求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法

二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)

1

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?2?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。

2

，a1?3，求数列{an}的通项公式。 例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1解法一：由an?1?an?2?3?1得an?1?an?2?3?1则

nnnan?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3?n?1.

解法二：an?1?3an?2?3?1两边除以3则

nn

n?1，得

an?1an21???， n?1nn?13333an?1an21???，故 3n?13n33n?1 2

ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?1)?nnn?2n?2n?3233an?1an?1333333212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?13333331n?1(1?3)an2(n?1)3n2n11因此n?， ??1???n331?3322?3则an?

211?n?3n??3n?. 3221，且

练习

2?a?1.已知数列n的首项为

an?1?an?2n(n?N*)写出数列

?an?的通项公式.

答案：n?n?1

练习2.已知数列

{an}满足a1?3，

an?an?1?1(n?2)n(n?1)，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和

an?2?1n

a评注：已知a1?a,n?1指数函数、分式函数，求通项

?an?f(n)an.

，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。

例3.已知数列

{an}中,

an?0Sn?且

1n(an?)2an,求数列{an}的通项公式.

Sn?解:由已知

1n1n(an?)Sn?(Sn?Sn?1?)2an得2Sn?Sn?1,

,由类型(1)有

2Sn?S12?2?3???n化简有

22Sn?Sn?1?n,

3

n(n?1)2Sn?2,又又S1?a1得a1?1,所以

2n(n?1)?2n(n?1)2

an?0sn?2n(n?1)2,,

则

an?此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法

1.适用于： an?1?f(n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若

an?1aaa?f(n)，则2?f(1)，3?f(2)，??，n?1?f(n) ana1a2annan?1?a1??f(k) 两边分别相乘得，a1k?1例4 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则

nan?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1

?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n(n?1)2n?1a?3?2?5所以数列{a}的通项公式为nn?n!.

22??n?1a?na?an?1an?0n??an?1n例5.设n是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，?），

则它的通项公式是an=________.

4

解：已知等式可化为：

(an?1?an)?(n?1)an?1?nan??0

*?an?0(n?N)?(n+1)an?1?nanan?1n?ann?1 ?0, 即

ann?1?n ?n?2时，an?1?ananan?1a2an??????a1n?1?n?2??1?1an?1an?2a1=nn?12an和

=

1n.

评注：本题是关于与

an?1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到

an?1的更为明显的关系式，从而求出

an.

练习.已知

an?1?nan?n?1,a1??1,求数列{an}的通项公式.

答案：

an?(n?1)!?(a1?1)-1.

评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式

an?1?nan?n?1,转化为

an?1?1?n(an?1),出数列的通项公式.

若令

bn?an?1,则问题进一步转化为

bn?1?nbn形式，进而应用累乘法求

三、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)

基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

1．形如

an?1?can?d,(c?0anan,其中a1?a)型

（1）若c=1时，数列{}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{}为等比数列;

a（3）若c?1且d?0时，数列{n}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列

来求.

5

a?4an?1?3an?0an练习.数列{an}中，若a1?8,a2?2,且满足n?2,求.

答案：

an?11?3n.

四、迭代法

例12 已知数列

ran?1?pan(其中p,r为常数)型

n{an}满足

3(n?1)2an?1?an，a1?5，求数列

{an}的通项公式。

解：因为

an?1?a3(n?1)2nn，所以

an?a ?a ?a3n?2n?1n?1?[a]3(n?1)?2n?2n?2]3n?2n?1?a32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)n?2 ?[a3(n?2)?2n?3n?332(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)33(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)n?3 ??3n?1?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)1n(n?1)3n?1?n!?22 ?a1

n(n?1)3n?1?n!?22又

a1?5，所以数列

{an}a?5n的通项公式为

。

注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

例13.（2005江西卷）

1a?1,a?an(4?an),n?Nn?1{an}的各项都是正数,且满足:02已知数列，

（1）证明

an?an?1?2,n?N; （2）求数列

{an}11

的通项公式an.

解：（1）略（2）

an?1?11an(4?an)?[?(an?2)2?4],22(a?2)??(a?2)n?1n22所以

1211221122211?2???2n?12n令bn?an?2,则bn??bn?1??(?bn?2)???()bn?1????()bn22222212n?112n?1bn??(),即an?2?bn?2?()22又bn=－1，所以.

??bnn?方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设cn上面类型（1）来解

，则c

12cn?12,转化为

五、对数变换法 适用于

ran?1?pan(其中p,r为常数)型 p>0，

an?0

2?a?2aan?a?1nn?1（n≥2）.求数列?an?的通项公式. 例14. 设正项数列满足1，

ananan?1anan?1b?loglog?1?2loglog?1?2(log?1)n2?1，则2222解：两边取对数得：，，设

bn?2bn?11?bn?bn?1?2n?1?2n?1b?log?1?112 是以2为公比的等比数列， ，

n?1ann?1n?1nan?22logalog?2?12?1?22，，∴

?1

练习 数列

?an?中，a1?1，an?22?22?n

an?1（n≥2），求数列

?an?的通项公式.

答案：

an?2例15 已知数列{an}满足an?1?2?3?an，a1?7，求数列{an}的通项公式。 解：因为an?1?2?3?an，a1?7，所以an?0，an?1?0。

n5n5 12

两边取常用对数得lgan?1?5lgan?nlg3?lg2 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) 比较系数得， x?由lga1?

（同类型四）

lg3lg3lg2 ,y??4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg2?1???lg7??1???0，得lgan?n???0， 416441644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2为首项，以5为公比的等比数列，??n??}是以lg7?41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1则lgan?n???(lg7???)5，因此

41644164所以数列{lgan?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2lgan?(lg7???)5?n??4164464?[lg(7?3?3?2)]5n?1?lg(3?3?2)?lg(7?3?3?2)?lg(75n?1?3则an

六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项 例16 已知数列{an}满足an?1?5n?4n?116141161n?1451411614n411614?lg(3?3?2))n411614

?25n?1?14?7?35n?15n?4n?116?25n?1?14。

2an,a1?1，求数列{an}的通项公式。 an?2解：求倒数得

111111?11?11??,???,????为等差数列，首项?1，公差为，an?12anan?1an2?an?1an?a12?112?(n?1),?an? an2n?113

七、换元法 适用于含根式的递推关系 例17 已知数列{an}满足an?1?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612(bn?1) 24解：令bn?1?24an，则an?代入an?1?1(1?4an?1?24an)得 1612112(bn?1?1)?[1?4(bn?1)?bn] 241624即4bn?1?(bn?3) 因为bn?1?24an?0， 则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?2213bn?， 221(bn?3)， 21为公比的等比数列，因此2所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以

1111bn?3?2()n?1?()n?2，则bn?()n?2?3，即1?24an?()n?2?3，得

22222111an?()n?()n?。

3423

八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳

法加以证明。 例18 已知数列{an}满足an?1?an?8(n?1)8，求数列{an}的通项公式。 ，a?1(2n?1)2(2n?3)29解：由an?1?an?88(n?1)a?及，得 1229(2n?1)(2n?3) 14

8(1?1)88?224???22(2?1?1)(2?1?3)99?25258(2?1)248?348a3?a2???? 22(2?2?1)(2?2?3)2525?49498(3?1)488?480a4?a3????(2?3?1)2(2?3?3)24949?8181a2?a1?(2n?1)2?1由此可猜测an?，下面用数学归纳法证明这个结论。

(2n?1)2(2?1?1)2?18?，所以等式成立。 （1）当n?1时，a1?2(2?1?1)9(2k?1)2?1（2）假设当n?k时等式成立，即ak?，则当n?k?1时，

(2k?1)2ak?1?ak?8(k?1)(2k?1)2(2k?3)2[(2k?1)2?1](2k?3)2?8(k?1) ?(2k?1)2(2k?3)2(2k?1)2(2k?3)2?(2k?1)2 ?(2k?1)2(2k?3)2(2k?3)2?1 ?(2k?3)2[2(k?1)?1]2?1 ?[2(k?1)?1]2由此可知，当n?k?1时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何n?N都成立。

*

九、阶差法（逐项相减法）

1、递推公式中既有Sn，又有an

?S1,n?1 分析：把已知关系通过an??转化为数列?an?或Sn的递推关系，然后采用相应的

S?S,n?2n?1?n方法求解。

例19 已知数列{an}的各项均为正数，且前n项和Sn满足Sn?

15

1(an?1)(an?2)，且a2,a4,a9成6

等比数列，求数列{an}的通项公式。 解：∵对任意n?N有Sn?∴当n=1时，S1?a1??1(an?1)(an?2) ⑴ 61(a1?1)(a1?2)，解得a1?1或a1?2 6当n≥2时，Sn?1?1(an?1?1)(an?1?2) ⑵ 6⑴-⑵整理得：(an?an?1)(an?an?1?3)?0

?an?1?3

2∵{an}各项均为正数，∴an当a1?1时，an?3n?2，此时a4?a2a9成立

当a1?2时，an?3n?1，此时a4?a2a9不成立，故a1?2舍去 所以an?3n?2

练习。已知数列{an}中, an?0且Sn?21(an?1)2,求数列{an}的通项公式. 222答案：Sn?Sn?1?an (an?1)?(an?1?1) an?2n?1 2、对无穷递推数列

，an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，例20 已知数列{an}满足a1?1求{an}的通项公式。

解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan 用②式－①式得an?1?an?nan.

②

①

则an?1?(n?1)an(n?2) 故

an?1?n?1(n?2) an所以an?

anan?1an!????3?a2?[n(n?1)???4?3]a2?a2. an?1an?2a2216

③

由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?所以，{an}的通项公式为an?n!。 2n!. 2十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法

不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在f(x)x0?D，使f(x0)?x0成立，则称x0为

f(x)的不动点或称(x0,f(x0))为函数f(x)的不动点。

分析：由f(x)?x求出不动点x0，在递推公式两边同时减去x0，在变形求解。 类型一：形如an?1?qan?d

例21 已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为f(x)?2x?1，由f(x)?x得，不动点为-1 ∴an?1?1?2(an?1)，?? 类型二：形如an?1?a?an?b

c?an?d分析：递归函数为f(x)?a?x?b

c?x?d（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得

(a1q?pq)kn?1?(a1p?pq)a?pcan?1?pan?p?k?，其中k?，∴an?

(a1?p)kn?1?(a1?q)a?qcan?1?qan?q（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得

112c??k，其中k?。

an?1?pan?pa?d例22. 设数列{an}满足a1?2,an?1?5an?4,求数列{an}的通项公式.

2an?7分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：

,an?17t?45a?4(2t?5)an?7t2t?5?t?n?t??(2t?5)2an?72an?72an?7an?17

an?t7t?4令t?, 解之得t=1,-2 代入an?1?t?(2t?5)得

2an?72t?5an?1an?1an?2?1?3a?2?9,n?1,

2an?72an?7nan?1?11an?1??相除得,即{

anan?1?23an?2a?1a?11?， }是首项为1?2a1?24an?111?n4?3n?1?21?3, 解得an?公比为的等比数列, =.

an?2434?3n?1?1方法2：?,

an?1?1?3an?1，

2an?71两边取倒数得

an?12an?72(an?1)?923????， ?13(an?1)3(an?1)3an?12?3bn,?,转化为累加法来求. 321an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。

4an?1令bn?1，则bn?an?1例23 已知数列{an}满足an?1?解：令x?21x?2421x?242，得4x?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?的两个不

4x?14x?1动点。因为

21an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2????。所以数列21a?24an?1?321a?24?3(4a?1)9a?279a?3nnnnn?34an?1?an?2?an?2a1?24?213n?113??2?2()，则是以为首项，以为公比的等比数列，故??9a1?34?3an?39?an?3?an?1132()n?1?19?3。

练习1：已知{an}满足a1?2,an?an?1?2(n?2)，求{an}的通项an

2an?1?118

3n?(?1)n答案：?an?n3?(?1)n

练习2。已知数列{an}满足a1?2,an?1?2an?1(n?N*)，求数列{an}的通项an

4an?613?5n答案：?an?

10n?6练习3.（2009陕西卷文）

已知数列?an}满足，

a1＝1’a2?2,an＋2＝an?an?1,n?N*.

2???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；

(Ⅱ)求

?an}的通项公式。

521n?1*1a??(?)(n?N)。b答案：（1）?n?是以1为首项，?为公比的等比数列。（2）n

3322

十一：特征方程法 形如an?2 形如1?pan?1?qan(p,q是常数）的数列 （已知 a1;a2)

a?m1,a2?m2,an?2?pan?1?qan(p,q是常数）的二阶递推数列都可用特

2x?px?q?① 征根法求得通项an，其特征方程为

nna?c??c?(c1,c2是待定常数） 若①有二异根?,?，则可令n12若①有二重根???，则可令an?(c1?nc2)?n(c1,c2是待定常数）

再利用a1?m1,a2?m2,可求得c1,c2，进而求得an

*a?2,a?3,a?3a?2a(n?N)，例24 已知数列{an}满足1求数列{an}的通2n?2n?1n项an

2解：其特征方程为x?3x?2，解得x1?1,x2?2，令an?c1?1n?c2?2n，

n?1

?c1?1a?c?2c?2?11?21由?，得?a?c?4c?3?212?c2??

，

?an?1?2219

例25 已知数列{an}满足a12?1,a2?2,4an?2?4an?1?an(n?N*)，求数列{an}的通项an

n1?1?解：其特征方程为4x?4x?1，解得x1?x2?，令an??c1?nc2???，

2?2?1?a?(c?c)??112?c1??4??12由?，得?， ?anc2?6??a?(c?2c)?1?2212??4

3n?2?n?1

2*a?1,a?2,4a?4a?a?1(n?N)，求数列{an}练习1．已知数列{an}满足12n?2n?1n的通项

练习2．已知数列{an}满足

a1?1,a2?2,4an?2?4an?1?an?n?4(n?N*)，求数列{an}的通项

说明：(1)若方程x?px?q有两不同的解s , t, 则an?12?tan?s(an?tan?1), an?1?san?t(an?san?1),

?tan?(a2?ta1)sn?1, an?1?san?(a2?sa1)tn?1,

由等比数列性质可得an?1?t?s,由上两式消去an?1可得an?2?a2?ta1?na2?sa1n.s?.t.

s?s?t?t?s?t?(2)若方程x?px?q有两相等的解s?t，则

an?1?tan?s?an?tan?1??s2(an?1?tan?2)???sn?1?a2?ta1?，

an?1ana2?ta1?an??n?1?n?,即?n?是等差数列， 2sss?s?ana1a2?sa1??n?1?.由等差数列性质可知n?sss2，

??a1a2?sa1?a2?sa1?na?.n?s． ??所以n??s?22ss????

20

2554例26、数列{an}满足a1??，且an?1?29求数列{an}的通项。 122an?42an?2529252an?2?an???4???44??① 解：an?1???an?1?29292an?2an?4429??25252令??，解得?1?1,?2?，将它们代回①得，

442an?25??a?2?nan?1??25?4???an?1?1???②，an?1???③，

292942an?2an?442an?1?③÷②，得

25?25?a?n4??4???an?1?1a?1?n???2,

2525an?1?an?44?2lg则lgan?1?1an?125???an?4??成等比数列，首项为1，公比q=2 ，∴数列?lgan?1????2525252n?1?10an?an?n?144?1024?2n?1?a?lgn所以，则，2n?1an?1an?110?1

十二、四种基本数列

1．形如an?1?an?f(n)型 等差数列的广义形式，见累加法。

an?1?f(n)型 等比数列的广义形式，见累乘法。 2.形如an3.形如an?1（1）若an?1?an?f(n)型

?an?d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为

2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

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（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an?1出通项;或用逐差法(两式相减)得an?1

例27. 数列{an}满足a1?0,an?1分析 1：构造 转化为an?1解法1：令bn则

?an?f(n)型，通过累加来求

?an?1?f(n)?f(n?1)，，分奇偶项来分求通项.

?an?2n,求数列{a}的通项公式.

n

?an?f(n)型

?(?1)nan

bn?1?bn?(?1)n?1an?1?(?1)nan?(?1)n?1(an?1?an)?(?1)n?1?2n.

?bn?bn?1?(?1)n?2(n?1)?n?1b?b?(?1)?2(n?2)?n?1n?2?????b?b?(?1)2?2?11?2?b1??a1?0?n?2时,各式相

nn?132b?2(?1)(n?1)?(?1)(n?2)???(?1)?2?(?1)?1 加:n??当n为偶数时，bnn?2???2?(n?1)?(?1)??n. 此时an?bn?n 当n为奇数时，?2??bn?2(?此时bn

n?1)??n?1 2??an,所以an?n?1.故

?n?1,n为奇数,an??

n,n为偶数.?

解法2：?an?1?an?2n?n?2时，an?an?1?2(n?1)，两式相减得：an?1?an?1?2. ?a1,a3,a5,?,构成以a1,为首项，以2为公差的等差数列;

a2,a4,a6,?,构成以a2,为首项，以2为公差的等差数列

?a2k?1?a1?(k?1)d?2k?2 a2k?a2?(k?1)d?2k.

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?n?1,n为奇数, ?an?? 评注：结果要还原成n的表达式.

n,n为偶数.?

例28.（2005江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足 Sn－Sn－2=3(?)n?1(n?3),且S1?1,S2??解：方法一：因为Sn?Sn?2

以下同上例，略

123,求数列{an}的通项公式. 21?an?an?1所以an?an?1?3?(?)n?1(n?3),

2

1n?1?4?3?(),n为奇数,??2答案 an??

??4?3?(1)n?1,n为偶数.?2?4.形如an?1?an?f(n)型

?an?p(p为常数)，则数列{an}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，

（1）若an?1其通项分奇数项和偶数项来讨论;

（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得an?an?1?f(n?1)，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例29. 已知数列{an}满足注：同上例类似，略.

a1?3,an?an?11n?(),(n?N*),求此数列的通项公式.

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