有理数单元总复习讲义

【中考命题趋势】

本章在各地中考题中主要是对有理数有关概念的理解及运算能力的考察，大多数以填空题、选择题的形式命题，有时出现个别判断题型，虽然试题内容相对简单，一般不会出现高难度题，属于中考的送分题，但考察的分值和比例并不多。

【知识点归纳】

负数，有理数

数轴

相反数 概念 绝对值 有理数的大小比较 倒数 加法

减法

乘法 运算除法 乘方

混合运算

科学记数法

近似数和有效数字

有理数

一、有理数的基本概念

考点1．负数

⑴ 用正负数表示相反意义的量（增加，减少；零上，零下；向前，向后。。。） ⑵定义：在正数前面加“—”（读负）的数，（-5，-2.8， ....） ⑶ a不一定是负数，关键看a是正数、负数还是0

3

4

例1：设向东行驶为正，则向东行驶30m记做 ，向西行驶20m记做 ，原地不动记做 ，—5m表示向行驶5m，+16m表示向行驶16m.。 例2：收入—2000元，表示 。

考点2．有理数

⑴定义：

整数： 正整数、零和负整数统称为整数。 ... 2, 1,0,1,2....

自然数：正整数和零。 0,1,2,3....

4

分数：正分数和负分数统称为分数。 0.3,0. , 5

......

有限小数

小数 无限循环小数

无限小数

无限不循环小数

有限小数和无限循环小数与分数可以相互转化。 【注】 ，以及 的倍数都不是分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 ⑵ 有理数分类

① 按有理数的定义分类 ②按正负分类

正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数

分数 负有理数 负分数 负分数

⑶ 习惯上将“正有理数和零”称作非负有理数 （即非负数）

⑷ 数集：把一些数放在一起就组成了一个数集，简称数集。有理数集，整数集，非负整数集等等。 ⑸ 【注】0既不是正数也不是负数，0是整数，0是自然数，0是非负数，0是非正数。0不仅仅表示没有。

最小的正整数是1，最大的负整数是-1，没有最大、最小的整数，最小的自然数是0。

1

-20, 1000.1, 0 21 ,0, 2001, 260,5%,例1： , 3

6

，负数有 个，正数有 个，整数有 7

个，正分数有 个，非负整数有 个。 例2：下列说法正确的是：（ ） ⑴一个数，如果不是正数，必定就是负数 ⑵正有理数是正整数和正分数的统称。 ⑶ 一个有理数不是分数就是正数。 ⑷ 整数不是奇数就是偶数。

⑸ 0是最小的有理数。⑹ 3.1415926 不是分数 ⑺ 正整数和负整数统称为整数。⑻ 奇数是正数

⑼ 有理数包括整数和分数 ⑽ —0.6是分数 ⑾ 0不是正数也不是负数。 ⑿ 0是自然数，不是整数。 ⒀ 没有最小的有理数。

【中考链接】

例⒈（2009绵阳）在电视上看到天气预报中，绵阳王朗国家级自然保护区某天气温为“－5℃”表示的意思是 。

例⒉（2010广东广州）如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（ ）

A．－18%

B．－8%

C．＋2%

D．＋8%

例⒊（2010安徽）在－１，０，１，２这四个数中，既不是正数也不是负数的是（ ）

A．-1 B. 0 C.1 D.2

例⒋（2010新疆乌鲁木齐）在0, 2,1, 2这四个数中负整数是（ ）

A．-2

B．0

C． 2

D．1

考点3．数轴

⑴ 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 ⑵ 数轴的三层涵义：

① 数轴是一条直线，可以向两方无限延伸

② 数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可

③ 原点的确定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，但一条数轴上的单位长度要统一，一般规定向右为正方向。

（3） 数轴的画法

① 画一条水平的直线；②在这条直线上的适当位置取一点作为原点；③确定正方向，用箭头表示；④选取适当长度作为单位长度，并对应标上数字。

（4）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数

（5）在数轴上比较有理数的大小

①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

②由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

例题：

例1：写出数轴上A,B,C,D,E各点表示的数，并用“>”号连接起来。

例2：写出大于—4而不大于2的所有的整数，并在数轴上表示出来。

例3：若数轴上的点A向右移动2个单位长度后，又向左移动1个单位长度，此时正好对应—8这个点，那么原来A点对应的数是 。

例4：写出两个比—2大的负有理数 。

【中考链接】

例⒈ （2010吉林）如图，数轴上点A所表示的数是_________。

例⒉（2010 连云港）下面四个数中比－2小的数是（ ） A．1 B．0 C．－1 D．－3

例⒊（2010 河北）如图，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上， CD = 6，点A对应的数为 1，则点B所对应

的数为 ．

例4．不大于4的正整数的个数为（ ）． A、2 B、3 C、4 D、5

4．相反数

（1）（代数意义）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。

（几何意义）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。 （2）互为相反数的性质

①正数的相反数是负数，负数的相反数是正数 ，0的相反数是0 ②互为相反数的两个数和为0 ，反过来，和为0的两个数互为相反数 即：a,b互为相反数 a+b=0，有时也可以表示为a=-b或b=-a （3）相反数的求法：

只需在一个数前面加一个“－”号，即a的相反数是 a。 在一个数的前面加一个“+”号，表示这个数的本身。 （4）多重符号化简

多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。

（5）【注】 相反数等于本身的数只有0，正数的相反数小于它本身，负数的相反数大于它本身。 a的相反数的相反数是a

例题：

例1：下列说法正确的是( )

A 一个数比它的相反数小，那么这个数是正数。 B 符号相反的两个数互为相反数。 C 互为相反数的两个数可能相等。 D 一个数的相反数不可能大于它本身。 例2：（1）0.1与a互为相反数，那么a= 。 （2）a-1的相反数是 。

（3）若-x的相反数是-7.5，则x= 。

（4）如果m的相反数是最大的负整数，n的相反数是-2，那么m+n= 。 例3：-[-（-3.5）]= -[-（+8）]=

【中考链接】

例⒈（2010江苏淮安）-(-2)的相反数是（ ）

A．2 B．

11

C．- D．-2 22

例⒉（2010浙江金华）如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，－a，1的大小关系表示正确的是（ ） A．a＜1＜－a

B．a＜－a＜1

A

1

C．1＜－a＜a D．－a＜a＜1

5．绝对值

（1）（几何意义）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫做数a的绝对值。

（代数意义）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． （2）绝对值的求法：去掉绝对值符号，必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

a

a 0

a

（3）绝对值性质

(a 0)(a 0)

(a 0)

一个数的绝对值是一个非负数，a≥0。

【注】绝对值最小的数是0，绝对值等于本身的数是正数和0（非负数），绝对值等于它的相反数的数是负数和0（非正数）。

（4）两个相反数的绝对值相等．

即：若a b 则a=b或a=-b

例题：

例1：若|a|=2，则a= 。

例2：到原点5个单位长度的点是 。

例3：若|m|=-m,则m是 。若|m|=m,则m是 。 例4：若|x+2|+|y-3|=0，则x= ,y= 。 例5：若|a|=4,|b|=3,且a<b,试求 a、b的值。 例6：写出绝对值不大于3的所有整数

【中考链接】

例⒈（2010鄂尔多斯）如果a与1互为相反数，则│a│等于（ ）

A.2 B.－2 C.1 D.－1

例⒉（2010吉林）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）

例⒉ （2010湖南长沙）实数a、b在数轴上位置如图所示，则|a|、|b|的大小关系是 ．

考点6：倒数

（1） 定义：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。

即：a,b互为倒数 ab=1 【注】倒数等于本身的数是1，-1。 （2）求法：

1

a

nm

② 求一个分数的倒数，即 n 0,m 0 倒数是

mn

①求非零整数的倒数，即a（a≠0的整数）的倒数是③ 求一个带分数的倒数，应将带分数化为假分数再求其倒数 ④ 求一个小数的倒数，现将小数化为分数，再求其倒数

例题：

(a b)2

例1． 若a、b互为相反数，c、d互为倒数，且c＝–l，求|c| 2cd 的值．

2c

例2：下列说法正确的是 。

①只有1的倒数等于它的本身。②－3.5的倒数是3.5。③零没有倒数。④0.1的倒数是10。⑤任何一个有理数a的倒数都等于

1

。⑥两个数的积等于1，这两个数互为倒数。 a

【中考链接】

例⒈（2010广东佛山）如图，数轴上的点A表示的数为a，则A.

1

等于（ ）． a

11

B. C.-2

D.2 22

例⒉（2010 山东荷泽）负实数a的倒数是（ ）

A．－a

B．

1a

C．

D．a

考点7．有理数大小比较原则

（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数 （2）两个负数，绝对值大的反而小

（3）有的不能直接比较两数的大小，可利用相减法、相除法以及寻找第三个等量的方法

例题：

例1：实数a,b在数轴上的位置如图所示，是比较a,-a,b,-b的大小关系。

例2：因为

122 ，所以，

333例3：若x<y<0,则 -x y, x -y , |x| |y|

二、有理数的运算

考点1．有理数的加法

(1)有理数加法法则

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③互为相反数的两个数相加得零。 ④一个数与0相加，仍得这个数。

字母表示：(1)a,b同号若a 0,b 0,则a+b=+ a b若a 0,b 0,则a+b=- a（2）a,b异号

a b,则a+b=+ a b 若a 0,b 0 a b,则a+b=-b a a b,则a+b=- a b

若a 0,b 0

a b,则a+b=+ b a

若a b，则a+b=0(3)若a 0,则a+b=b

（2）有理数加法的运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) （3）灵活运用加法运算律

①互为相反数的两个数，可先相加； ②符号相同的数可以先相加； ③分母相同的数可以先相加；

④几个数相加可以能得到整数可先相加。 （4）步骤：先确定符号，再计算绝对值

b

例题：

例1：下列说法正确的是

①若两个数的和为正数，则这两个数都是正数。②两个有理数相加，和一定大于每一个加数。③两个有理数的和可能为0。④两个有理数的和可能等于其中一个加数。⑤若a与-2互为相反数，则a+(-2)=0。 例2：如果|x|=2,|y|=3, 则 ①x,y同号，x+y= ②x,y异号，x+y=

例3：绝对值不大于-4.3的所有整数的和。 例4：用简便方法计算：

(1)

13 ( 12) 17 ( 18)

( 18.75) 6.25 ( 3.25) 18.75 821 ( ) ( )933

（2）如果a,b互为相反数，则a+2a+3a+ +99a+100a+b+2b+ +99b+100b= 。 （3）（-1）+3+（-5）+7+ +95+（-97）+99= 。

2．有理数的减法

法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 字母表示为： a-b=a+(-b)

例题：

例1：下列说法正确的是 。

①在有理数的减法中，被减数不一定比减数或差大。②两个相反数相减得零。③零减去一个数，仍得这个数。④负数减去正数，差为负数。⑤较小的数减去较大的数，所得的差一定为负。

例2：①A、B两点间的距离是多少？②A、C两点间的距离是多少？③探究两点间的距离与表示这两点的数有什么关系？

例3：某日哈尔滨等五城市最高气温与最低气温记录如下表，哪个城市的温差最大？哪个城市的温差最小？

考点3．有理数的加减混合运算

（1）步骤：现将式子写成代数和的形式，再按加法法则进行计算，适当的应用加法运算律

（2）代数和的读法：①按照运算符号来读，②按照性质符号来读；例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。

例题：

例1：-7，-12，+2的代数和比他们的绝对值的和小 。

例2：某校购回面粉10袋，每袋50千克，入库时又重新称量，结果如下，（超过的千克数记为正数，不足的

千克数记为负数）。+0.8，-0.5，+1.1,0,-0.3,+0.4,-1.2,-0.7,+0.6。问：①该校共买进面粉多少千克？②平均每袋面粉重多少？③平均每袋面粉比标准量多还是少？

例3：出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的大道上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行车里程如下（单位：千米）：+15，-3，+14，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18。①将最后一名乘客从到目的地时，小李距最初的出发点多少千米？②若汽车的耗油量为a升每千米，那么这天下午小李的车共耗油多少升？

考点4．有理数的乘法

（1）有理数的乘法法则

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。 【注】ab>0 a,b同号。 ab<0 a,b异号。

②几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。

③ 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。 （2）乘法运算律

乘法交换律： ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法对加法的分配律：a(b+c)=ab+ac （3）步骤：先确定符号，在把绝对值相乘。

例题：

例1：如果|a|=2,|b|=3,且ab<0,求3a+2b的值。 例2：下列说法正确的是 。

①一个数与1的积等于它本身。②一个数与-1的积是它的相反数。③如果ab=0，则一定有a=b=0。④一个有理数和它相反数的积一定为负。⑤积比每个因数都大。 例3：在-2,3，-4,5中任取两个数相乘，所得的积最大是 。 例4：（10-11）×（11-12）×（12-13）× ×（99-100）=

例5：如果三个数的积为负数，则这几个数中有 个负因数。 例6：（-7）×（-2）+（-12）×（-7）-（-3）×（-7）= 例7：若a,b异号，那么|1-ab|= 。 例8： 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 9

5．有理数的除法

（1）法则

①除以一个数等于乘以这个数的倒数。【注】0不能做除数。

即：a b a

1

(b 0) b

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不等于的数，都得零。 （2）乘除混合运算时，先变除为乘，再按照乘法计算

例题

例1：27 3

1 211 2

318 362

例2：体育课上，全班男同学进行百米测验，达标成绩为15秒，下面是第一组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒。-0.8.，+1.0，-1.2，-0.7，+0.5，-0.5，+0.1。①这个小组的男生达标率是多少？②这个小组的平均成绩是多少秒？

【中考链接】

例⒈ （2010 江苏镇江）计算：—3+2= （—3）×2=

例⒉（2010江苏宿迁）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a b的值（ ）．

A．大于0 B．小于0

C．小于a D．大于b

例3．在数轴上表示a、 b、 c三个数的点的位置如图所示，化简式子：|a－ b|+|a－ c|－| c－ b|.

例⒋（2010山东淄博）下列结论中不能由a b 0得到的是（ ）

222

（A）a ab （B）a b （C）a 0，b 0 （D）a b

例⒌如图，数轴上A、B两点对应的实数分别为a，b， 则下列结论不正确的是（ ） ．．．

A．a b 0 B．ab 0

C．a b 0 D．|a|—|b|>0

例6．（2010广东中山）阅读下列材料：

1

1 2 (1 2 3 0 1 2)，

31

2 3 (2 3 4 1 2 3)，

3

1

3 4 (3 4 5 2 3 4)，

3

由以上三个等式相加，可得

1 2 2 3 3 4

1

3 4 5 20. 3

读完以上材料，请你计算下列各题：

（1）1 2 2 3 3 4 10 11（写出过程）； （2）1 2 2 3 3 4 n (n 1)= ； （3）1 2 3 2 3 4 3 4 5 7 8 9= ． 例⒎（2010 重庆江津区）先观察下列等式：

11111111

＝1－ － ＝ － 1×222×3233×43411111则计算：＋＋ ＋ ＋ ＝_____________.

1×22×33×44×55×6例8．（2009济宁模拟题）计算： 3 3的结果是（ ） A.9 B.-9 C.1 D.-1

1 1

3 3

考点6．有理数的乘方

（1）定义：求几个相同因数积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数。

a a a a an 个

（2）有理数乘方的符号法则：

正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非0次幂都是零。 【注】①单独的一个数字或字母，它的指数是1，通常省略不写；

②当底数是分数或负数时，要加上括号。 ③理解 a

2n

a2n

2n

a

1

2n 1

a2n 1 （n=1,2,3.....)

特别的，当ａ＝１时，有 1 1

2n 1

1

（n=1,2,3.....)

记忆：22 4,

9

23 8,

10

24 16,25 32，26 64,27 128,28 256,

2 512，2 1024

例题：

例1：在 3 中，指数是，幂是

4

在－34中，指数是，幂是

22 2

， 例2： 3 3

例3： 2 表示（ ）

5

2

2

3

2

A 5个-2相乘 B 5个2相乘的相反数 C 2个-5相乘 D 2个5相乘的相反数 例4：|x+5|+(y-2) =0,那么,xy

例5：一根绳子，第一次减去一半，第二次减去剩下的一半，如果剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 。

例6：32003的末位数字是

2

【中考链接】

例⒈（2010 成都）x3表示（ ）

（A）3x （B）x x x （C）x x x （D）x 3 例⒉（2010 湖北孝感）( 1)

A．1

2010

的值是（ ）

C．2010

D．—2010

2010

B．—1

例⒊（2010广东深圳）观察下列算式，用你所发现的规律得出2

的末位数字是（ ）

21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，… A．2 B．4 C．6 D．8 例⒋（2008深圳）若 a 2 b 3 0,则 a b 的值是（

A.0 B.1 C.-1 D.2007

例5．（－０.125）2005×８2005+（－1）2004+（－1）2003的值是（ ）

(A) －2． (B) －1． (C) 0． (D)1．

2

2

）

考点７．有理数的混合运算

（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减。 （2）同级运算，按照从左至右的顺序进行。

（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。

例题：

例1：有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，求a2008 a2009的值。

例2：用3，-5,7，-13这四个数，进行加、减、成、除运算，每个数字用一次，使其结果为24。

3 5 3 1

例3： 4 1

5 6 4 2

2

3

考点８．科学记数法

（1）定义：一个大于10的数记成a 10的形式。其中1 a 10,n是正整数。像这样的记数法叫做科学记数法。

（2）10的指数n确定方法：①等于原数的整数位数减1；②等于小数点向右移动的位数。 （3）一般的，10的n次幂，在1的后面有n的0。

n

例题：

例1：把下列各数用科学记数法表示

4879.5= -369000000=

例2：下面是用科学记数法表示的数，则原来的数是什么？

(1) 1.39 104(2)5.000002 105

例3：25.8万用科学记数法表示 。

例4：光的传播速度是300000km/s，太阳照射到地球上大约需要500s，则太阳岛地球的距离用科学记数法可表示为 。

【中考链接】

例1．（2010浙江绍兴）自上海世博会开幕以来,中国馆以其独特的造型吸引 了世人的目光.据预测,在会展期间,参观中国馆的人次数估计可达到14 900 000,此数用科学记数法表示是( )

A.1.49 10 B.0.149 10 C.14.9 10 D.1.49 10

例2．（2010辽宁丹东市）在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.6 108帕的钢材，那么4.6 108的原数为（ ） A．4 600 000 B．46 000 000 C．460 000 000 D．4 600 000 000

例⒊（2010安徽芜湖）2010年芜湖市承接产业转移示范区建设成效明显，一季度完成固定资产投资238亿元，用科学记数法可记作（ ）

6

8

7

7

A．238×108元 B．23.8×109元 C．2.38×1010元 D．0.238×1011元

三、近似数和有效数字

（1）准确数：完全符合实际的数。

近似数：和准确数非常接近的数，近似数和准确数接近的程度叫做精确度。

（2）有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起到精确到的位数止，所有的数字都叫做这个数的有效数字。

（3）近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字。 （4）对于较大的数取近似数时，结果一般要用科学记数法表示，不看幂，只看a

例题：

例1：按要求对下列各题去近似值

①0.005308 （保留三个有效数字） ②0.49996 （精确到0.001）

③120000 （保留2个有效数字） ④2.996 104 （保留3个有效数字） ⑤738600000（精确到百万位） ⑥3.1549 105 （精确到百位） ⑦78.98万（精确到万位）

例2：下列各数均为近似数，分别精确到哪一位，有几个有效数字。 ①0.0280 ②4.876 10 ③550 ⑶ 0.028 ⑤30万 ⑥48760 例3：近似数2.30表示的精确度α的范围是（ ）

A．2.295≤α<2.305 B.2.25≤α<2.35 C.2.295<α≤2.305 D.2.25<α≤2.35

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【中考链接】

例⒈（2010山东威海）据统计，截止到5月31日上海世博会累计入园人数803.27万人．803.27万这个数字（保留两位有效数字）用科学记数法表示为 （ ）

A．8.0×102 B. 8.03×102 C. 8.0×106

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D. 8.03×106

例⒉（2010山东青岛）由四舍五入法得到的近似数8.8×10，下列说法中正确的是（ ）． A．精确到十分位，有2个有效数字 B．精确到个位，有2个有效数字 C．精确到百位，有2个有效数字 D．精确到千位，有4个有效数字

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