2015年暑假班五年级奥数讲义

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五年级奥数精品讲义

（内部资料）

暑假班专用

讲师：赵老师

2015/7/13

奥数课堂精讲内容系列丛书

这个夏季，我陪您度过提高成绩，从这里开始

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序言

本教辅资料于2014年秋季编写，针对于粽营镇所有对数学

感兴趣的小学六年级，集各大精品讲师之长，兼容教材，学生学习资料，教辅资料，课外掌握的知识，特准备了一份属于六年级的专用教辅资料。

随着国内应用数学,数学建模,数学思维开拓程度的不断加深，奥林数学匹克（奥数）也变的日益重要。在高等教育与学前教育日益突出的今天，您想输在人生的起跑线上吗？

养成教育教你从一个优秀的学生变为一个从数以千万同龄

人脱颖而出的尖子生！！！让您实现从奥数改变数学到知识改变命运的大踏步跨越，能不能蜕变完全取决于您的态度。

养成教育奥数教辅资料分模块为学生展示了由易到难，由

分散到综合的阶梯式授课内容，本套教辅分精讲和学测练习两大部分，分侧重点为学生灌输各种数学思维方法，让学生真正享受乐学，活学，精学的过程。

对于每一位学生来说，你是自己人生的导师，对待自己，

我们要用和别人不一样的方法，或者说我们要有一套自己的学习方式，那就是选择奥数辅导班。

老师寄语：选择养成就是选择不一样的数学，不一样的人生！！！

注：本教材需配合暑假班课堂练习题和暑假班家庭作业共同使用

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循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．

1．真分数7

a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少? 【分析与解】

17=0.142857 ， 27=0.285714 ，37=0.428571 ，47=0.571428 ，57=0.714285 ， 67

=0. 857142 ． 因此，真分数7

a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，

又因为1992÷27=73……21,27-21=6，而6=2+4，所以7

a =0..857142 ，即a =6． 评注：7

a 的特殊性，循环节中数字不变，且顺序不变，只是开始循环的这个数有所变化．

2．某学生将1.23 乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则

正确结果该是多少?

【分析与解】 由题意得： 1.23 a -1.23a =0.3，即：0.003

a =0.3，所以有：3390010a =．解得a = 90，所以1.23 a =1.23 3 90=123290-390=11190

3 90=111．

3．计算：0.1+0.125+0.3+0.16

，结果保留三位小数． 【分析与解】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.16

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4

≈-0.1111+0.1250+0.3333+0.1666 = 0.7359

≈0.736

方法二：0.1+0.125+0.3+0.16

1131598990

1111885372

0.7361=

+++=+==

≈0.736

4．计算：0.01

0.120.230.340.780.89+++++ 【分析与解】 方法一：0.01

0.120.230.340.780.89+++++ =

1121232343787898909090909090

-----+++++ =11121317181909090909090

+++++ =21690 =2.4

方法二：0.01

0.120.230.340.780.89+++++ =0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+(0.01

0.020.030.040.080.09+++++ ) =2.1+0.01

3(1+2+3+4+8+9) =2.1+190

327 =2.1+0.3

=2.4

2.399997．．．

评注：0.9 =99=1 ,0.09 =919010

=．

5．将循环小数0.027

与0.179672

相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近

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5

似值的最后一位小数是多少?

【分析与解】 0. 30.179672 =27179672117967248560.00485699999999937999999999999

?=?== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．

6. 将下列分数约成最简分数：

1666666666666666666664

【分析与解】 找规律：161644=,16616644=,1666166644= ,166661666644

=,…所以1666666666666666666664=14

评注：类似问题还有38538853888538888538888888885234...29729972999729999729999999997+?+?+?++

7. 将下列算式的计算结果写成带分数：

0.523659119

?? 【分析与解】0.523659119??=11859119?=1(1)119-359=59-59119=5860119

8．计算:7

44808333÷2193425909÷11855635255

【分析与解】 744808333÷2193425909÷11855635255

=62811259093525583332193453811

?? =373997131993564111136412119973331993

?????????????? =7523

?? =556

9．计算： 111111181282545081016203240648128

++++++

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【分析与解】原式111111181288128406420321016508254

=

++++++ 2111118128406420321016508254

=+++++ 1111114064406420321016508254

=+++++ 11111203220321016508254

=++++ 111110161016508254

=+++ 111508508254

=++ 11254254

=+ 1127=

10．计算：153219(4.85 3.6 6.153) 5.5 1.75(1)4185321???÷-+?+-?+????

【分析与解】 原式=

1757193.6(4.851 6.15) 5.5443421

??-++-?-? =135193.610 5.5412+??+- =9+5.5-4.5

=10

11．计算: 41.238.1+113194

+53730.19 【分析与解】 原式=41230.81+1139.25+0.193(412+125) =4123(0.81+0.19)+1139.25+0.193125 =412+1138+1131.25+1931.25

=412+88+1.25330

=500+37.5

=537.5

12．计算：2255(9

7)()7979

+÷+ 【分析与解】原式=656555()()7979+÷+

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7

=[]5

55513()()137979

?+÷+=

13．计算:12324648127142113526104122072135

??+??+??+????+??+??+?? 【分析与解】 原式=33333333123(1247)1232135(1247)1355

???+++??==???+++??

14. (1)已知等式0.126379+12353□-6310

÷25=10.08，那么口所代表的数是多少? (2)设上题答案为a ．在算式（1993.81+a )3○的○内，填入一个适当的一位自然数，使乘积的个位数字达到最小值．问○内所填的数字是多少?

【分析与解】 (1)设口所代表的数是x ，0.126379+1235x -6310

÷25=10.08，解得：x =0.03，即口所代表的数是0.03．

(2)设○内所填的数字是y ，(1993.81+O.03)3y =1993.843y ，有当y 为8时1993.843y =1993.84

38=15050.94，所以○内所填的数字是8．

15．求下述算式计算结果的整数部分：111111()38523571113

+

++++? 【分析与解】原式=111111(38538538538538538523571113?+?+?+?+?+? ≈192.5+128.3+77+55+35+29.6

=517.4

所以原式的整数部分是517．

笔记粘贴处：

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各种具有和差倍分关系的综合应用题，重点是包含分数的问题．基本的解题方法是将已知条件用恰当形式写出或变形，并结合起来进行比较而求出相关的量，其中要注意单位“1”的恰当选取．

1．有甲、乙两个数，如果把甲数的小数点向左移两位，就是乙数的

18，那么甲数是乙数的多少倍?

【分析与解】 甲数的小数点向左移动两位，则甲数缩小到原来的1100

，设这时的甲数为“1”，则乙数为138=8，那么原来的甲数=l 3100=100，则甲数是乙数的100÷8=12.5倍．

2. 有三堆棋子，每堆棋子数一样多，并且都只有黑、白两色棋子．已知第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，第三堆里的黑子占全部黑子的

25

．如果把这三堆棋子集中在一起，那么白子占全部棋子的几分之几?

【分析与解】 如下表所示：

设全部黑子为“5”份，则第三堆里的黑子为“2”份，那么剩下的黑子占5-2=“3”份，而第一堆里的黑子和第二堆里的白子一样多，将第一堆黑子和第二堆白子调换，则第二堆全部为黑子．

所以第二堆棋子总数为“3”份，三堆棋子总数为333=“9”份，其中黑子占“5”份，则白子占剩下的9-5=“4”份，那么白子占全部棋子的4÷9=49

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3．甲、乙两厂共同完成一批机床的生产任务，已知甲厂比乙厂少生产8台机床，并且甲厂的生产量是乙厂的

1213

，那么甲、乙两厂一共生产了机床多少台? 【分析与解】 因为甲厂生产的是乙厂的1213，也就是甲厂为12份，乙厂为13份，那么甲厂比乙厂少1份=8台．总共=83(12+13)=200台．

4．足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了五分之一，那么一张门票降价多少元?

【分析与解】设原来人数为“1”，则现在有1+0.5=1.5．

原来收入为l315=15，降价后收人为153(1+

15

)=18元，那么降价后门票为18÷1.5=12元，则一张门票降价15-12=3元．

5．李刚给军属王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的

38，第二次运了50块．这时，已运来的恰好是没运来的57

．问还有多少块蜂窝煤没有运来? 【分析与解】 已经运来的是没有运来的57

，则运来的是5份，没有运来的是7份，也就是运来的占总数的512．则共有50÷(512-38)=1200块，还剩下12003712

=700块．

6．有两条纸带，一条长21厘米，一条长13厘米，把两条纸带都剪下同样长的一段以后，发现短纸带剩下的长度是长纸带剩下的长度的813

．问剪下的一段长多少厘米? 【分析与解】方法一：开始时，两条纸带的长度差为21－13=8厘米．

因为两条纸带都剪去同样长度，所以两条纸带前后的长度差不变．

设剪后短纸带长度为“8”份，长纸带即为“13”份，那么它们的差为13-8=5份，则每份为8÷5=1．6(厘米)．

所以，剪后短纸带长为1.638=12.8(厘米)，于是剪去13-12.8=O.2(厘米)． 方法二：设剪下x 厘米，

则1382113

x x -=-，交叉相乘得：133(13-x )=83(21-x )，解得x =0.2， 即剪下的一段长0.2厘米．

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7．为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时相对施工．第一天甲、乙两队各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效率总是前一天的l

1

2

倍．那么，两队挖通这条隧道需要多少天?

说明在第五天没有全天干活，则第四天干完以后剩下：300-231.25=68.75米， 那么共用时间为4+68.75÷210.625=4

110

337

天． 8．有一块菜地和一块麦地．菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是13公顷．麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是12公顷．那么菜地是多少公顷?

【分析与解】

即5倍菜地公顷数+5倍麦地公顷数=78+72=150，所以菜地与麦地共有150÷5=30(公顷)． 而菜地减去麦地，为78-72=6(公顷)，所以菜地有(30+6)÷2=18(公顷)．

9．春风小学原计划栽种杨树、柳树和槐树共1500棵．植树开始后，当栽种了杨树总数的

35

和30棵柳树以后，又临时运来15棵槐树，这时剩下的3种树的棵数恰好相等．问原计划要栽植这三种树各多少棵?

【分析与解】将杨树分为5份，以这样的一份为一个单位，则： 杨树=5份；柳树=2份+30棵；槐树=2份-15棵， 则一份为(1500-30+15)÷(2+2+5)=165棵，

有：杨树=53165=825棵；柳树=16532+30=360棵；槐树=16532-15=315棵．

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10. 师徒二人共同加工170个零件，师傅加工零件个数的

13比徒弟加工零件个数的1

4

还多10个．那么，徒弟一共加工了多少个零件?

【分析与解】 我们用“师”表示师傅加工的零件个数，“徒”表示徒弟加工的零件个数，有：

13“师”- 1

4

“徒”＝10，4“师”- 3“徒”=120,而4“师”+4“徒”=17034=680． 那么有7“徒”=680-120=560，“徒”=80，徒弟一共加工了80个零件．

11. 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的11

2

倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有

7

12

的人去甲工地，其他人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天．那么这批工人共有多少名?

【分析与解】

于是甲工地一整天平均用了这批工人的372

()24123

+÷=，乙工地一整天平均用了这批工人的1-21

3

3

=． 这批工人的23完成了“1.5”的工作量，那么1

3

的这批工人完成1.5÷2=“0.75”的工

作量，于是乙工地还剩下1-0.75=“0.25”的工作量，这“0.25”的工作量需要4人工作1

天．

而甲、乙工地的工作量为1.5+1=2.5，那么需2.5÷0.253 4=40人工作1天． 所以原来这批工人共有40-4=36人．

12．有一个分数，如果分子加1，这个分数就等于12；如果分母加1，这个分数就等于1

3

．问原来的分数是多少?

【分析与解】 如果分子加1，则分数为

12，设这时的分数为：2x x

，则原来的分数为

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12 12x x -，分母加1后为：11213

x x -=+，交叉相乘得：3(x -1)=2x +1，解得x =4，则原分数为38

．

13．图2-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的34，竹林占圆形的67

，正方形和圆形的公共部分是水池．已知竹林的面积比草地的面积大450平方米．问水池的面积是多少平方米?

【分析与解】 因为水池是正方形的14，是圆的17

，则正方形是水池的4倍，圆是水池的7倍，相差7-4=3倍，差450平方米，则水池=450÷3=150平方米．

14．唐僧师徒四人吃了许多馒头，唐僧和猪八戒共吃了总数的

12，唐僧和沙僧共吃了总数的13，唐僧和孙悟空共吃了总数的14

．那么唐僧吃了总数的几分之几? 【分析与解】 唐+猪=12、唐+沙=13、唐+孙=14

．(两边同时加减)唐+猪+唐+沙+唐+孙=2唐+(唐+猪+沙+孙)=2唐+1=12+13+14=1112．则：2唐=112，唐=124

． 唐僧吃了总数的124

．

15．小李和小张同时开始制作同一种零件，每人每分钟能制作1个零件，但小李每制作3个零件要休息1分钟，小张每制作4个零件要休息1.5分钟．现在他们要共同完成制作300个零件的任务，需要多少分钟?

【分析与解】方法一：先估算出大致所需时间，然后再进行调整．

因为小李、小张的工作效率大致相等，那么完成时小李完成300÷2=150个零件左右；

小李完成150个零件需要150÷334=200分钟；

在200分钟左右，198分钟是5.5的整数倍，此时乙生产198÷5.534=144

个零件，并

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且刚休息完，所以在2分钟后，即200分钟时完成144+2=146个零件；

那么在200分钟时，小李、小张共生产150+146=296个零件，还剩下4个零件未完成，所以再需2分钟，小李生产2个零件，小张生产2个零件，正好完成．

所以共需202分钟才能完成．

方法二：把休息时间包括进去，小李每4分钟做3个，小张每5.5分钟做4个．

则在44分钟内小李做了：44÷433=33个，小张做了：44÷5.534=32个，他们一共做了：33+32=65个．

300÷65=4……40，也就是他们共同做了4个44分钟即：4434=176分钟后，还剩下40个零件没有做完．

而22=4+4+4+4+4+2=5.534，所以22分钟内小李做了：3+3+3+3+3+2=17个，小张做了：432=16个，那么还剩下：40-17-16=7个，4分钟内小李做3个，小张做4个，共做4+3=7个，即这40个零件还需要26分钟．

所以共用时间：4434+26=202分钟．

笔记粘贴处：

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第三讲“牛吃草”问题（略讲内容）

有这样的问题.如：牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周？这类问题称为“牛吃草”问题。

解答这类问题，困难在于草的总量在变，它每天，每周都在均匀地生长，时间愈长，草的总量越多.草的总量是由两部分组成的：①某个时间期限前草场上原有的草量；②这个时间期限后草场每天（周）生长而新增的草量.因此，必须设法找出这两个量来。

下面就用开头的题目为例进行分析.

从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多，多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量，就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于2736＝162头牛一周吃草量（或一头牛吃162周）.23头牛9周吃草量相当于2339=207头牛一周吃草量（或一头牛吃207周）.这样一来可以认为每周新生长的草量相当于

（207-162）÷（9-6）=15头牛一周的吃草量。

需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少？用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量（即1536=90头牛吃一周的草量）即为牧场原有草量。

所以牧场上原有草量为2736-1536=72头牛一周的吃草量（或者为2339-1539=72）。

牧场上的草21头牛几周才能吃完呢？解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长

的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量，且始终可保持平衡（前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周）.故分出15头牛吃新生长的草，另一部分21-15=6（头）牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72÷6=12（周），也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周.问题得解。

例2 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？

分析与解答这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。

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如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量3时间3人数，即133310

＝30.

船内原有水量与8小时漏水量之和为13538=40。

每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差，即（40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为2个单位，相当于每小时2人的淘水

量）。

船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于332=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-（233）=24。

如果这些水（24个单位）要2小时淘完，则需24÷2＝12（人），但与此同时，每小时的漏进水量又要安排2人淘出，因此共需12+2＝14（人）。

从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量.有了这两个量，

问题就容易解决了。

例3 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以

吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全

部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相

等）？

分析解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天，

一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。

12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加上28天新生长的草可供33.6头牛吃一天（12328÷10＝33.6）。

21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草，相当于一公亩原有的草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天(63321÷30＝44.l）。

一公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天，即

（44.l-33.6）÷（63-28）=0.3（头）。

一公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天，即

33.6-0.3328=25.2（头）。

72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天.即

72325.2÷126=14.4（头）。

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72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天.即

7230.3=21.6（头）。

所以72公亩牧场上的牧草共可以供36（=14.4＋21.6）头牛吃126天.问题得解。

解：一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天？

（6332i÷30-12328÷10）÷（63-28）=0.3（头）。

一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天？

12328÷10-0.3328=25.2（头）。

72公亩的牧草可供多少头牛吃126天？

72325.2÷126+7230.3=36（头）。

答：72公亩的牧草可供36头牛吃126天。

例4 一块草地，每天生长的速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草

量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？

分析由于1头牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15头牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量与20头牛每天

吃草量相等。

解：60只羊每天吃草量相当多少头牛每天的吃草量？

60÷4＝15（头）。

草地原有草量与20天新生长草量可供多少头牛吃一天？

16320=320（头）。

80只羊12天的吃草量供多少头牛吃一天？

（80÷4）312=240（头）。

每天新生长的草够多少头牛吃一天？

（320-240）÷（20-12）=10（头）。

原有草量够多少头牛吃一天？

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320-（20310）＝120（头）。

原有草量可供10头牛与60只羊吃几天？

120÷（60÷4+10-10）＝8（天）。

答：这块草场可供10头牛和60只羊吃8天。

例5 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

解：水库原有的水与20天流入水可供多少台抽水机抽1天？2035=100（台）。

水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？6315=90（台）。

每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？

（100-90）÷（20-15）=2（台）。

原有的水可供多少台抽水机抽1天？

100-2032=60（台）。

若6天抽完，共需抽水机多少台？

60÷6＋2=12（台）。

答：若6天抽完，共需12台抽水机。

例6 有三片草场，每亩原有草量相同，草的生长速度也

设第三片草场（24亩）可供x头牛18周吃完，则由每头牛每周吃草量可列出方程为：

x＝36

答：第三片草场可供36头牛18周食用。

这道题列方程时引入a、b两个辅助未知数.在解方程时不一定要求出其数值，在本题中只需求出它们的比例关系即可。

笔记粘贴处：

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【内容概述】

能被2，3，4，5，8，9，11整除的数的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填问题，乘积末尾零的个数的计算．

1.整数a 除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除(也可以说b 能整除a)，记作b ︱a ．如:15÷5=3，所以15能被5整除(5能整除15)，记作5︱

15． 反之，则称为不能整除，用“”表示，如715.

如果整数a 能被整数b(b≠0)整除，则称a 是b 的倍数，b 是a 的约数．如15是5的倍数，5是15的约数．

特别的，注意0÷b=0(b≠0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数．

还有0÷1=0，所以说1能整除任何整数，1是任何整数的约数．

因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数．

2．整除的性质：

性质1.如果c ︱a ，c ︱b ，那么c ︱(a±b)．

如果a 、b 都能被c 整除，那么它们的和与差也能被C 整除．

性质2.如果bc ︱a ，那么b ︱a ，c ︱a ．

如果b 与c 的积能整除a ，那么b 与c 都能整除a ．

性质3.如果b ︱a ，c ︱a ，且b 、c 互质，那么bc ︱a ．

如果b 、c 都能整除，且b 和c 互质，那么b 与c 的积能整除a ．

性质4.如果c ︱b ，b ︱a ，那么c ︱a ．

如果c 能整除b ，b 能整除a ，那么c 能整除a ．

3.一些质数整除的数字特征(约数只有1和它本身的数，称为质数)：

(1)能被2整除的数，其末位数字只能是0，2，4，6，8；

(2)能被3整除的数，其各位的数字和能被3整除；

(3)能被5整除的数，其末位数字只能是0，5；

(4)能被7整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差(大减小)能被7整除(即qponm cba 能被7整除，7︱cba -qponm 或7︱qponm -cba )；

(5)能被11整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与前面隔出数的差(大减小)能被11整除(即qponm cba 能被11整除11︱cba -qponm 或11︱qponm cba )或者，其奇数位数字之和偶数位数字之和所得的差能被11整除；

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19 qponm cba 表示这是一个多位数，而不是q 与p 、o 、c 、b 、a 等数的乘积，下同．

4．对于合数，先把合数分解质因数，再一个一个的考察．这样就化归为质数整除问题，对于分解质因数，详见《质数、合数与分解质因数》．

5．对于一些特殊的合数的判断方法．

能被4整除的数，末两位数能被4整除；

能被8整除的数，末三位数能被8整除；

能被25整除的数，末两位数能被25整除；

能被125整除的数，末三位能被125整除；

能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．

范例1 在公元9世纪，有个印度数学家——花拉子米写有一本《花拉子米算术》，他们计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算过程丢失而经常检验加法运算是否正确．所以后来人把这种算法称为“土盘算法”．

如：1234+1898+18922+678967+178902=889923．他们看1234的数字和为，10除以9余1，1898的数字和除以9余8，18922的数字和除以9余4，678967的数字和除以9余7，178902的数字和除以9余0，余数的和除以9余2；而等式的右边889923除以9的余数为3．所以上面的加法算式一定是错误的．

为什么呢?

6．若干个数相乘，求其末尾有多少个连续的0，只要把这个乘积中的因数2与5的个数分别找出来，其中较少的因数个数就是积的末尾连续的0的个数．

范例2 试求1981319823198331984319853…32005这25个数相乘，积的末尾有多少个连续的“0”?

【分析与解】其中1985，1990，1995，2000，2005含有因数5分别有1，1，1，3，1个，所以共有l+1+1+3+1=7个因数5；

其中1982，1984，1986，1988，1990，1992，1994，1996，1998，2000，2002，2004含有因数2，分别有1，6，1，2，1，3，1，2，1，4，1，2个，所以共有1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25个因数2．

其中因数5较少，含有7个，所以题中25个数的乘积末尾连续的0的个数为7． 评注：多数情况下，若干个连续的数相乘，需求其末尾连续0的个数．因为因数2的个数远多于因数5的个数，所以只考虑因数5的个数即可．

7.还有一种很重要的方法：试除法．如【典型问题】1、2、3、5、6等类问题都可以使用试除法．

如果一个数能同时被多个整数整除，那么一定能被这些数的最小公倍数整除，而求多个数的最小公倍数，则可以采用如下两种方法：

①短除法

求两个或以上数的最小公倍数，可以使用短除法．

范例3 试求120、180、300的最小公倍数．

【分析与解】

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于是(120，180，300)=3032323335=1800．

②分解质因数

将一组数的每个数严格分解质因数，然后提出每个质因数的最高次所对应的数，将这些提出的数相乘，求出积就是最小公倍数．

8．有时也可以将问题视为数字谜问题，如【典型问题】5、6类问题．

1．173口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少? 【分析与解】方法一：利用整除特征

注意能被9，11，6整除的数的特征：

能被9整除的数，其数字和是9的倍数；

能被11整除的数，其奇数位数字和和与偶数位数字和的差为11的倍数；或将其

后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是11的倍数；

能被6整除的数，其数字和是3的倍数，且末位为0，2，4，6，8的其中之一.

1+7+3=ll，当口内填入7时，1735的数字和为18，为9的倍数，所以当口内填7所组成的数为9的倍数；

173口的奇数位数字和为7+口，偶位数数字和为1+3=4，所以当口内填11+4-7=8时，奇数位数字和22和与偶数位数字和的差为11，所组成的数为11的倍数；

1+7+3=11，当口内填入l，4，7时，为3的倍数，但只有4为偶数，所以当口内填入4组成的数为6的倍数．

所以，这三种情况下填人口内的数字的和为7+8+4=19．

方法二：采用试除法

用1730试除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2．

所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．

所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．

2．如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?

【分析与解】因为105=33735，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．

而能被7整数的数，将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是7的倍数；

能被5整数的数，其末位只能是0或5．

方法一：利用整除特征

末位只能为0或5．

①如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+口+0=21+口，要求数字和是3的倍数，所

以口可以为0，3，6，9，验证均不是200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有9l是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90．

②如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征．

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所以，题中数的末两位只能是90．

方法二：采用试除法

用199200试除，199200÷105=1897……15，余15可以看成不足(105-15=)90．所以补上90，即在末两位的方格内填人90即可．

3．某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?

【分析与解】 方法一：利用整除特征

因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．

在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80．

又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，

1993A20，1993B40，1993C60，1993D80的数字和分别为24+A ，26+B ，28+C ，30+D ，对应的A 、B 、C 、D 只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．

而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数． 因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．

显然，其末三位依次为3，2，0．

方法二：采用试除法

一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：

，所以这个数一定能被3232

33537=8393537=2520整除．

用1993000试除，1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可．

4．从0，l ，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少?

【分析与解】 因为[3，5，7，13]=1365，在100000之内最大的1365的倍数为99645(100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，有99645-1365=98280，98280-1365=96915．96915-1365=95550．95550-1365=94185．

所以，满足题意的5位数最大为94185．

5．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少?

【分析与解】 方法一：采用试除法

823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354

，于是改动某位数字使得得

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