上海交大大学物理习题8

习题8

?8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位比A点落后6，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。 解：根据题意，对于A、B两点，

，

x?x1?x????2??1??22???2???而相位和波长之间满足关系：，

?u??12m/sT代入数据，可得：波长?=24m。又∵T=2s，所以波速。

8-2．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y?Acos(?t??)，波速为u，

求：

（1）平面波的波动式；

（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?

xy?Acos[?（t?）??0]u解：（1）设平面波的波动式为，则P点的振动式为：

xyP?Acos[?（t?1）??0]u，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较，

?xx?x1?0?1??y?Acos[?(t?)??]uu有：，∴平面波的波动式为：；

xy?Acos[?（t?）??0]u（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：，则P点的振动式

为：

xyP?Acos[?（t?1）??0]u，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， ?xx?x1?0??1??y?Acos[?(t?)??]uu有：，∴平面波的波动式为：。

8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为y?Acos(2??t??)，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；

（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。

解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：

x?ly?Acos[2??（t?）??0]yA?Acos[2??（t?）??0]uuA，则点的振动式：

2??l?0???y?Acos(2??t??)uA题设点的振动式比较，有：，

lxy?Acos[2??（t??）??]uu∴该平面简谐波的表达式为：

（2）B点的振动表达式可直接将坐标x?d?l，代入波动方程：

y?Acos[2??（t?ld?ld?）??]?Acos[2??（t?）??]uuu

????2??1??6，?x?2m1t?s8-4．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，3时的波形如图所示，且周期T为2s。

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（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。

解：由图可知：A?0.1m，??0.4m，而T?2s，则：u??/T?0.2m/s，

2?2?????k??5?T?，，∴波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??0)

O点的振动方程可写成：yO?0.1cos(?t??0)

1?t?s0.05?0.1cos(??0)3时：yO?0.05，有：3由图形可知： dyO?5??0?0?3，3（舍去） 考虑到此时dt，∴

那么：（1）O点的振动表达式：

yO?0.1cos(?t??3；

))3（2）波动方程为：；

（3）设A点的振动表达式为：yA?0.1cos(?t??A)

1?t?scos(??A)?03时：yA?0，有：3由图形可知：

y?0.1cos(?t?5?x??dyA5?7??0?A???A?6（或6） 考虑到此时dt，∴

5?7?yA?0.1cos(?t?)yA?0.1cos(?t?)66∴A点的振动表达式：，或；

（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：

?yA?0.1cos(?t?5?xA?)3，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有： 5??7?t???t?5?xA?xA??0.233m63，所以：30。

8-5．一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：

（1）原点的振动表达式；

（2）波动表达式；

（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动 图像！

?3y?5?10cos(?t??0)。 O由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：

（1）当t?0时，

yOt?0dyO?2.5?10，考虑到：dt?3t?0?0，有：

?0???3，

dyOy?0当t?1时，Ot?1，考虑到：dt，有：

5??yO?5?10?3cos(t?)63； ∴原点的振动表达式：

t?1?0???3??2，

??5?6，

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（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：

?5?124?5?24??k????y?5?10?3cos(t?x?)u60.825，∴6253； 而

?x25???2??k?x???3.27rad?24（3）位相差：。

y?5?10?3cos(5??t?kx?)63

?38-6．一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为9.0?10J/(s?m)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？

?3解：（1）已知波的平均强度为：I?9.0?10J/(s?m)，由I?w?u有：

I9.0?10?3w???3?10?5J/m3u300

?53wmax?2w?6?10J/m；

11uW?w??d2??w?d244? （2）由W?w?V，∴

。

3?438-7．一弹性波在媒质中传播的速度u?10m/s，振幅A?1.0?10m，频率??10Hz。若该媒质的密

3?42800kg/m度为，求：（1）该波的平均能流密度；（2）1分钟内垂直通过面积S?4.0?10m的总能量。

1I?u?A2?22解：（1）由：，有：

122I??103?800?（10?4）（2??103）?1.58?105W/m2； 2?42（2）1分钟为60秒，通过面积S?4.0?10m的总能量为：

W?ISt?1.58?105?4?10?4?60?3.79?103J 。

?3?10?5J/m3??4?(0.14m)2?1m?4.62?10?7J8-8．S1与S2为左、右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为d?5?/4，S2质点的振动比S12?y10?Acost?2ST，且媒质无吸收，超前，设1的振动方程为（1）写出S1与S2之间的合成波动方程；（2）分别写出S1与S2左、右侧的合成波动方程。 解：（1）如图，以S1为原点，有振动方程：

y10?Acos2?tT，

??S2S1x则波源S1在右侧产生的行波方程为：

y1?Acos(2?2?t?x)T?，

y20?Acos(2??t?)T2，

由于S2质点的振动比S1超前?2，∴S2的振动方程为

设以S1为原点，波源S2在其左侧产生的行波方程为：

2?2?t?x??)T?，由于波源S2的坐标为5?/4，代入可得振动方程： 2?2?5?2??y20?Acos(t????)y20?Acos(t?)T?4T2比较，有：???2?。 ，与y2?Acos(第 3 页 共 7 页

2?2?2?2?t?x?2?)?Acos(t?x)T?T?∴。

可见，在S1与S2之间的任一点x处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，合成波为：y2?Acos(y?y1?y2?2Acos2??xcos2?tT，为驻波；

2?2?t?x)ST?1（2）∵波源在左侧产生的行波方程为：， 2?2?2?2?y2?Acos(t?x)y左?y1'?y2?2Acos（t?x）T?T?与叠加，有：；

2?2?y2'?Acos(t?x??')ST?2（3）设波源在其右侧产生的行波方程为：，

2?2?5?y20'?Acos(t????')S5?/4T?42代入波源的坐标为，可得振动方程：，

2??y20'?y20?Acos(t?)T2比较，有：?'?3?。 与

2?2?2?2?y2'?Acos(t?x?3?)?Acos(t?x??)T?T?∴。 2?2?y1?Acos(t?x)T?与叠加，有：y右?y1?y2'?0。

表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。

1?8-9．设S1与S2为两个相干波源，相距4波长，S1比S2的位相超前2。若两波在在S1、S2连线方向

y1'?Acos(上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何？

S2S1SSS?解：（1）如图，1、2连线上在1外侧， ?r2r12??2??????2??1?(r2?r1)????????2?4∵，

∴两波反相，合成波强度为0；

（2）如图，S1、S2连线上在S2外侧，

?2∵

∴两波同相，合成波的振幅为2A，

22I?(2A)?4A?4I0。 合成波的强度为：

????2??1?2?(r2'?r1')????2?(?)?0?4，

?8-10．测定气体中声速的孔脱（Kundt）法如下：一细棒的中部夹住，一端有盘D伸入玻璃管，如图

所示。管中撒有软木屑，管的另一端有活塞P，使棒纵向振动，移动活塞位置直至软木屑形成波节和波腹图案。若已知棒中纵波的频率?，量度相邻波节间的平均距离d，可求得管内气体中的声速u。试证：u?2?d。

证明：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：

?x??2，再根据已知条件：量度相邻波节间的平均距

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2，那么：??2d，

所以波速为：u????2?d。

离d，所以：

d??8-11．图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。S为声源，D为声音探测器，如耳或话筒。路径SBD的长度可以变化，但路径SAD是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度在B的第一位置时为极小值100单位，而渐增至B距第一位置为1.65cm的第二位置时，有极大值900单位。求：

（1）声源发出的声波频率；

（2）抵达探测器的两波的振幅之比。

??x?2， 解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：

??x?4，可得：??4?x?6.6cm。 相邻波节与波腹的间距：

u340????5151（Hz）。?2?6.6?10（1）声音的速度在空气中约为340m/s，所以：

222I?(A?A)I?(A?A)max12min12I?A（2）∵，，，依题意有：

(A1?A2)2?100A12A1?20?2(A1?A2)?900 ?A2?10 ，那么A21。

8-12．绳索上的波以波速v?25m/s传播，若绳的两端固定，相距2m，在绳上形成驻波，且除端点外其间有3个波节。设驻波振幅为0.1m，t?0时绳上各点均经过平衡位置。试写出：

（1）驻波的表示式；

（2）形成该驻波的两列反向进行的行波表示式。

??x?2，如果绳的两端固定，那么两个端点上都是波节，解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹)间距：

??x?4??22根据题意除端点外其间还有3个波节，可见两端点之间有四个半波长的距离，，则：

?ud?4??2???2??50?（Hz）。2?，波长：??1m，又∵波速u?25m/s，∴又已知驻波振幅为0.1m，

?t?0时绳上各点均经过平衡位置，说明它们的初始相位为2，关于时间部分的余弦函数应为

??cos（50?t?）y?0.1cos2?xcos（50?t?）2，所以驻波方程为：2；

2?xy?y1?y2?2Acoscos2??t?（2）由合成波的形式为：，

可推出合成该驻波的两列波的波动方程为：

y1?0.05cos（50?t?2?x） y2?0.05cos（50?t?2?x??） 。

x?)cos?t?28-13．弦线上的驻波波动方程为：，设弦线的质量线密度为?。

（1）分别指出振动势能和动能总是为零的各点位置；

y?Acos(2??（2）分别计算

0??2半个波段内的振动势能、动能和总能量。

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