常微分方程小论文

常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究

课 程 小 论 文

论文名称： 关于y'' ay' b 0的系数与解的研究

所属课程: 常 微 分 方 程

授课教师: **********

学院(系): **********

姓 名: ******** 学号: **********

姓 名: ******** 学号: **********

姓 名: ******** 学号: **********

2010年1月

常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究

[摘要]

本文就关于方程y'' ay' b 0的解的相关性质与其系数的关系进行了研究，选取了4道例题作为相关题型的代表。

[正文]

关于y'' ay' b 0的系数与解的研究

方程y'' ay' b 0是在解高阶线性微分方程中经常遇到的一类方程，而关于其系数与解的题型也非常多。本文独辟蹊径，并不是给定系数，去计算其解的性质，而是针对各种对解的要求，来计算其系数。从这种观点来思考问题或许会对今后解这类题型有所帮助。

[例１]当a和b取何值时，方程y'' ay' b 0的所有解在整条数轴 x 上是有界

的？

a[解] 首先求出特征方程 b

0的根。有 1,2 22

的表达式的各种情形。

如果a 4b，则通解是

y (C1 C2x)e

如果a 4b，则通解形如

y C1e1 C2e x 2x22a x2. （1） （2）

从（1）式得，无论a取什么值（实数或复数），所有解y都是无界的。事实上，如果Rea 0，则函数y当x 0时无界；如果Rea 0，则函数y当x 0时无界；如果Rea 0，则函数y也显然无界。

现在研究用公式（2）表示的解。设Re 1 0或Re 2 0，则解（2）当x 0时都

无界。设Re 1 0或Re 2 0，则（2）式的不是所有解当x 0时有界。最后，如果Re 1 Re 2 0，即如果 1 i 1， 2 i 2（ 1 2），则对于所有的x ( , )，所有的解都是有界的。事实上，在这种情形，所有的解都可表示为有界函数sin 1x，cos 1x，sin 2x，cos 2x的任一线性组合的形式。

常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究

总之，为使所有的解有界，我们有条件

aa ，

i 1， i 2（ 1 2）22从而求出

a i( 1 2)，b 1 2，

其中 1和 2是不同的任意实数。特别地，如果a是实参数，即 1 2，则所有的解当b 0（a 0）时有界。

[例２]当a和b取何值时，方程y'' ay' b 0的解当x 时趋向于0？

[解] 利用例１中解的表达式（1）和（2），在情形（1），如果Rea 0，则当x 时

所有的解趋向于0。在情形（2），如果同时有Re 1 0和Re 2 0，则当x 时所有的解趋向于0。

a2

0）特别地，如果a和b是实参数，则在情形（1）中，当a 0（b ，x 4

时所有的解趋向于0。这些条件（a 0，b 0）对情形（2）也是有用的。实际上，如果b 0，则根 1或 2之一不依赖于a，且是正的，即当x 时，e 1x或e 2x 。如果b 0，则方程有解y C 0，它不趋向于0。因此必须使b是正数。设b 0，a 0，则诸根之一（ 1或 2）的实部一定是非负的，因此当x 时，e 1x或e 2xa2

不趋向于0。再研究同时有a 0和b 0的情形。如果0 b ，4

a2

则两个根都是负的，因此当x 时y 0。如果b ，则根 1， 2是复共轭4

的，并且有负实部，因此当x 时y 0。

[例３]当a和b取何值时，方程y'' ay' b 0的解在点x的无限集合上变为0？

[解] 从例１中方程解的表达式（1）和（2）出发。显然，公式（1）不确定振荡解，对某

个a，此解在点x的无限集合上变为0.

考虑解（2）。如果 1和 2是实根，则众所周知，两个指数的和只能在有限个点x上变为0，设

常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究

aa 1 2 22即4b a，则

2

x a

2y C1 C2sin e

ax Acos e2

可见在这种情形下，对于任意的数值A和 ，所有的解在点的无限集合 xk 变为0，其中

xk k

k Z .

[例４]当a和b取何值时，方程y'' ay' b 0的解当x 时满足关系式y o(e x)？

[解] 我们应该求出参数a和b这样的值，使得对于所有值C1和C2（例１中方程的解（1）

和（2）中的任意常数），满足条件

x lim yxe 0 (１) x

如果a 4b，则根据（1）式有

a(1 )x lim C1 C2x e2 0 x 2

显然，对于任意的C1和C2，只有在条件Re(1

才满足。

在 1 2的情况下，条件（1）具有形式 a) 0即Rea 2时，这个关系式2

( 1 1)x( 2 1)x lim Ce Ce12 0 x

对于任意的C1和C2，此式等价于关系式

x lime( 1 1)x 0 和 lime( 2 1)x 0 (2) x

由此得，最后这两个关系式只有在不等式Re( 1 1) 0和Re( 2 1) 0同时成立时

常微分方程 小论文 关于一类方程系数与解的研究

才有可能。如果a和b是实参数，则最后两个不等式可以具体地写出。 a2

设b ，则 1和 2是实根，如果 1 0，则也有 2 0。因此有两个条件 4

a2ab

，1 0 (3) 42此时，关系式（2）成立。同时解不等式（3），得出关系式（1）成立的条件

a2

a 2，a 1 b 4

aa2a设b

，则 1,2 ，如果 1 0，即a 2，则关系式（2）242成立。

因此，如果a和b是实参数，则当a 2和b a 1，即2 a b 1时，题设条件中所指的关系式成立。

看了以上4个例题我们可以发现这类题型解题步骤相似，理清基础概念之后解这类题并不是非常难。我们把结论当条件用，把它们改成证明题来做之后发现，之前的那些做法依然可以沿用，所以弄明白这些题目的做法，并举一反三对学习非常有帮助。

通过这次小论文的写作，我们认为我们从中受益良多。由于时间仓促，如有不当之处敬请指教。

[参考资料]

1.《常微分方程教程》，丁同仁编，高等教育出版社。

2.《常微分方程习题集》，费利波夫著，上海科学技术出版社。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c3oe.html