物理重要习题答案

大学物理答案

12．4 半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强． ds R [解答]在带正电的圆弧上取一弧元

θ O Ex x ds = Rdθ，电荷元为dq = λds， 在O点产生的场强大小为 E Ey 1dq1?ds? y ， dE???d?224??0R4??0R4??0R场强的分量为dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ．

对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为

E?2Ey??dEsin?

L??2??0R?/6?0sin?d???(?cos?)2??0R?/6

0Ex θ O E Ey ds R y x ?(1?3?．

)22??0R12．13 一半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为R`

[解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球R 体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加．

对于一个半径为R，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P在球内时，过

O P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程

R` a O` E4?r2?143?r? ?03P点场强大小为 E??r． 3?0图12.10

当场点P在球外时，过P点作一半径为r的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程

E4?r2?14?R3? ?03?R3P点场强大小为 E?． 23?0rO点在大球体中心、小球体之外．大球体在O点产生的场强为零，小球在O点产生的场强大小为

?R`3，方向由O指向O`． EO?23?0aO`点在小球体中心、大球体之内．小球体在O`点产生的场强为零，大球在O点产生的场强大小为

θ Er EO`??a，方向也由O指向O`． 3?0r P E r` Er` O a O` [证明]在小球内任一点P，大球和小球产生的场强大小分别为

Er???r， Er`?r`，方向如图所示． 3?03?0设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为

1

?(?222E2)?Er2?Er`2?2ErEr`cos?， )r(?r`?2rr`c?os3?0根据余弦定理得

2 a2?r2?r`?2rr`co?s?(?， )所以 E??a， 3?0可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着O到O`的方向．因此空腔内的电场为匀强电场．

12．21 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：

R2 （1）A，B两点的电势；

（2）利用电势梯度求A，B两点的场强．

B rB O R [解答]（1）A点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A点的电1r 势就等于球心O点的电势． A A在半径为r的球壳处取一厚度为dr的薄壳，其体积为 dV = 4πr2dr，

图12.18 包含的电量为 dq = ρdV = 4πρr2dr，

在球心处产生的电势为

dUO?dq4??0r??rdr， ?0R2 O 球心处的总电势为

R1 UO???0R2R1?rdr??2(R2?R12)， 2?0r dr 这就是A点的电势UA．

过B点作一球面，B的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．

球面外的电荷在B点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得

U1??2(R2?rB2)． 2?0B R2 O rB 球面内的电荷在B点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B点产生的电势．球壳在球面内的体积为

V?43?(rB?R13)，包含的电量为 Q = ρV， 3 R1 这些电荷集中在球心时在B点产生的电势为

U2?Q4??0rB??3(rB?R13)． 3?0rBR13?22B点的电势为UB = U1 + U2?(3R2?rB?2)．

6?0rB（2）A点的场强为 EA???UA?0． ?rA?UBR13?B点的场强为EB???(rB?2)．

?rB3?0rB[讨论] 过空腔中A点作一半径为r的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯

定理，可得空腔中A点场强为

E = 0， (r≦R1)．

2

过球壳中B点作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为

V?4?(r3?R331)，

包含的电量为 q = ρV，

根据高斯定理得方程 4πr2E = q/ε0，

可得B点的场强为 E??R313?(r?2)， (R1≦r≦R2)．这两个结果与上面计算的结果相

0r同．

在球壳外面作一半径为r的同心球形高斯面，面内球壳的体积为

V?43?(R332?R1)，

包含的电量为 q = ρV，

根据高斯定理得可得球壳外的场强为 E?q?(R32?R31)4???，(R2≦r)． 0r23?20rA点的电势为

??R1R2?U?R3A??E?dl?r?Edr??0dr??ArArAR13?(r?1?(R32?R31)0r2)dr?R?2dr 23?0r ??2?(R22?R21)．

0B点的电势为

??R2?U?R3B??E?dl?r?Edr??(r?1)dr???(R32?R31)dr??(3R22R3212BrBrB3?2?rB?2)0rR23?0r6?0rB．

A和B点的电势与前面计算的结果相同．

13．4 三块平行金属板A、B和C，面积都是S = 100cm2，A、B相距d1 = 2mm，A、C相距d2 = 4mm，B、C接地，A板带有正电荷q = 3×10-8C，忽略边缘效应．求

（1）B、C板上的电荷为多少？ （2）A板电势为多少？ B [解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为ζA 1和ζ2，所带电量分别为

q1 = ζ1S和q2 = ζ2S，

q 在B、C板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程

q = q1 + q2 = ζ1S + ζ2S． ① A、B间的场强为 E1 = ζ1/ε0，

A、C间的场强为 E2 = ζ2/ε0． 图13.4 设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等，设为ΔU，则

ΔU = E1d1 = E2d2， ② 即 ζ1d1 = ζ2d2． ③

解联立方程①和③得 ζ1 = qd2/S(d1 + d2)， 所以 q1 = ζ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)； q2 = q - q1 = 1×10-8(C)． B、C板上的电荷分别为 qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)．

(2)两板电势差为 ΔU = E1d1 = ζ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0，所以 ε0 = 10-9/36π， 因此 ΔU = 144π = 452.4(V)．

由于B板和C板的电势为零，所以 UA = ΔU = 452.4(V)．

13．12 两个电容器电容之比C1:C2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能

3

C

量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？

[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = 2

Q/2C，得静电能之比为 W1:W2 = C2:C1 = 2:1．

两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = 2

CU/2，得静电能之比为 W1:W2 = C1:C2 = 1:2．

13．13 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，接在电源上维持其电压为U．将一块厚度为d相对介电常量为εr的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？

[解答]平行板电容器的电容为 C = ε0S/d，当面积减少一半时，电容为C1 = ε0S/2d；另一半插入电介质时，电容为C2 = ε0εrS/2d．两个电容器并联，总电容为 C = C1 + C2 = (1 + εr)ε0S/2d，

静电能为 W = CU2/2 = (1 + εr)ε0SU2/4d．

13．14 一平行板电容器板面积为S，板间距离为d，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr的液体中．求：（1）电容器的电容C；（2）浸入液体后电容器的静电能；（3）极板上的自由电荷面密度．

[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为 C = (1 + εr)ε0S/2d．

（2）电容器充电前的电容为C0 = ε0S/d， 充电后所带电量为 Q = C0U． 当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为 W = Q2/2C = C02U2/2C = ε0SU2/(1 + εr)d．

（3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C1 = ε0S/2d；介质中的一半的电容为 C2 = ε0εrS/2d．设两半的所带自由电荷分别为Q1和Q2，则

Q1 + Q2 = Q． ① 由于C = Q/U，所以

U = Q1/C1 = Q2/C2． ② 解联立方程得

Q1?C0UC1Q， ?C1?C21?C2/C1真空中一半电容器的自由电荷面密度为

?1?2C0U2?0UQ1． ??S/2(1?C2/C1)S(1??r)d同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为

2C0U2?0?rU． ?(C1/C2?1)S(1??r)d14.1 通有电流I的导线形状如图所示，图中ACDO是边长为b的正方形．求圆心O处的磁感应强度B = ？

A [解答]电流在O点的产生的磁场的方向都是垂直纸面向里的．根据毕-萨定

r0， 律：dB??0Idl?4?r2圆弧上的电流元与到O点的矢径垂直，在O点产生的磁场大小为 O ?2?I b C ?IdldB1?02， 由于 dl = adφ，

4?a3?/2?Id?3?0I积分得 B1??dB1??0． ?L8a4?a0dB2?a 图14.4 D OA和OD方向的直线在O点产生的磁场为零．在AC段，电流元在O点产生的磁场为

由于 l = bcot(π - θ) = -bcotθ， 所以 dl = bdθ/sin2θ；

又由于 r = b/sin(π - θ) = b/sinθ，

?0Idlsin?， 24?rA l Idl θ 4 C

r a Idl b D O

可得 dB2??0Isin?d?，

4?b3?/4?0I3?/4?0IB?dB?sin?d?积分得2??(?cos?)??/24?b4?bL同理可得CD段在O点产生的磁场B3 = B2． O点总磁感应强度为 B?B1?B2?B3???/22?0I 8?b3?0I2?0I． ?8a4?bθ2 [讨论]（1）假设圆弧张角为φ，电流在半径为a的圆心处产生的磁感应强度为

?IB?0?．

4?a（2）有限长直导线产生的磁感应大小为 B??0I(cos?1?cos?2)． 4?b对于AC段，θ1 = π/2、θ2 = 3π/4；对于CD段，θ1 = π/4、θ2 = π/2，都可得

I b θ1 B 2?0I．上述公式可以直接引用． 8?b14．3 如图所示的正方形线圈ABCD，每边长为a，通有电流I．求正方形中心O处的磁感应强度B = ？

[解答]正方形每一边到O点的距离都是a/2，在O点产生的磁场大小相等、方向相同．以AD边为例，利用直线电流的磁场公式：

A D ?0II ， B?(cos?1?cos?2)4?RO 令θ1 = π/4、θ2 = 3π/4、R = a/2，AD在O产生的场强为

2?0I， BAD?B 2?aC 图14.6 22?0IO点的磁感应强度为 B?4BAD?，

?a方向垂直纸面向里．

14．6在半径为R = 1.0cm的无限长半圆柱形导体面中均匀地通有电流I=5.0A，如图所示．

求圆柱轴线上任一点的磁感应强度B = ？

[解答]取导体面的横截面，电流方向垂直纸面向外． 半圆的周长为 C = πR， 电流线密度为 i = I/C = IπR．

在半圆上取一线元dl = Rdφ代表无限长直导线的截面，电流元为 dI = idl = Idφ/π，

?， 在轴线上产生的磁感应强度为 dB??0dI??0Idy 2?R2?2RdBy dB 方向与径向垂直．dB的两个分量为 φ R dBx = dBcosφ，dBy = dBsinφ．

??o1 dBx x ?0I?0Icos?d??2sin??0， 积分得 Bx? 2B2?B3??2?0R2?R0??I?IBy??02sin?d??02(?cos?)2?R2?R0??0?0I．

?2R由对称性也可知Bx = 0，所以磁感应强度 B = By = 6.4×10-5(T)，方向沿着y正向．

5

14．11 有一电介质圆盘，其表面均匀带有电量Q，半径为a，可绕盘心且与盘面垂直的轴转动，设角速度为ω．求圆盘中心o的磁感应强度B = ？

[解答]圆盘面积为 S = πa2，面电荷密度为 ζ = Q/S = Q/πa2．

在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的薄环，其面积为 dS = 2πrdr， ω 所带的电量为 dq = ζdS = 2πζrdr． 薄圆环转动的周期为 T = 2π/ω， ao 形成的电流元为 dI = dq/T = ωζrdr．

薄环电流可以当作圆电流，在圆心产生的磁感应强度为

dB = μ0dI/2r = μ0ωζdr/2，

图14.14 从o到a积分得圆盘在圆心产生磁感应强度为

B = μ0ωζa/2 = μ0ωQ/2πa．

如果圆盘带正电，则磁场方向向上．

14．12二条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图所示．已知a = b = c = 10cm，l = 10m，I1 = I2 = 100A，求通过线圈的磁通量．

dx I2 [解答]电流I1和I2在线圈中产生的磁场方向都是垂直纸面向里的，在坐I1 标系中的x点，它们共同产生的磁感应强度大小为 ?0I1?0I2l x ． B??2?(a?b/2?x)2?(c?b/2?x)o1 在矩形中取一面积元dS = ldx，

通过面积元的磁通量为dΦ = BdS = Bldx，

c a b 通过线圈的磁通量为

图14.15 ?0lb/2I1I2??(?)dx

2??b/2?a?b/2?xc?b/2?x??0la?bc(I1ln?I1ln)=2×10-7×10×100×2ln2=2.77×10-4(Wb)． 2?ac?b*

14．15 一长直载流导体，具有半径为R的圆形横截面，在其内部有与导体相切，半径为a的圆柱形长孔，其轴与导体轴平行，相距b = R – a，导体截有均匀分布的电流I．

（1）证明空孔内的磁场为均匀场并求出磁感应强度B的值；

R （2）若要获得与载流为I，单位长度匝数n的长螺线管内部磁场相等的均

b a 匀磁场，a应满足什么条件？

O1 O`1 [解答]（1）导体中的电流垂直纸面向外，电流密度为

??I． 22?(R?a)图14.18 长孔中没有电流，可以当作通有相反电流的导体，两个电流密度的大小都为δ，这样，长孔中磁场是两个均匀分布的圆形电流产生的．

如果在圆形截面中过任意点P取一个半径为r的同心圆，其面积为 S = πr2， 包围的电流为 ΣI = δS = πr2δ， 根据安培环路定理可得方程 2πrBr = μ0ΣI，

??I?0??r，方向与矢径r垂直． 磁感应强度为 Br?02?r2 同理，密度为-δ的电流在P点产生的磁感应强度为

Br R B θ Br`??0?2r`， 方向与矢径r`垂直．

P r φ r` Br` O1 b O`1 a 设两个磁感应强度之间的夹角为θ，则合场强的平方为 B2?Br2?Br2`?2BrBr`cos?

2222根据余弦定理，如图可知：b?r?r`?2rr`cos?，

6

B2?(?0?)2(r2?r`2?2rr`cos?)．

b， 2由于b和δ都是常量，可见：长孔中是均匀磁场．

将δ和b代入公式得磁感应强度大小为 B?由于φ = π - θ，所以 B??0??0I2?(R?a)，

可以证明磁场的方向向上．

（2）[解答]长螺线管内部的场为 B =μ0nI，

1与上式联立得 a??R，这就是a所满足的条件．

2?n[注意]此题中的长孔中的磁场与习题13．10．中空腔中的电场情况非常类似．

16．2 一长直载流导线电流强度为I，铜棒AB长为L，A端与直导线的距离为xA，AB与直导线的夹角为θ，以水平速度v向右运动．求AB棒的动生电动势为多少，何端电势高？

[解答]在棒上长为l处取一线元dl，在垂直于速度方向上的长度为 I xA A dl⊥ = dlcosθ；

θ l 线元到直线之间的距离为 r = xA + lsinθ，

r dl 直线电流在线元处产生的磁感应强度为

v ?I?0I． B?0?2?r2?(xA?lsin?)由于B，v和dl⊥相互垂直，线元上动生电动势的大小为

B x o 图16.2

d??Bvdl??棒的动生电动势为

?0Ivcos?dl，

2?(xA?lsin?)?Ivcos???02??0Ivcos?dl??x?lsin?2?sin?0ALxA?Lsin?d(xA?lsin?)?0Iv?cot?ln?2?xAxA?lsin?0L，

A端的电势高．

[讨论]（1）当θ→π/2时，cotθ = cosθ/sinθ→0，所以ε→0，就是说：当棒不切割磁力线时，棒中不产生电动势．

（2）当θ→0时，由于lnxA?Lsin?Lsin?Lsin??IvL?ln(1?)?，所以??0，

xAxAxA2?xA这就是棒垂直割磁力线时所产生电动势．

16．10 长为b，宽为a的矩形线圈ABCD与无限长直截流导线共面，且线圈的长边平行于长直导线，线圈以速度v向右平动，t时刻基AD边距离长直导线为x；且长直导线中的电流按I = I0cosωt规律随时间变化，如图所示．求回路中的电动势ε． A B [解答]电流I在r处产生的磁感应强度为B?穿过面积元dS = bdr的磁通量为

?0I， 2?rB rx x d??BdS??0Ibdr， 2?rdrx v bx C 穿过矩形线圈ABCD的磁通量为

D a 图16.10

?0Ibx?a1?0Ibx?a??dr?ln()，

2??r2?xx回路中的电动势为

7

d?dt?Ibx?aavcos?t?00[?ln()sin?t?]．

2?xx(x?a)??????0bx?adI11dx[ln()?I(?)]2?xdtx?axdt 显然，第一项是由于磁场变化产生的感生电动势，第二项是由于线圈运动产生的动生电

动势．

16．16 一圆形线圈C1由50匝表面绝缘的细导线密绕而成，圆面积S = 2cm2，将C1放在一个半径R = 20cm的大圆线圈C2的中心，两线圈共轴，C2线圈为100匝．求：

I2 （1）两线圈的互感M； C2

-1

（2）C2线圈中的电流以50A·s的速率减少时，C1中的感应电动势为多少？

C1 [解答](1)设大线圈中通以电流I2，N2匝线圈形成的环电流在圆心产生的磁感应强度为 B = μ0N2I2/2R，

小线圈中的全磁通为 Φ12 = N1BS =μ0N1N2I2S/2R，

图16.16

互感系数为 M = Φ12/I2 = μ0N1N2S/2R= 4π×10-7×50×100×2×10-4/2×0.2=10-6π(H)．

(2) C1中的感应电动势的大小为 ε = MdI2/dt = 10-6π×50 = 5×10-5π(V)．

17．4铝表面电子的逸出功为6.72×10-19J，今有波长为λ = 2.0×10-7m的光投射到铝表面上．试求：

（1）由此产生的光电子的最大初动能； （2）遏止电势差； （3）铝的红限波长．

[解答]（1）光子的能量为E = hν = hc/λ， 根据爱因斯坦光电效应方程hν = Ek + A，

产生的光电子的最大初动能为Ek = hν - A= 6.63×10-34×3×108/2.0×10-7-6.72×10-19= 3.23×10-19(J)．

（2）遏止电势差的公式为eUs = Ek，遏止电势差为Us = Ek/e = 3.23×10-19/1.6×10-19=2.0(V)．

（3）铝的红限频率为ν0 = A/h，红限波长为 λ0 = c/ν0 = hc/A= 6.63×10-34×3×108/6.72×10-19= 2.96×10-7(m)

17．5 康普顿散射中入射X射线的波长是λ = 0.70×10-10m，散射的X射线与入射的X射线垂直．求：

（1）反冲电子的动能EK； （2）散射X射线的波长；

（3）反冲电子的运动方向与入射X射线间的夹角θ． [解答]（1）（2）根据康普顿散射公式得波长变化为

???2?sin2?2?2?2.426?10hc?12sin2?4= 2.426×10(m)，

-12

散射线的波长为λ` = λ + Δλ = 0.72426×10-10(m)．

?348?348?3?106.63?10??310hc6.63?10反冲电子的动能为Ek?= ????10?10??`0.7?100.72426?10θ h/λ

p 9.52×10-17(J)．（3）由于

hc/?`?0.71`． tan?????0.9665，所以夹角为θ = 44°

hc/??`0.72426

8

17．11 电子和光子各具有波长2.0×10-10m，它们的动量和总能量各是多少？ [解答]它们的动量都为

根据公式E2 = p2c2 + m02c4，电子的总能量为

6.63?10?34-24-1

= 3.315×10(kg·m·s)． p???10?2?10h22108)2]1/2=8.19×10-14(J)． E?cp2?m0c=3×108×[(3.315×10-24)2 + (9.1×10-31×3×

光子的静止质量为零，总能量为

E = cp = 3×108×3.315×10-24 = 9.945×10-16(J)．

17．17 设有一宽度为a的一维无限深势阱，粒子处于第一激发态，求在x = 0至x = a/3之间找到粒子的几率？

[解答]粒子在一维无限深势阱中的定态波函数为

?n(x)?2n?x(0?x?a)， sin,aa(n?1,2,3,...) Ψ(x) = 0，(x < 0，x > a)．

当粒子处于第一激发态时，n = 2，在x = 0至x = a/3之间被发现的几率为

a/3a/32?|?2(x)|dx?0?023222?xsindx??= 0.391．

32?aa

17．13 假定对某个粒子动量的测定可精确到千分之一，试确定这个粒子位置的最小不确定量．

（1）该粒子质量为5×10-3kg，以2m·s-1的速度运动； （2）该粒子是速度为1.8×108m·s-1的电子． [解答]粒子的动量为 p = mv， 动量的不确定量为 Δp = p/1000， 根据动量和位置的不确定关系Δp·Δx≧?/2， 位置的不确定量为 Δx = ?/2Δp．

h1000h1000?6.63?10?34-30

（1）?x?= 5.276×10(m)． ??34??5?10?22?p4?mv1000?6.63?10?34h1000h（2）?x?= 3.22×10-10(m)． ???3182?p4?mv4??9.1?10?1.8?10

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17．20 一维运动的粒子，处于如下的波函数所描述的状态

?Axe??x,(x?0); ?(x)???0,(x?0).式中λ > 0，A为常数．

（1）将此波函数归一化；

（2）求粒子位置的概率分布函数； （3）粒子在在何处出现的概率最大？ [解答]（1）归一化得

??21?2???|?|dx??Axe0??22?2?x?12?2?x xdedx?A?2?02??12?2?x?A{xe2?20?2?xe0???2?x?1dx}??2A()2?xde?2?x

2?02??1??2A()2{xe?2?x2?3/2

0??e0?2?x?1dx}?2A()3e?2?x2?2?0A2?3， 4?所以A =2λ ．归一化波函数为

?2?3/2xe??x,(x?0); ?(x)??0,(x?0).?（[注]利用Γ函数的性质可简化积分过程．

??(n)??xn?1e?xdx，

0当n为整数时，Γ(n) = (n - 1)!．设y = 2λx，则dx = dy/2λ，可得

??xe02?2?x?11133?1?ydx?()?yedy?()3?(3)?2()3，

2?2?2?0可以得出同一结果．）

（2）粒子坐标的几率分布函数为

?4?3x2e?2?x,(x?0); w(x)?|?(x)|??0,(x?0).?2（3）利用上一题的方法求导可得几率最大的位置为x = 1/λ．

17．22 原子内电子的量子态由n、l、ml、ms四个量子数表征，当n、l、ml一定时，不同的量子态数目为多少？当n、l一定时，不同量子态数目为多少？当n一定时，不同量子态数目为多少？

[解答]当n、l、ml一定时，ms只取两个值，所以量子态数目为2．

当n、l一定时，ml有(2l + 1)种不同取值，所以量子态数目为2(2l + 1)． 当n一定时，l从0到(n - 1)共有n种不同取值，量子态数目为

?2(2l?1)?4?l?2?1

l?0l?0l?0n?1n?1n?1?4?

n(n?1)?2n?2n2． 2 10

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