磁体在圆筒上感应的感应电动势?为多少？

NS v 【解析】单位时间之间内重力的功率和电阻上损耗能量是一致的，因而mgv??/R，所以??mgvR 【点评】本题考查的是高中能量守恒的思想，看似细节问题很多，而把握问题本质后可以秒杀，简约而不失内涵。

【第七题】一个点电荷Q，距离一个原子距离为r，由于受到Q产生的电场作用，原子核外电子的中心和原子核有所偏离，简单近似为一对间距为l??r，大小为q的正负电荷。把这样的东西叫电偶极

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子，令p?ql。已知p正比于原子处的电场。这样点电荷就会受到原子提供的合外力。

1. 电偶极子受到排斥力还是吸引力？

2. 将Q变为2Q，点电荷受到的合外力变成原来的多少倍？

3. 将r变为r/2，点电荷受到的合外力变成原来的多少倍？ 【解析】

1. 电偶极子受到吸引力

2. 点电荷产生电场变为原来2倍，这样原子的电偶极变为原来的2倍，电偶极产生电场变为原

来2倍。由此点电荷受力变为4倍

3. 由E?KQ，点电荷产生电场变为原来4倍；这样电偶极变为4倍。电偶极在点电荷处的合2r电场变为

KqKqKql??，由于距离变为一半，所以电偶极产生电场变为原来的r2(r?l)2r38?4?32倍，合外力变为32倍。

【点评】此题和09年海南高考题思路一致，考查学生对物理量定性关系和比例的理解，第二问涉及小

量近似，竞赛学生应付自如，在高中学习中较为灵活的同学也能把握。而整个电偶极子的模型在正在推行的大学先修课程和学而思竞赛讲义中有详细讨论，学过的同学也会秒杀此题。

2013自主招生“北约”物理试卷解析

学而思自主招生研究中心 郭芃

今年北约整体风格向新课标高考偏转， 4选择4填空4大题，其中有大量的题难度相当于高考难度，知识也是课内学习知识。但是，超纲知识试题中依然必在，但比例较少而且趋近稳定。 选择题第三题：

类似潜望镜的双平面镜光学系统中，人看到的像与真实的物做比较，如何？（上下，左右，是否翻转）

【解析】将人看到的像与物作比较，完全一致，上下和左右都没有发生翻转。

【点评】这道题的难度属于高考水平，北京高考题中的光学知识的考察往往以概念选择题的形式出现。而这道纯粹的几何光学试题，比较符合初中应用物理知识竞赛的出题风格，对于高三的学生来说，应该能轻松搞定。 选择题第四题：

定性分析绝热体膨胀过程中的温度以及压强的变化。

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【解析】绝热膨胀的关键是绝热，即气体与外界没有热量的交换。那么膨胀是指体积变大，所以气体对外界做功。根据热力学第一定律，在绝热条件下对外做功，那么气体内能一定降低。由于气体的内能完全是温度的函数，所以内能降低，温度降低。结论是：体积变大，温度降低，压强降低。

【点评】热学知识对于北京的学生来说还不够熟悉，此题关键知识点是绝热以及热力学第一定律。但由于此题的热学过程比较简单（不涉及多过程），所以难度并不大。 填空题第三题

将斜面分成三等分，从下到上依次为A、B、C和D，从A释放初速度为V0，光滑，刚好到达D点。如果AB间有摩擦系数，那么同样初速V度释放，可以刚好到达C点，然后滑下，求再次到达B以及A点的时候的速度VB和VA？

1【解析】由于ABCD的高度均匀变化，从A到D对应的动能变化为Ek0?mV02。易知，当小物体第二

2次从C回到B点时，动能应该是Ek?Ek03，所以速度应该满足：VB?V03。当回到A的时候，由于

3。

B到A的过程中重力做的正功与摩擦力的负功应该能刚好抵消，所以速度满足：VA?VB?V0【点评】此题为高考水平，考查大家动能定理以及功能关系。如果思路清晰，可以快速口算答案，节省做题时间。 解答题第一题

已知汽车在路面上直线行驶的，V-t图如图所示，已知整个过程中的发动机输出的总功为0，求平面上的摩擦系数u？

【解析】利用动能定理，外力做的总功应该等于动能的增量。从图中可以看出：动能其实是减小的。又由于发动机的总功为0，所以摩擦力的总功就等于动能的变化。摩擦力做功的计算方法为摩擦力乘以总路程（总路程可以通过v-t图的面积得到）得到，初、末速度可以从图中得到，所以此题易解。 【点评】关键点为摩擦力做功等于摩擦力乘以总路程（而非总位移）。 解答题第四题（区分学生档次的压轴大题）

空空间磁场水平向里，考虑重力，从A点水平发射一个粒子，已知粒子的质量m，磁场大小B，问：（1）如果从A水平运动到B，AB距离为L，试求速度大小？（2）如果速度不满足上一问，速度

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无论多大都能到达B点，试求AB的距离L应该满足什么条件？A到B的时间为多少？（3）如果初速度为0，问是否可能到达B点，在此过程中，最大速度vmax为多少？

【解析】（1）第一问属于白送分问题，高三的同学都清楚的公式：mg?qv0B 所以可以得到此时的速度表达式：v0?mg，电荷为正电荷 qB（2）第二问是标准的竞赛练习题。首先是复合场（磁场，重力场）中的运动，高考水平一般都是匀速直线的简单情况（如第一问），但这一问显然不是这样，所以我们对新的速度做矢量分解：v?v0??v 其中的v0就是第一问的结果，?v是剩余部分的速度。

物体的合外力表示为：f?mg?q(v0??v)?B?mg?qv0?B?q?v?B?q?v?B

所以粒子的运动为两个运动合成：第一个运动是v0的匀速直线运动，第二个是?v大小的圆周运动，所以我们称之为“飘移圆周运动”，如下图定性所示。

所以当粒子第n次回到AB所在直线上时，粒子的运动位移大小为：

mg2?mL(n)?v0nT?n

qBqB2?nm2g (n?1,2,3,.....) 可以看出如果此时刚好到达B点，那么AB的距离为：L?q2B2易知A到B的时间为：t?nT?2?nm (n?1,2,3,.....) qB（3）类似第二问，将速度分解为v?mgmg的匀速运动和v0??的圆周运动，因而一个周期前进距BqBq离为L?mgmgm2mg?T??2?，因而到达条件跟上一问一样。速度最大值为v?v0? BqBqBqBq【点评】此题为标准的竞赛练习题。对于那些参加过学而思竞赛班课程的同学，这是一道非常经典的

例题，难度不大。但对于其他普通学生而言，这道题除了（1）问以外，其他小问不可能做对。 【备考建议】理科生学竞赛，就如同文科生多读书一样！建议学有余力的同学可以接触一些竞赛，但是重点在于培养兴趣、拓展视野锻炼分析和理解能力。可以看出今年的“2013北约”考题总体难度并不大，85%以上的题目属于高考水平。所以首先保证：会做的题要做对！！！对于压轴大题（带电粒子在复合场中的运动：飘移圆周运动），应该是能够区分学生档次的重要一题，对于学过竞赛的同学，尤其是参加过学而思竞赛班同学而言，是有非常大优势的。

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