大学物理学 - （第3版 修订版） 赵近芳 下册 - - 第九到十五章答案

习题9

9.1选择题

(1) 正方形的两对角线处各放置电荷Q，另两对角线各放置电荷q，若Q所受到合力为零，

则Q与q的关系为：（）

（A）Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q

[答案：A] (2) 下面说法正确的是：（）

（A）若高斯面上的电场强度处处为零，则该面内必定没有电荷；

（B）若高斯面内没有电荷，则该面上的电场强度必定处处为零； （C）若高斯面上的电场强度处处不为零，则该面内必定有电荷； （D）若高斯面内有电荷，则该面上的电场强度必定处处不为零。

[答案：D] (3) 一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ，则在距球面R处的电场强度（） （A）σ/ε0 （B）σ/2ε0 （C）σ/4ε0 （D）σ/8ε0

[答案：C] (4) 在电场中的导体内部的（）

（A）电场和电势均为零； （B）电场不为零，电势均为零；

（C）电势和表面电势相等； （D）电势低于表面电势。

[答案：C]

9.2填空题

(1) 在静电场中，电势不变的区域，场强必定为 。

[答案：相同]

(2) 一个点电荷q放在立方体中心，则穿过某一表面的电通量为 ，若将点电荷由中心向外移动至无限远，则总通量将 。

[答案：q/6ε0, 将为零]

(3) 电介质在电容器中作用（a）——（b）——。

[答案：(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命]

(4) 电量Q均匀分布在半径为R的球体内，则球内球外的静电能之比 。

[答案：5：6]

9.3 电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题9.3图示

(1) 以A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q?为负电荷

1q212cos30??4π?0a24π?0qq?(32a)3

解得 q???3q 3 (2)与三角形边长无关．

题9.3图 题9.4图

9.4 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2? ,如题9.4图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的

解: 如题9.4图示

Tcos??mg??q2 ?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2?

解得 q?2lsin?4??0mgtan? 9.5 根据点电荷场强公式E?q4??0r2，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→

∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

?E解: ?q4π?0r2?r0仅对点电荷成立，当r?0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求

场强是错误的，实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

9.6 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有相互作用力f，有人说f=

q24??0d2,又有人说，因为f=qE,E?q，所?0Sq2以f=．试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少?

?0S解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强E?q看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个?0Sqq2板的电场为E?，另一板受它的作用力f?q，这是两板间相互作用?2?0S2?0S2?0Sq的电场力．

-1

9.7 长l=15.0cmAB上均匀地分布着线密度?=5.0x10-9C·m

(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强． 解： 如题9.7图所示

(1) 在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强

为dEP?1?dx 24π?0(a?x)?EP??dEP?4π?0?l2l?2dx 题9.7图 2(a?x)

??11[?]

ll4π?0a?a?22?用l?15cm，??5.0?10?9?lπ?0(4a2?l2)

C?m?1, a?12.5cm代入得

EP?6.74?102N?C?1 方向水平向右

(2)

dEQ?1?dx 方向如题9.7图所示

4π?0x2?d22由于对称性dEQxl???0，即EQ只有y分量，

1?dx?4π?0x2?d22d2x?d222∵ dEQy

EQy??dEQyld??24π?2

?l2l?2dx(x2?d22)32

?以??5.0?10?9?l2π?0l?4d222C?cm?1, l?15cm,d2?5cm代入得

EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y轴正向

9.8 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为?,求环心处O点的场强． 解: 如9.8图在圆上取dl?Rd?

题9.8图

dq??dl?R?d?，它在O点产生场强大小为 dE??Rd?方向沿半径向外

4π?0R2则 dEx?dEsin???sin?d?

4π?0R??cos?d?

4π?0R dEy?dEcos(???)?积分Ex???0??sin?d??

4π?0R2π?0REy???0??cos?d??0

4π?0R∴ E?Ex?

?，方向沿x轴正向．

2π?0R9.9 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在r??l处，它相当于点电荷q产生的场强E解: 如9.9图示，正方形一条边上电荷

?q在P点产生物强dEP方向如图，大小为 4dEP???cos?1?cos?2?4π?0r2?l42

∵ cos?1?l2r2?l22

cos?2??cos?1

∴ dEP??4π?0r2?l42lr2?l22

?dEP在垂直于平面上的分量dE??dEPcos?

∴ dE???l4π?0r2?l42rr2?l22r2?l42

题9.9图

由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为

EP?4?dE??4?lr4π?0(r2?ll)r2?4222

∵ ??∴ EP?q 4l2qr4π?0(r2?ll)r2?422 方向沿OP

9.10 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?

??qE 解: (1)由高斯定理??dS?

s?0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量?e?q． 6?0(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上电通量?e?q 6?0q， 24?0对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则?e?如果它包含q所在顶点则?e?0．

如题9.10图所示． 题9.10 图

9.11 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10C·m求距球心5cm，

-3

?58cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理E?dS?s????q,E4πr?02??q

?0?当r?5cm时，?q?0,E?0

r?8cm时，?q?p4π33(r ?r内) 3?∴ E?4π32r?r内3?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． 24π?0r??r?12cm时,?q??4π33(r外?r内 ）3?∴ E?4π33r外?r内3?4.10?104 N?C?1 沿半径向外. 24π?0r??9.12 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．

???q解: 高斯定理?E?dS?

s?0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl

??则 ?E?dS?E2πrl

S对(1) r?R1

?q?0,E?0

?q?l?

(2) R1?r?R2 ∴ E?? 沿径向向外

2π?0r(3) r?R2

?q?0

∴ E?0

题9.13图

9.13 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，试求空间各处场

解: 如题9.13图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2， 两面间， E??1?(?1??2)n 2?0?1?(?1??2)n ?1面外， E??2?0?2面外， E??1?(?1??2)n 2?0?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．

9.14 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题9.14图所示．试求：两球心O与O?点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．

解: 将此带电体看作带正电?的均匀球与带电??的均匀小球的组合，见题9.14图(a)．

?(1) ??球在O点产生电场E10?0，

??? 球在O点产生电场E2043πr??3OO' 4π?0d3?r3?∴ O点电场E0?OO'；

3?0d3?43?d??3OO' 34π?0d(2) ??在O?产生电场E10????球在O?产生电场E20??0

??OO' ∴ O? 点电场 E0??3?0

题9.14图(a) 题9.14图(b)

??(3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r (如题8-13(b)图)

???r则 EPO?，

3?0???r?EPO???,

3?0?????????d∴ EP?EPO?EPO?? (r?r?)?OO'?3?03?03?0∴腔内场强是均匀的．

-6

9.15 一电偶极子由q=1.0×10C偶极子放在1.0×10N·C

5

-1

d=0.2cm，把这电

??解: ∵ 电偶极子p在外场E中受力矩

???M?p?E

∴ Mmax?pE?qlE代入数字

Mmax?1.0?10?6?2?10?3?1.0?105?2.0?10?4N?m

9.16 两点电荷q1=1.5×10C，q2=3.0×10C，相距r1=42cm，要把它们之间的距离变为

-8

-8

r2=25cm，需作多少功?

解: A??r2r1??r2qqdrqq11F?dr??122?12(?)

r24π?r4π?0r1r20??6.55?10?6J

外力需作的功 A???A??6.55?10 J

?6

题9.17图

9.17 如题9.17图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的

解: 如题9.17图示

UO?1qq(?)?0 4π?0RRUO?1qqq(?)?? 4π?03RR6π?0Rqoq

6π?0R∴ A?q0(UO?UC)?

9.18 如题9.18图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl?Rd?

?则dq??Rd?产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向

题9.18图

E??dEy??2???Rd?cos?

?4π?R202????［sin(?)?sin］

4π?0R22??

2π?0R?(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0

U1??AB2R?dx?dx????ln2 R4π?x4π?0x4π?00同理CD产生 U2??ln2 4π?0半圆环产生 U3?πR???

4π?0R4?0∴ UO?U1?U2?U3???ln2? 2π?04?0

4-1

9.19 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量m0=9.1×10kg，电子电量e=1.60×10C)

-31

-19

解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强

E??

2π?0re? 2π?0r电子受力大小 Fe?eE?

e?v2∴ ?m

2π?0rr2π?0mv2?12.5?10?13C?m?1 得 ??e

-1

9.20 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm 解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 U?Ed?1.5?10V

9.21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题9.21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符

4?2，证: 如题9.21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为?1，

?3，?4

题9.21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有

?? ?E?dS?(?2??3)?S?0

s∴ ?2??3?0

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；

(2)在A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

?1?2?3?4????0 2?02?02?02?0又∵ ?2??3?0 ∴ ?1??4

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．

9.22 三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0

-7

mm．B，C都接地，如题9.22图所示．如果使A板带正电3.0×10C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零，则A板的电势是多少? 解: 如题9.22图示，令A板左侧面电荷面密度为?1，右侧面电荷面密度为?2

2

题9.22图

(1)∵ UAC?UAB，即 ∴ EACdAC?EABdAB ∴

?1EACdAB???2 ?2EABdACqA S且 ?1+?2?得 ?2?qA2q, ?1?A 3S3S而 qC???1S??2qA??2?10?7C 3qB???2S??1?10?7C(2) UA?EACdAC?

?1dAC?2.3?103V ?09.23两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：(1) (2) *(3) 解: (1)内球带电?q；球壳内表面带电则为?q,外表面带电为?q，且均匀分布，其电势

U???R2???E?dr??R2qdrq? 24π?0R4π?0r

题9.23图

(2)外壳接地时，外表面电荷?q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为?q．所以球壳电势由内球?q与内表面?q产生：

U?q4π?0R2?q4π?0R2?0

(3)设此时内球壳带电量为q?；则外壳内表面带电量为?q?，外壳外表面带电量为?q?q? (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且

UA?q'4π?0R1?q'4π?0R2??q?q'?0

4π?0R2得 q??外球壳上电势

R1q R2?q?q'?R1?R2?q? 24π?0R24π?0R2UB?

q'4π?0R2?q'4π?0R2?9.24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．

解: 如题9.24图所示，设金属球感应电荷为q?，则球接地时电势UO?0

d?3R处有

题9.24图

由电势叠加原理有：

UO?q'q??0

4π?0R4π?03Rq 3得 q???

9.25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F0．试求：

(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2

q2解: 由题意知 F0?

4π?0r2(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电

q, 2小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

3q???q

4∴ 此时小球1与小球2间相互作用力

q??32qq'q\38F1???F0 24π?0r4π?0r82(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为

2q. 322qq4∴ 小球1、2间的作用力F2?33?F0

4π?0r29

9.26 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为?r，金属球带电Q．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．

??解: 利用有介质时的高斯定理?D?dS??q

S(1)介质内(R1?r?R2)场强

???Qr?QrD?,E内?; 334πr4π?0?rr介质外(r?R2)场强

??Qr?QrD?,E外? 334πr4π?0r (2)介质外(r?R2)电势

???U??E外?dr?rQ 4π?0r介质内(R1?r?R2)电势

??????U??E内?dr??E外?drrr

?11Q(?)?

4π?0?rrR24π?0R2q? (3)金属球的电势

1??1(?r)

4π?0?rrR2QU??R2R1R2?????E内?dr??E外?dr

R2??Qdr4π?0?rr2R??Qdr

R24π?r20??

Q4π?0?r(1?r?1?) R1R29.27 如题9.27图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为?r的电介质．试求：在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．

解: 如题9.27图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度分别为?2与?1 由D?dS???????q0得

D1??1，D2??2

而 D1??0E1,D2??0?rE2

E1?E2?U d

但从安培环路定理来看，环路L中有电流I穿过，环路积分应为 这是为什么?

解: 我们导出B内??0nl,B外?0有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这时图中环路L上就一定没有电流通过，即也是

??·d=?0I lB?L外?L??B外?dl??0?I?0，与

?L???B外?dl??0?dl?0是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实

际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L的电流为I，因此实际螺线管若是无限长时，

??I只是B外的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量B??0,r为管外一点到螺线管轴

2?r的距离．

题 10.6 图

10.7 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发

生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场?

解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转．

-2

x轴正方向，如题9-6图所 10.8 已知磁感应强度B?2.0Wb·m

示．试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中aefd面的磁通量．

解： 如题10.8图所示

题10.8图

(1)通过abcd面积S1的磁通是

???1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通过befc面积S2的磁通量

???2?B?S2?0

(3)通过aefd面积S3的磁通量

??4?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb (或?0.24Wb)

5

题10.9图

10.9 如题10.9图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．若通以电流I，求O点的磁感应强度．

??解：如题10.9图所示，O点磁场由AB、BC、CD三部分电流产生．其中

?AB 产生 B1?0

CD 产生B2??0I12R，方向垂直向里

CD 段产生 B3??0I?I3(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向里 R2?R24?2∴B0?B1?B2?B3?

?0I3?(1??)，方向?向里． 2?R2610.10 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L1和L2，相距0.1m，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题10.10图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为5.0cm．试求A，B

题10.10图

?解：如题10.10图所示,BA方向垂直纸面向里

BA??0I12?(0.1?0.05)??0I2?1.2?10?4T

2??0.05BB???0I12?(0.1?0.05)??0I2?1.33?10?5T

2??0.05?(2)设B?0在L2外侧距离L2为r处

则

?0I2?(r?0.1)??I2?0 2?r解得 r?0.1 m

题10.11图

10.11 如题10.11图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，B两点，并在很远处与电源相连．已知圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感应强度．

解： 如题10.11图所示，圆心O点磁场由直电流A?和B?及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A?和B?在O点产生的磁场为零。且

I1电阻R2???. I2电阻R12????I1产生B1方向?纸面向外

B1??0I1(2???)，

2R2??I2产生B2方向?纸面向里

B2??0I2?

2R2?∴

B1I1(2???)??1 B2I2????有 B0?B1?B2?0

10.12 在一半径R=1.0cm

I=5.0 A通

过，电流分布均匀.如题10.12图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度．

题10.12图

解：因为金属片无限长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感应强度方向都在圆柱截面上，取

?I坐标如题10.12图所示，取宽为dl的一无限长直电流dI?在轴上P点产生dB与Rdl，

?R垂直，大小为

IRd??0dI?Id??RdB???02 2?R2?R2?R?Icos?d? dBx?dBcos??022?R?Isin?d?? dBy?dBcos(??)??0222?R?0∴ Bx???2??2?0I?Icos?d??0I???[sin?sin(?)]??6.37?10?5 T 2222?R2?R22?RBy??(??2??2?0Isin?d?)?0 22?R???5∴ B?6.37?10i T

10.13 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a=0.52×10cm的轨道上作匀速圆周运动，

-8

速率v=2.2×10cm·s．求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值．

8

-1

解：电子在轨道中心产生的磁感应强度

????0ev?aB0? 34?a如题10.13图，方向垂直向里，大小为

B0???0ev?13 T 4?a2电子磁矩Pm在图中也是垂直向里，大小为

Pm?e2eva?a??9.2?10?24 A?m2 T2题10.13图 题10.14图

10.14 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流I1=I2=20A，如题10.14图所示．求： (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A(2)通过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm, 解：(1) BA?

l=25cm)

?0I1d2?()2??0I2d2?()2?4?10?5 T

?纸面向外

(2)

dS?ldr

r1?r2r1???[?1I1?0I1?Il?Il1?Il?]ldr?01ln3?02ln?1ln3?2.2?10?6Wb 2?r2?(d?r)2?2?3?

10.15 一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀分布.在导线内部作一平面S，如题10.15图所示．试计算通过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率

???0.

解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感应强度

??B?dl??0?I

lIr2B2?r??02

R∴ B??0Ir 2?R2

题 10.15 图 磁通量 ?m?B?dS?(s)????R0?0Ir?0I?6dr??10 Wb 24?2?R

10.16 设题10.16图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并讨论：

?(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B的大小是否相等?

(2)在闭合曲线c上各点的B是否为零?为什么?

???解： ?B?dl?8?0a

?ba??B?dl?8?0

c??B??dl?0

?(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．

???(2)在闭合曲线C上各点B不为零．只是B的环路积分为零而非每点B?0．

题10.16图题10.17图

10.17 题10.17图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地分布在管的横截面上．设导体的磁导率

???0，试证明导体内部各点(a?r?b) 的磁感应强度的大小由下式给出： r2?a2 B? 22r2?(b?a)?0I解：取闭合回路l?2?r (a?r?b)

??则 ?B?dl?B2?r

l?I?(?r2??a)2I 22?b??a?0I(r2?a2)∴ B?

2?r(b2?a2)

10.18 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一同轴的导体圆管(内、外半径分别为b,c)构成，如题10.18图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，（3）导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感应强度的大小 解：

?L??B?dl??0?I

Ir2(1)r?a B2?r??02

RB?(2) a?r?b B2?r??0I

?0Ir 2?R2B??0I 2?rr2?b2??0I (3)b?r?c B2?r???0I2c?b2?0I(c2?r2) B?2?r(c2?b2)(4)r?c B2?r?0

B?0

题10.18图题10.19图

10.19 在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题10.19图所示．现在电流I沿导体管流动，电流均

(1) (2) 解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流?I2均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和． (1)圆柱轴线上的O点B的大小：

电流I1产生的B1?0，电流?I2产生的磁场

?0I2?0Ir2B2??

2?a2?aR2?r2∴ B0?(2)空心部分轴线上O?点B的大小：

?0Ir22?a(R2?r2)

??0， 电流I2产生的B2?0Ia?0Ia2???电流I1产生的B2 22222?aR?r2?(R?r)??∴ B0

?0Ia2?(R2?r2)

题10.20图

10.20 如题10.20图所示，长直电流I1附近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者 共面．求△ABC的各边所受的磁力． 解： FAB???AB??I2dl?B

FAB?I2a?0I1?0I1I2a? 方向垂直AB向左 2?d2?d???CFAC??I2dl?B 方向垂直AC向下，大小为

AFAC??d?adI2dr?0I1?0I1I2d?a ?ln2?r2?d?同理 FBC方向垂直BC向上，大小

FBc??d?adI2dl?0I1 2?r∵ dl?∴ FBC?

dr ?cos45?d?aa?0I2I1dr?IId?a?012ln

2?rcos45?d2?题10.21图

?10.21 在磁感应强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线，电

流为I，如题9-19

?

解：在曲线上取dl ???bF?Idl?B 则 ab?a??????∵ dl与B夹角?dl，B??不变，B是均匀的．

2????bb?∴ Fab??Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B

aa方向⊥ab向上，大小Fab?BIab

题10.22图

10.22 如题10.22图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I2=10 A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．已知a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm (1)导线AB(2)

? 解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

FCD?I2b?F同理FE方向垂直FE向右，大小

?0I1?8.0?10?4 N 2?dFFE?I2b?FCF方向垂直CF向上，大小为

?0I12?(d?a)?8.0?10?5 N

FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln?9.2?10?5 N 2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小为

FED?FCF?9.2?10?5(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小为

N

?????F?7.2?10?4N

合力矩M?Pm?B ∵ 线圈与导线共面

?????∴ Pm//B

?M?0．

题10.23图

10.23 边长为l=0.1m线圈平面与磁B=1T 的均匀磁场中，场方向平行.如题10.23图所示，使线圈通以电流I=10A，求： (1)线圈每边所受的安培力； (2)对OO?轴的磁力矩大小；

(3)从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．

???F?Il?B?0 解： (1) bc???Fab?Il?B 方向?纸面向外，大小为

Fab?IlBsin120??0.866 N

???Fca?Il?B方向?纸面向里，大小

Fca?IlBsin120??0.866 N

(2)Pm?IS

???M?Pm?B 沿OO?方向，大小为

3l2M?ISB?IB?4.33?10?2 N?m

4(3)磁力功 A?I(?2??1)

∵ ?1?0 ?2?32lB 4

?解: 取半圆形cba法向为i， 题11.4图

则 ?m1同理，半圆形adc法向为j，则

πR2?Bcos?

2??m????∵ B与i夹角和B与j夹角相等，

2πR2?Bcos?

2∴ ??45 则 ?m?BπRcos?

2????d?mdB??πR2cos???8.89?10?2V dtdt方向与cbadc相反，即顺时针方向．

题11.5图 11.5 如题11.5图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度v平行导线平移．求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压

UM?UN．

解: 作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿v方向运动时d?m?0 ∴ ?MeNM?0 即 ?MeN??MN 又∵ ?MN?所以?MeN沿NeM方向，

??a?ba?bvBcos?dl??0Iva?bln?0 2?a?b大小为

?0Iva?bln 2?a?b?0Iva?bln2?a?b

M点电势高于N点电势，即

UM?UN?

题11.6图

11.6如题11.6所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以(1)

(2)

解: 以向外磁通为正则 (1) ?m?b?adI的变化率增大，求： dt

b?ad?a?ln] ?b2πrd2πr2πbdd??0ld?ab?adI?[ln?ln] (2) ???dt2πdbdtldr??d?a?0I?0Ildr??0Il[ln

11.7 如题11.7图所示，用一根硬导线弯成半径为r的一个半圆．令这半圆形导线在磁场中以频率f绕图中半圆的直径旋转．整个电路的电阻为R．求：感应电流的最大值．

题11.7图

??πr2cos(?t??0) 解: ?m?B?S?B2d?mBπr2??i???sin(?t??0)dt2∴ 22Bπr?Bπr?m??2πf?π2r2Bf22π2r2Bf?∴ I? RR?m

11.8 如题11.8图所示，长直导线通以电流I=5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线

-1

圈长b=0.06m，宽a=0.04m，线圈以速度v=0.03m·sd=0.05m时线圈中感应电动势的大小和方向．

题11.8图

?解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA产生电动势

?I????1??(v?B)?dl?vBb?vb0

D2?dABC产生电动势

?2??∴回路中总感应电动势

CB???(v?B)?dl??vb?0I2π(a?d)

???1??2?方向沿顺时针．

?0Ibv11(?)?1.6?10?8 V 2πdd?a?11.9 长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动．已知导轨处于均匀磁场B中，B的方向与回路的法线成60°角(如题11.9图所示)，B的大小为B=kt(k为正常)．设

??t=0时杆位于cd处，求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向．

??1122??B解: m??dS?Blvtcos60??ktlv?klvt

22∴ ???即沿abcd方向顺时针方向．

d?m??klvt dt题11.9图

?11.10 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B的方向如题11.10图所示．取

逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t=0)．

解: 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时

d??0,??0； dt题11.10图(a)在磁场中时出场时

题11.10图(b)

d??0,??0； dtd??0，??0，故I?t曲线如题10-9图(b)所示. dt题11.11图

11.11 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速?转动，aO=轴，如图11.11所示．试求： （1）ab两端的电势差； （2）a,b两端哪一点电势高? 解: (1)在Ob上取r?r?dr一小段 则 ?Ob?l磁感应强度B平行于转3?2l30?rBdr?2B?2l 91B?l2 18同理 ?Oa??l30?rBdr?∴ ?ab??aO??Ob?(?121?)B?l2?B?l2 1896(2)∵ ?ab?0 即Ua?Ub?0 ∴b点电势高．

题11.12图

11.12 如题11.12图所示，长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并以

?速度v平行于两直导线运动．两直导线通以大小相等、方向相反的电流I，两导线相距2a．试求：金属杆两端的电势差及其方向．

解：在金属杆上取dr距左边直导线为r，则

?ABa?b?Iv1??0Iva?b1??? ??(v?B)?dl???0(?)dr?lnAa?b2?r2a?r?a?bB∵ ?AB?0 ∴实际上感应电动势方向从B?A，即从图中从右向左， ∴ UAB?

?0Iva?bln ?a?b题11.13图

11.13 磁感应强度为B的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在题11.13图中位

置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外．当动势的大小和方向．

?dB＞0时，求：杆两端的感应电dt解： ∵ ?ac??ab??bc

?ab???abd?1d323RdB??[?RB]? dtdt44dtd?2dπR2πR2dBB]? ????[?dt1212dtdt∴ ?ac3R2πR2dB?[?]

412dt∵

dB?0 dt∴ ?ac?0即?从a?c

dB＞0的磁场，一任意闭合导线abca，一部分在螺线管dt内绷直成ab弦，a,b两点与螺线管绝缘，如题10-13图所示．设ab =R，试求：闭合

11.14 半径为R的直螺线管中，有导线中的感应电动势．

解：如图，闭合导线abca内磁通量

??πR23R2?m?B?S?B(?)

64

πR232dB?R)∴ ?i??( 64dt∵

dB?0 dt?i?0，即感应电动势沿acba，逆时针方向． ∴

题11.14图题11.15图

11.15 如题11.15图所示，在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体ab于直径位置，另一导体cd在一弦上，导体均与螺线管绝缘．当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题11.15图示

（1）ab （2）cd

????dB??dS知，此时E旋以O为中心沿逆时针方向． 解： 由?E旋?dl???ldt(1)∵ab是直径，在ab上处处E旋与ab垂直

?

?∴ ?旋?dl?0

l?ab?0,有Ua?Ub ∴

(2)同理， ?dc??cd??E?dl?0

旋∴ Ud?Uc?0即Uc?Ud

题11.16图

11.16 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题11.16图所示放置(导线与线圈接触处绝缘)．求：线圈与导线间的互感系数．

解： 设长直电流为I，其磁场通过正方形线圈的互感磁通为

?12??2a3a3?0Ia2πrdr??0Ia2πln2

∴ M??12I??0a2πln2

11.17两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4H．试求：它们之间的互感． 解： ∵顺串时 L?L1?L2?2M 反串联时L??L1?L2?2M

∴ L?L??4M

M?

L?L??0.15H4

题11.18图

11.18 一矩形截面的螺绕环如题11.18图所示，共有N

(1) (2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少? 解：如题11.18图示 (1)通过横截面的磁通为 ??磁链 ??N???b?0NI2rπahdr??0NIh2πlnb a?0N2Ih2πlnb a∴ L??I??0N2h2πlnb a(2)∵ Wm?∴ Wm?12LI 2lnb a?0N2I2h4π

11.19 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I．求：导线内部单位长度上所储存的磁能．

解：在r?R时 B??0Ir2πR2

?0I2r2B2∴ wm? ?242?08πR取 dV?2πrdr(∵导线长l?1)

则 W??R0wm2?rdr??R?0I2r3dr4πR40??0I216π

习题12

12.1 选择题

(1)对于位移电流，下列说法正确的是（）：

（A）与电荷的定向运动有关； （B）变化的电场； （C）产生焦耳热； （D）与传导电流一样。

[答案：B]

(2)对于平面电磁波，下列说法不正确的是（）：

（A）平面电磁波为横波； （B）电磁波是偏振波； （C）同一点E和H的量值关系为

[答案：D]

(3) 图示为一充电后的平行板电容器，A板带正电，B板带负电，开关K合上时，A、B位移电流方向为（按图上所标X轴正方向回答）（）： （A） x轴正向

（B） x轴负向 A B R （C） x轴正向或负向 k （D） 不确定 （ E ） x ?E??H； （D）电磁波的波速等于光速。

[答案：B]

12.2填空题

(1)一个变化的电场必定有一个磁场伴随它，方程为 ；

?????D?d?D??(j0?)?ds] [答案：?lH?dl?I?s1dt?t

(2)一个变化的磁场必定有一个电场伴随它，方程为 ；

???d?m?B?E?dl?????ds] [答案：??ldt?t

(3)磁力线必定是无头无尾的闭合曲线，方程为 ；

??[答案：?B?ds?0 ]

s

(4)静电平衡的导体内部不可能有电荷的分布，方程为 。

??[答案：?D?ds??q0???0dV ]

sV

12.3 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1＜R2)，中间充满介电常数为?的电介质.当两极板间的电压随时间的变化

dU?k时(k为常数)，求介质内距圆柱轴线为dtr

解：圆柱形电容器电容 C?2??l R2lnR1q?CU?2??lU R2lnR1D?q2??lU?U?? S2?rlnR2rlnR2R1R1?D??t∴ j??kRrln2R1

12.4 试证：平行板电容器的位移电流可写成Id?CdU．式中C为电容器的电容，U是dt电容器两极板的电势差．如果不是平板电容器，以上关系还适用吗? 解：∵ q?CU

D??0?CU S∴ ?D?DS?CU

不是平板电容器时 D??0仍成立

ID?d?DdU?Cdtdt∴ ID?CdU还适用． dt题12.5图

12.5 如题12.5图所示，电荷+q以速度v向O点运动，+q到O点的距离为x，在O点处作半径为a的圆平面，圆平面与v垂直．求：通过此圆的位移电流． 解：如题12.5图所示，当q离平面x时，通过圆平面的电位移通量

???D?q(1?2xx?a22)

d?D∴ ID??dtqa2v2(x2?a)322

题12.5图

12.6 如题12.6图所示，设平行板电容器内各点的交变电场强度E=720sin10?tV·m，正

-1

5方向规定如图．试求：

(1)电容器中的位移电流密度；

(2)电容器内距中心联线r=10m的一点P，当t=0和t=

-2

1?10?5s时磁场强度的大小及方向2(不考虑传导电流产生的磁场)． 解：(1) jD?∴ jD??0?D,D??0E ?t?E???0(720sin105?t)?720?105??0cos105?t A?m?2 ?t?t???? (2)∵ ?H?dl??I0??jD?dS

l(S)取与极板平行且以中心连线为圆心，半径r的圆周l?2?r，则

H2?r??r2jD

H?rjD 2t?0时HP?r?720?105??0?3.6?105??0A?m?1 2

t?

1?10?5s时，HP?0 212.7 半径为R=0.10m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中．今对电容器匀速充电，

dE13-1-1

=1.0×10 V·m·s．求两极板间的位移电流，并计算电dt容器内离两圆板中心联线r(r＜R)处的磁感应强度Br以及r=R处的磁感应强度BR．

?D?E解: (1) jD? ??0?t?t使两极板间电场的变化率为

ID?jDS?jD?R2?2.8A

????(2)∵ ?H?dl??I0??jD?dS

lS取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周l?2?r，则

H2?r?jD?r2??0∴ H?dE2?r dtrdE ?02dt??rdE Br??0H?002dt当r?R时，BR?

?0?0RdE2dt?5.6?10?6 T

*12.8 有一圆柱形导体，截面半径为a，电阻率为?,载有电流I0． (1)求在导体内距轴线为r处某点的E的大小和方向； (2)该点H的大小和方向；

???(3)该点坡印廷矢量S的大小和方向；

(4)将(3)的结果与长度为l、半径为r的导体内消耗的能量作比较． 解:(1)电流密度j0?I0 S由欧姆定律微分形式j0??E得

E?j0???j0??I0，方向与电流方向一致 2?a(2)取以导线轴为圆心，垂直于导线的平面圆周l?2?r，则

????由 ?H?dl??j0dS可得

lSr2H2?r?I02

a∴H?I0r，方向与电流成右螺旋 22?a(3)∵ S?E?H

????∴ S垂直于导线侧面而进入导线，大小为

?I02rS?EH? 242?a(4)长为l，半径为r(r?a)导体内单位时间消耗能量为

I0r22I0?lr2lW1?I01R?(2)?2?

a?r?a422单位时间进入长为l，半径为r导体内的能量

I0?lr2W2?S2?rl? 4?a2W1?W2说明这段导线消耗的能量正是电磁场进入导线的能量．

*12.9 一个很长的螺线管，每单位长度有n匝，截面半径为a，载有一增加的电流i，求： (1)在螺线管内距轴线为r处一点的感应电场； (2)在这点的坡印矢量的大小和方向． 解: (1)螺线管内 B??0ni

????B??dS 由 ?E?dl???lS?t取以管轴线为中心，垂直于轴的平面圆周l?2?r，正绕向与B成右螺旋关系，则

E2?r??∴E???B2?r ?t???nrdir?Bdi??0?0时，E与B成右螺旋关系；当 ，方向沿圆周切向，当2?t2dtdt??di?0时，E与B成左旋关系。 dt题12.9图

(2)∵ S?E?H，由E与H方向知，S指向轴，如图所示. 大小为

??????S?EH?Eni??0n2rdi2idt

-1

*12.10 一平面电磁波的波长为3.0cm，电场强度的振幅为30V·m，试问该电磁波的频率为

2

多少?磁场强度的振幅为多少?对于一个垂直于传播方向的面积为0.5m的全吸收面，该电磁波的平均幅射压强是多大? 解: 频率??利用

c??1.0?1010Hz

12?r?0E??r?0H和S?E0H0可得

B0??0H0??0?0E0?1.0?10?7T

由于电磁波具有动量，当它垂直射到一个面积为A的全吸收表面时，这个表面在?t时间内所吸收的电磁动量为gAc?t，于是该表面所受到的电磁波的平均辐射压强为：

SEHP?gC??00?C2C?0E02?4.0?10?9 Pa

?02C可见，电磁波的幅射压强(包括光压)是很微弱的．

习题13

13.1选择题

（1）在双缝干涉实验中，为使屏上的干涉条纹间距变大，可以采取的办法是[ ]

(A) 使屏靠近双缝．

(B) 使两缝的间距变小．

(C) 把两个缝的宽度稍微调窄．

(D) 改用波长较小的单色光源． [答案：C]

（2）两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃以棱边为轴，沿逆时针方向作微小转动，则干涉条纹的[ ] (A) 间隔变小，并向棱边方向平移． (B) 间隔变大，并向远离棱边方向平移． (C) 间隔不变，向棱边方向平移．

(D) 间隔变小，并向远离棱边方向平移． [答案：A]

（3）一束波长为?的单色光由空气垂直入射到折射率为n的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜最小的厚度为[ ] (A) ????? ． (B) ? / (4n)．

(C) ????? ． (D) ? / (2n)． [答案：B]

（4）在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n，厚度为d的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了[ ]

(A) 2 ( n-1 ) d． (B) 2nd． (C) 2 ( n-1 ) d+? / 2． (D) nd．

(E) ( n-1 ) d． [答案：A]

（5）在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n 的透明介质薄膜后，测出两束光的光程差的改变量为一个波长?，则薄膜的厚度是 ［ ］

(A) ????? ． (B) ? / (2n)． (C) ???? n ． (D) ? / [2(n-1)]． [答案：D]

13.2 填空题 S1 （1）如图所示，波长为?的平行单色光斜入射到距离

??为d的双缝上，入射角为?．在图中的屏中央O处

O (S1O?S2O)，两束相干光的相位差为

________________． ?? S2 [答案：2?dsin?/?]

（2）在双缝干涉实验中，所用单色光波长为?＝562.5 nm (1nm＝10-9 m)，双缝与观察屏的距离D＝1.2 m，若测得屏上相邻明条纹间距为?x＝1.5 mm，则双缝的间距d＝__________________________．

[答案：0.45mm]

（3）波长?＝600 nm的单色光垂直照射到牛顿环装置上，第二个明环与第五个明环所对应的空气膜厚度之差为____________nm．(1 nm=10-9 m)

[答案：900nm ]

（4）在杨氏双缝干涉实验中，整个装置的结构不变，全部由空气中浸入水中，则干涉条纹的间距将变 。（填疏或密）

[答案：变密 ]

（5）在杨氏双缝干涉实验中，光源作平行于缝S1，S2联线方向向下微小移动，则屏幕上的干涉条纹将向 方移动。

[答案：向上 ]

（6）在杨氏双缝干涉实验中，用一块透明的薄云母片盖住下面的一条缝，则屏幕上的干涉条纹将向 方移动。

[答案：向下 ]

d

（7）由两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃以垂直于下平玻璃的方向离开平移，则干涉条纹将向 平移，并且条纹的间距将 。

[答案：棱边，保持不变 ]

13.3 某单色光从空气射入水中，其频率、波速、波长是否变化?怎样变化? 解: ?不变，为波源的振动频率；?n??空n变小；u??n?变小．

13.4 什么是光程? 在不同的均匀媒质中，若单色光通过的光程相等时，其几何路程是否相同?其所需时间是否相同?在光程差与位相差的关系式???中波长,为什么?

解:??nr．不同媒质若光程相等，则其几何路程定不相同；其所需时间相同，为?t?2??? 中,光波的波长要用真空

?． C因为?中已经将光在介质中的路程折算为光在真空中所走的路程。

13.5 用劈尖干涉来检测工件表面的平整度，当波长为?的单色光垂直入射时,观察到的干涉条纹如题13.5图所示，每一条纹的弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分的连线相切．试说明工件缺陷是凸还是凹?并估算该缺陷的程度．

解: 工件缺陷是凹的．故各级等厚线(在缺陷附近的)向棱边方向弯曲．按题意，每一条纹弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分连线相切，说明弯曲部分相当于条纹向棱边移动了一条，故相应的空气隙厚度差为?e??2，这也是工件缺陷的程度．

题13.5图 题13.6图

13.6 如题13.6图，牛顿环的平凸透镜可以上下移动，若以单色光垂直照射，看见条纹向中 心收缩，问透镜是向上还是向下移动?

解: 条纹向中心收缩，透镜应向上移动．因相应条纹的膜厚ek位置向中心移动．

13.7 在杨氏双缝实验中，双缝间距d=0.20mm，缝屏间距D＝1.0m，试求：

(1) 若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm，计算此单色光的波长； (2) 相邻两明条纹间的距离．

1?103D?2?， k?知，6.0? 解: (1)由x明?0.2d

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