2022届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：两角和与差的正弦、

第五节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β tan(α±β)＝

tan α±tan β

1?tan αtan β

[探究] 1.两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？ 提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π

2(k ∈Z )，即保证tan α，tan β，tan(α

＋β)都有意义；若α，β中有一角是k π＋π

2

(k ∈Z )，可利用诱导公式化简．

2．二倍角余弦公式的常用变形是什么？它有何重要应用？ 提示：二倍角余弦公式的常用变形是：cos 2α＝

1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α

2

，这就是使用极其广泛的降幂扩角公式．在三角恒等变换中，这两个公式可以实现三角式的“次数”降低，利于问题的研究．

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin_αcos_α

cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α

tan 2α＝2tan α1－tan 2α

[自测·牛刀小试]

1．计算cos 28°cos 17°－sin 28°sin 17°的结果等于( ) A.12

B.22

C.32

D.33

解析：选B 原式＝cos(28°＋17°)＝cos 45°＝

22. 2．已知tan ????α－π6＝37，tan ????π6＋β＝25

，则tan(α＋β)的值为( ) A.

2941 B.129 C.141

D ．1 解析：选D tan(α＋β)＝tan ???

?????α－π6＋????π6＋β ＝tan ????α－π6＋tan ????π6＋β1－tan ????α－π6·tan ????π6＋β＝37＋251－37×25＝1. 3．(教材习题改编)下列各式中，值为12

的是( ) A ．2sin 15°cos 15°

B ．cos 215°－sin 215°

C ．2sin 215°－1

D ．sin 215°＋cos 215° 解析：选A 2sin15°cos 15°＝sin 30°＝12

； cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝

32； 2sin 215°－1＝－cos 30°＝－32；sin 215°＋cos 215°＝1. 4．(教材习题改编)已知cos α＝35

，0＜α＜π，则cos ????α－π6＝________. 解析：∵cos α＝35

，0＜α＜π， ∴sin α＝45

，

∴cos ????α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6

＝

32cos α＋12sin α＝32×35＋12×45 ＝4＋3310

. 答案：

4＋3310 5．(教材习题改编)在△ABC 中，cos A ＝45

，tan B ＝2，则tan(2A ＋2B )＝________. 解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，0＜A ＜π，得sin A ＝35

. ∴tan A ＝sin A cos A ＝34

. ∴tan 2A ＝

2tan A 1－tan 2A ＝247， tan 2B ＝2tan B 1－tan 2B

＝－4

3， ∴tan(2A ＋2B )＝

tan 2A ＋tan 2B 1－tan 2A ·tan 2B ＝44

117. 答案：44117

[例1] (1)化简：(1＋sin θ＋cos θ)????sin θ2－cos θ22＋2cos θ

(0＜θ＜π)； (2)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°????1tan 5°－tan 5°. [自主解答] (1)原式 ＝????2sin θ2cos θ2

＋2cos 2θ2????sin θ2－cos θ24cos 2θ2

＝cos θ2????sin 2θ2－cos 2θ2???

?cos θ2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c4eq.html