2022届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结):两角和与差的正弦、
更新时间:2023-04-18 13:22:01 阅读量: 实用文档 文档下载
第五节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合]
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)=sin_αcos_β±cos_αsin_β cos(α±β)=cos_αcos_β?sin_αsin_β tan(α±β)=
tan α±tan β
1?tan αtan β
[探究] 1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗?若出现不适用的情况如何化简? 提示:在T(α+β)与T(α-β)中,α,β,α±β都不等于k π+π
2(k ∈Z ),即保证tan α,tan β,tan(α
+β)都有意义;若α,β中有一角是k π+π
2
(k ∈Z ),可利用诱导公式化简.
2.二倍角余弦公式的常用变形是什么?它有何重要应用? 提示:二倍角余弦公式的常用变形是:cos 2α=
1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α
2
,这就是使用极其广泛的降幂扩角公式.在三角恒等变换中,这两个公式可以实现三角式的“次数”降低,利于问题的研究.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin_αcos_α
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
tan 2α=2tan α1-tan 2α
[自测·牛刀小试]
1.计算cos 28°cos 17°-sin 28°sin 17°的结果等于( ) A.12
B.22
C.32
D.33
解析:选B 原式=cos(28°+17°)=cos 45°=
22. 2.已知tan ????α-π6=37,tan ????π6+β=25
,则tan(α+β)的值为( ) A.
2941 B.129 C.141
D .1 解析:选D tan(α+β)=tan ???
?????α-π6+????π6+β =tan ????α-π6+tan ????π6+β1-tan ????α-π6·tan ????π6+β=37+251-37×25=1. 3.(教材习题改编)下列各式中,值为12
的是( ) A .2sin 15°cos 15°
B .cos 215°-sin 215°
C .2sin 215°-1
D .sin 215°+cos 215° 解析:选A 2sin15°cos 15°=sin 30°=12
; cos 215°-sin 215°=cos 30°=
32; 2sin 215°-1=-cos 30°=-32;sin 215°+cos 215°=1. 4.(教材习题改编)已知cos α=35
,0<α<π,则cos ????α-π6=________. 解析:∵cos α=35
,0<α<π, ∴sin α=45
,
∴cos ????α-π6=cos αcos π6+sin αsin π6
=
32cos α+12sin α=32×35+12×45 =4+3310
. 答案:
4+3310 5.(教材习题改编)在△ABC 中,cos A =45
,tan B =2,则tan(2A +2B )=________. 解析:在△ABC 中,∵cos A =45,0<A <π,得sin A =35
. ∴tan A =sin A cos A =34
. ∴tan 2A =
2tan A 1-tan 2A =247, tan 2B =2tan B 1-tan 2B
=-4
3, ∴tan(2A +2B )=
tan 2A +tan 2B 1-tan 2A ·tan 2B =44
117. 答案:44117
[例1] (1)化简:(1+sin θ+cos θ)????sin θ2-cos θ22+2cos θ
(0<θ<π); (2)求值:1+cos 20°2sin 20°-sin 10°????1tan 5°-tan 5°. [自主解答] (1)原式 =????2sin θ2cos θ2
+2cos 2θ2????sin θ2-cos θ24cos 2θ2
=cos θ2????sin 2θ2-cos 2θ2???
?cos θ2
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