天元术的造术原理及其现代算法意义

天元术的造术原理及其现代算法意义

内容摘要：本文从天元术的含义、具体使用方法及特例描述、《测圆海镜》中建立天元式的根据这三个方面来具体阐述天元术的造术原理及其现代算法意义，由此得知，我国的天元术是符号代数最早的应用，根据问题给出的条件列方程的方法与现代列方程的方法类似，具有很大的现实指导意义。

关 键 词：天元术 列方程 《测圆海镜》

一、 引言

数学是用符号说话的，数学符号是“数学王国”中统一规定的文字，用字母表示未知数，用符号表示代数式是代数学的基本条件。我国的天元术就是符号代数最早的应用。

用方程解实际问题，一般说来要分两个步骤进行：先要根据问题给出的条件列出一个包括未知数的方程；第二步才是解方程求出它的根。12世纪末、13世纪初，中国数学家不仅创造了求解任意高次方程的“正负开方法”，同时也创造了根据问题给出的条件列方程的方法。而在没有普遍性的方法之前，列方程并不是一件简单的事。宋元时期，中国数学家终于找到了一种建立数字高次方程的方法，即“天元术”。

二、天元术的具体使用方法

天元术，是我国古代建立数学高次方程的方法，大约产生于12世纪。最早对天元术进行系统论述的是我国金元数学家李冶（1192-1279年）。他在著作《测圆海镜》（1248年）和《益古演段》（1259年）二书中对天元术做了进一步发展。李冶的天元术和现代列方程的方法极为类似。首先是“立天元一为未知数”， 也就是现代“设x为?”的意思；其次根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，然后相减即可得一个一端为零的方程。这种以相等的多项式相减而列出方程的步骤，被称做“同数相消”或“如积相消”。

在天元术中，多项式用分离系数法和位值制表示：在一次项

旁记一“元”字或在常数项旁记一“太”字，其他项的幂次视与“元”或“太”的相对位置而定。《测圆海镜》及其以前均置高次幂在上，如多项式2x3?3x2?243表示如图一所示，自《益古演段》起改为高次幂在下，如图二所示，下面以李冶《测圆海镜》卷7第2题为例，具体说明列方程的方法。

图一 图二

问题原文是：“（假令有圆城一所，不知周径，四周开门）

元

元

或问丙出南门直行一百三十五步而立，甲出东门直行一十六步见之，问径几里？答日：城径二百四十步。”李冶一共给出了5种解法。现把其中的第二种解法原文抄录在以下左边，在右边则用现代数学符号对照进行相应的解释。

“草日：立天元一为半城径，副置

元

设x为圆城半径，则

OA(股)?x?135OB(勾)?x?16之，上加南行步得

为股，

下位加东行步得

元

为勾。

勾股相乘得

元

O C 南 A B 东

OA?OB?(x?135)(x?16)?x?151x?21602

为直积一段 以天元除之得 太

为弦，以自之得 太

为弦幂寄左， 乃以勾自之得 元

又以股自得之，得

元

二位相并得 元

为同数，与左相消得 太 以x?OC除之， 得AB(弦)?OA?OBOC?x?151?2160x?1(AB?OC?OA?OB)

自乘之得：

(AB)2?(弦)2?x2?302x?27121?652320x?1?4665600x?2置于左边 又

(勾)2?(OB)2?x2?32x?256

(股)2?(OA)2?x2?270x?18225

则

(弦)2?（勾）2?(股)2?2x2?302x?18481

开益积（首项系数是负数的）三乘方，得一百二十步，即半城径也。 与前式相减得：

2?1?2 ? x ? 8640 ? 65230 x?4665600x?0 亦得：

?x4?8640x2?65230x?4665600?0

解之，得圆城半径x?120

从以上对照叙述中人们不难发现，天元术列方程的方法和现代通用列方程的代数方法并没有什么不同，但是欧洲数学家直到16、17世纪才做到了这一点。

三、《测圆海镜》建立天元式的根据

《测圆海镜》建立天元式的根据是圆与直角三角形中的若干 定理。该书卷一便给出一个圆——圆城图式——是为全书一百七十问的总图，凡建立天元式时用到的定理，均可借助该图得到几何解释。

天

日 旦

月 南 巽 坤

泛 山 朱 金

川 西

青 心 北 地 夕 艮 泉 北 乾

李冶给出了该图中十五个直角三角形的边长，和“识别杂记”692条，十五个直角三角形名称、边长如下表：

顺序 1、△天乾地 2、△天西川 3、△日北地 4、△天金山 5、△月泉地 6、△天旦日 7、△日朱山 8、△月青川 9、△川夕地 名称 通（大）△ 边△ 底△ 黄广△ 黄长△ 上高△ 下高△ 上平△ 下平△ 弦ci 680 544 425 510 272 255 255 136 136 勾ai 320 256 200 240 128 120 120 64 64 股bi 600 480 375 450 240 225 225 120 120 10、△天坤月 11、△山艮地 12、△日心川 13、△月泛山 14、△日南月 15、△山东川 大差△ 小差△ 皇极△ 太虚△ 明△ 叀△ 408 170 289 102 153 34 192 80 136 48 72 16 360 150 255 90 135 30 上表中各△的三边常以△名称命名，如通三角形的三边称通弦、勾、股。 《测圆海镜》卷二给出十个容圆公式亦即求。△天乾地的内切圆直径的十个公式，其名称、已知条件及计算公式如下表：

名称 勾股容圆 已知条件 △天乾地三边 直径d? 2a1b1a1?b1?c1 勾上容圆 △天西川三边 2a2b2b2?c2 股上容圆 △日北地三边 2a3b3a3?c3 勾股上容圆 △日心川三边 2a12b12c122aba?b 弦上容圆 过圆心任作一线在△天乾地的两直角边上分别截得 勾外容圆 勾a股b △天坤月三边 2a10b10c10?(b10?a10) 股外容圆 △山艮地三边 2a11b11c11?(b11?a11) 弦外容圆 △月巽山三边亦即△月泛山三边 2a12b12(a12?b12)?c122a14b14c14?a14 勾外容圆半 △日南月三边 股外容圆半 △山东川三边 2a15b15c15?b15

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