2021年甘肃省张掖市山丹县中考数学模拟试卷(有答案)

2021年甘肃省张掖市山丹县中考数学模拟试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．若a＝（﹣2）﹣2，b＝（﹣2）0，c＝（﹣）﹣1，则a、b、c大小关系是（）A．a＞c＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b

2．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

3．将一副三角板（∠A＝30°）按如图所示方式摆放，使得AB∥EF，则∠1等于（）

A．75°B．90°C．105°D．115°

4．下列计算正确的是（）

A．3a﹣a＝2 B．a2+a3＝a5C．a6÷a2＝a4D．（a2）3＝a5

5．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（）

A．有两不相等实数根B．有两相等实数根

C．无实数根D．不能确定

6．关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（）

A．它的图象是双曲线

B．它的图象在第一、三象限

C．y的值随x的值增大而减小

D．若点（a，b）在它的图象上，则点（b，a）也在它的图象上

7．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（）

A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm

8．已知：如图，菱形ABCD对角线AC与BD相交于点O，E为BC的中点E，AD＝6cm，则OE的长为（）

A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm

9．如图，直线y＝﹣x﹣1与y＝kx+b（k≠0且k，b为常数）的交点坐标为（﹣2，l），则关于x的不等式﹣x﹣1＜kx+b的解集为（）

A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞1 D．x＜l

10．A、B两地相距90km，甲骑摩托车由A地出发，去B地办事，甲出发的同时，乙骑自行车同时由B地出发沿着同一条道路前往A地，甲办完事后原速返回A地，结果比乙早到0.5小时．甲、乙两人离A地距离y（km）与时间x（h）的函数关系图象如图所示．下列说法：①a＝3.5，b＝4；②甲走的全路程是90km；

③乙的平均速度是22.5km/h；④甲在B地办事停留了0.5小时．其中正确的说法有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11．要使分式有意义，则x应满足的条件是．

12．把多项式mx2﹣4my2分解因式的结果是．

13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为，面积为．14．如图，⊙O的直径CD⊥弦AB，垂足为E，∠AOE＝50°，则∠BCD等于．

15．甲、乙两地相距160km，一辆长途汽车从甲地开出3小时后，一辆小轿车也从甲地开出，结果小轿车与长途汽车同时到达乙地．已知小轿车的速度是长途汽车的3倍，设长途汽车的速度为x千米/时，则小轿车的速度为3x千米/时，依题意可列方程为．

16．二次函数y＝x2+2x﹣3与x轴两交点之间的距离为．

17．已知A（m，3）、B（﹣2，n）在同一个反比例函数图象上，则＝．

18．一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．

三．解答题（共5小题，满分38分）

19．计算sin45°+3tan30°﹣（π﹣1）0

20．（1）请画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A

1B

1

C

1

．

（2）将△ABC绕着点B旋转180°得到△A

2B

2

C

2

，并画出图形．（保留作图痕迹，不写画法，注明结论）

21．如图，飞机沿水平线AC飞行，在A处测得正前方停泊在海面上某船只P的俯角∠CAP（从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角）为15°，飞行10km到达B处，在B处测得该船只的俯角∠CBP ＝52°，求飞机飞行的高度（精确到1m）

22．不透明的袋子中装有4个相同的小球，它们除颜色外无其它差别，把它们分别标号：1、2、3、4 （1）随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出“两次取的球标号相同”的概率

（2）随机摸出两个小球，直接写出“两次取出的球标号和等于4”的概率．

23．我省有关部门要求各中小学要把“阳光体育”写入课表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？（只写一项）”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据，如图1是根据这组数据绘制的条形统计图，请结合统计图回答下列问题：

（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？

（2）本次抽样调查中，最喜欢足球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？

（3）若该校九年级共有400名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为多少？

四．解答题（共5小题，满分50分）

24．如图，已知A（n，﹣2），B（1，4）是一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；

（2）求△AOC的面积．

25．如图，菱形ABCD中，BC＝，∠C＝135°，以点A为圆心的⊙A与BC相切于点E．（1）求证：CD是⊙A的切线；

（2）求图中阴影部分的面积．

26．甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价．已知该商品现价为每件

32.4元，

（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；

（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E、F分别是BC、AD上的点，且BE

＝DF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）当BE长度为时，四边形AECF是菱形．

28．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．

①求四边形ACFD的面积；

②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、

DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．

2021年甘肃省张掖市山丹县中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂计算出a、b、c的值，再比较大小即可得．

【解答】解：∵a＝（﹣2）﹣2＝、b＝（﹣2）0＝1，c＝（﹣）﹣1＝﹣2，

∴b＞a＞c，

故选：B．

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握负整数指数幂和零指数幂的法则及有理数的大小比较．

2．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．【分析】依据AB∥EF，即可得∠BDE＝∠E＝45°，再根据∠A＝30°，可得∠B＝60°，利用三角形外角性质，即可得到∠1＝∠BDE+∠B＝105°．

【解答】解：∵AB∥EF，

∴∠BDE＝∠E＝45°，

又∵∠A＝30°，

∴∠B＝60°，

∴∠1＝∠BDE+∠B＝45°+60°＝105°，

故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

4．【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则进行判断即可．【解答】解：3a﹣a＝2a，故A选项错误；

a2+a3≠a5，故B选项错误；

a6÷a2＝a4，故C选项正确；

（a2）3＝a6，故D选项错误；

故选：C．

【点评】本题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及幂的乘方，合并同类项是指同类项

的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．

5．【分析】先计算判别式得到△＝（k+3）2﹣4×k＝（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．

【解答】解：△＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，

∵（k+1）2≥0，

∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，

所以方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

6．【分析】根据反比例函数图象与系数的关系进行判断．

【解答】解：A、反比例函数y＝的图象是双曲线，正确，不符合题意；

B、因为2＞0，所以它的图象在第一、三象限，正确，不符合题意；

C、因为2＞0，所以它的图象在每一象限内，y的值随x的值增大而减小，错误，符合题意，；

D、因为点（a，b）在它的图象上，则k＝ab，所以点（b，a）也在它的图象上，正确，不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数的性质：y＝（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

7．【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，

∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，

∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，

当C点位置如图1所示时，

∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，

∴OM＝＝＝3（cm），

∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），

∴AC＝＝＝4（cm）；

当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，

∵OC＝5cm，

∴MC＝5﹣3＝2（cm），

在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．

故选：C．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．8．【分析】首先根据菱形的性质可得AO＝CO，AB＝AD＝6cm，再根据三角形中位线定义和性质可得BA＝2OE，进而得到答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AO＝CO，AB＝AD＝6cm，

∵E为CB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴BA＝2OE，

∴OE＝3cm．

故选：C．

【点评】此题主要考查了菱形的性质，以及三角形中位线性质，解题关键是掌握菱形的四边相等这一重要性质．

9．【分析】根据题意知，直线y＝kx+b位于直线y＝﹣x﹣1上方的部分符合题意．

【解答】解：如图，直线y＝﹣x﹣1与y＝kx+b（k≠0且k，b为常数）的交点坐标为C（﹣2，l），所以关于x的不等式﹣x﹣1＜kx+b的解集为x＞﹣2．

故选：A．

【点评】考查了一次函数与一元一次不等式．本题要求利用图象求解各问题，根据图象观察，得出结论．要认真体会一次函数与一元一次不等式之间的关系．

10．【分析】根据题意和图象中的数据进行判断即可．

【解答】解：①a＝2+1.5＝3.5，b＝3.5+0.5＝4，正确；

②甲走的全路程是2×90＝180km，错误；

③乙的平均速度是＝22.5km/h，正确；

④甲在B地办事停留了2﹣1.5＝0.5小时，正确；

故选：C．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答．

二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）

11．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．

【解答】解：由题意得1﹣x≠0，

则x≠1，

故答案为：x≠1．

【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义?分母为零；

（2）分式有意义?分母不为零；

（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．

12．【分析】首先提公因式m，然后利用平方差公式进行因式分解．

【解答】解：原式＝m（x2﹣4y2）

＝m（x+2y）（x﹣2y）．

故答案是：m（x+2y）（x﹣2y）．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13．【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．

【解答】解：根据已知可得，

菱形的边长AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AC＝AB＝10cm，AO＝CO＝5cm，

在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO＝＝5，

∴BD＝2BO＝10（cm），

＝×AC×BD＝×10×10＝50（cm2）；

则S

菱形ABCD

故答案为：10cm，50cm2．

【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应

底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积＝×两条对角线的乘积．

14．【分析】连接OB ，首先求出∠BOD 的大小，然后根据圆周角定理求出∠BCD 的大小．

【解答】解：连接OB ，∵∠AOE ＝50°，

∴∠BOD ＝∠AOE ＝50°，

由圆周角定理可知：

∠BCD ＝∠BOD ＝25°．

故答案为：25°．

【点评】本题主要考查圆周角定理和垂径定理的知识点，充分利用圆周角是圆心角的一半这一知识点，此题比较简单．

15．【分析】设长途汽车的速度为x 千米/时，则小轿车的速度为3x 千米/时，根据时间＝路程÷速度结合长途汽车比小轿车多用3小时，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．

【解答】解：设长途汽车的速度为x 千米/时，则小轿车的速度为3x 千米/时，

根据题意得：

﹣＝3．

故答案为：﹣＝3．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

16．【分析】先解方程x 2+2x ﹣3＝0得抛物线与x 轴的两交点坐标，然后计算两点之间的距离即可．

【解答】解：当y ＝0时，x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1，

所以抛物线与x 轴的两交点坐标为（﹣3，0），（1，0），

所以二次函数y ＝x 2+2x ﹣3与x 轴两交点之间的距离＝1﹣（﹣3）＝4．

故答案为4．

【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．

17．【分析】设反比例函数解析式为y ＝（k 为常数，k ≠0），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k ＝3m ＝﹣2n ，即可得的值．

【解答】解：设反比例函数解析式为y ＝，

根据题意得：k ＝3m ＝﹣2n

∴＝﹣

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．

18．【分析】观察分母的变化为a的1次幂、2次幂、3次幂…n次幂；分子的变化为：2、5、10、17…n2+1；

分式符号的变化为：+、﹣、+、﹣…（﹣1）n+1．

【解答】解：∵＝（﹣1）2?，

＝（﹣1）3?，

＝（﹣1）4?，

…

∴第7个式子是，

第n个式子为：．

故答案是：，．

【点评】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．

三．解答题（共5小题，满分38分）

19．【分析】将特殊锐角的三角函数值代入、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．

【解答】解：原式＝

＝

＝．

【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值，掌握零指数幂的规定及实数的运算顺序．

20．【分析】（1）分别作出点A，B，C关于直线l的对称点，再首尾顺次连接可得；

（2）作出点A与点C绕着点B旋转180°得到的对应点，再与点B首尾顺次连接可得．

【解答】解：（1）△A

1B

1

C

1

为所求作的关于l的轴对称图形．

（2）△A

2B

2

C

2

是△ABC绕B点旋转180°的图形．

【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换与旋转变换，熟练掌握轴对称变换与旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点是解题的关键．

21．【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出AC与BC，根据AC﹣BC＝AB求出PC的长即可．

【解答】解：在Rt△ACP中，tan∠PAC＝，即AC＝，

在Rt△BCP中，tan∠CBP＝，即BC＝，

由AB＝AC﹣BC，得到﹣＝10000，

解得：PC＝≈3388，

则飞机飞行的高度为3388m．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22．【分析】（1）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次取的球标号相同的结果数，然后根据概率公式求解

（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出两次取出的球标号和等于4的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次取的球标号相同的结果数为4，

所以“两次取的球标号相同”的概率＝＝；

（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和等于4的结果数为2，

所以“两次取出的球标号和等于4”的概率＝＝．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

23．【分析】（1）根据条形图的意义，将各组人数依次相加可得答案；

（2）根据表中的数据计算可得答案；

（3）用样本估计总体，按比例计算可得．

【解答】解：（1）4﹢8﹢10﹢18﹢10＝50（名）

答：该校对50名学生进行了抽样调查．

（2）最喜欢足球活动的有10人，占被调查人数的20%．

（3）全校学生人数：400÷（1﹣30%﹣24%﹣26%）

＝400÷20%

＝2000（人）

则全校学生中最喜欢篮球活动的人数约为2000×＝720（人）．

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．

四．解答题（共5小题，满分50分）

24．【分析】（1）根据m＝xy＝1×4＝n×（﹣2），求m、n的值，再根据“两点法”求一次函数解析式；

（2）根据一次函数解析式求C点坐标，确定△AOC的底边OC，则A点的横坐标的绝对值为高，由此求出△AOC的面积．

【解答】解：（1）由反比例函数解析式可知，m＝xy＝1×4＝n×（﹣2），解得m＝4，n＝﹣2，

将A（﹣2，﹣2），B（1，4）代入y＝kx+b中，得，解得，

∴反比例函数解析式为y＝，一次函数解析式为y＝2x+2；

（2）由直线y＝2x+2，得C（0，2），

＝×2×2＝2．

∴S

△AOC

【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．

25．【分析】（1）连接AE，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质以及切线的判定证明即可；

（2）利用菱形的性质和扇形的面积公式解答即可．

【解答】证明：（1）连接AE，过A作AF⊥CD，

∴∠AFD＝90°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D，

∵BC与⊙A相切于点E，

∴AE⊥BC，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

在△AEB与△AFD中，

，

∴△AEB≌△AFD，

∴AF＝AE，

∴CD是⊙A的切线；

（2）在菱形ABCD中，AB＝BC＝，AB∥CD，

∴∠B+∠C＝180°，

∵∠C＝135°，

∴∠B＝180°﹣135°＝45°，

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，

∴AE＝AB?sin∠B＝，

∴菱形ABCD的面积＝BC?AE＝3，

在菱形ABCD中，∠BAD＝∠C＝135°，AE＝，

∴扇形MAN的面积＝，

∴阴影面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形MAN的面积＝．

【点评】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．

26．【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．

（2）根据的条件从而求出多售的件数，从而得到两次调价后，每月可销售该商品数量．

【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是x，依题意得：

40（1﹣x）2＝32.4，

解得：x

1＝0.1＝10%，x

2

＝1.9（舍去）；

故这个降价率为10%；

（2）设降价y元，

根据题意得（40﹣20﹣y）（500+50y）＝10000

解得：y＝0（舍去）或y＝10，

答：在现价的基础上，再降低10元．

【点评】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．

27．【分析】（1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，再证明AF＝EC，可证明四边形AECF 是平行四边形；

（2）由菱形的性质得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠ECA，由角的互余关系证出∠B＝∠BAE，得出AE＝BE，即可得出结果．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵BE＝DF，

∴AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）∵四边形AECF是菱形，

∴AE＝CE，

∴∠EAC＝∠ECA，

∵AC⊥AB，

∴∠BAC＝90°，

∴∠B+∠ECA＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°，

∴∠B＝∠BAE，

∴AE＝BE，

∴BE＝CE＝BC＝5；

故答案为：5

【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．

28．【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；

（2）①连接CD ，则可知CD ∥x 轴，由A 、F 的坐标可知F 、A 到CD 的距离，利用三角形面积公式可求得△ACD 和△FCD 的面积，则可求得四边形ACFD 的面积；②由题意可知点A 处不可能是直角，则有∠ADQ ＝90°或∠AQD ＝90°，当∠ADQ ＝90°时，可先求得直线AD 解析式，则可求出直线DQ 解析式，联立直线DQ 和抛物线解析式则可求得Q 点坐标；当∠AQD ＝90°时，设Q （t ，﹣t 2+2t +3），设直线AQ 的解析式为y ＝k 1x +b 1，则可用t 表示出k ′，设直线DQ 解析式为y ＝k 2x +b 2，同理可表示出k 2，由AQ ⊥DQ 则可得到关于t 的方程，可求得t 的值，即可求得Q 点坐标．

【解答】解：

（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；

（2）①∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，

∴F （1，4），

∵C （0，3），D （2，3），

∴CD ＝2，且CD ∥x 轴，

∵A （﹣1，0），

∴S 四边形ACFD ＝S △ACD +S △FCD ＝×2×3+×2×（4﹣3）＝4；

②∵点P 在线段AB 上，

∴∠DAQ 不可能为直角，

∴当△AQD 为直角三角形时，有∠ADQ ＝90°或∠AQD ＝90°，

i ．当∠ADQ ＝90°时，则DQ ⊥AD ，

∵A （﹣1，0），D （2，3），

∴直线AD 解析式为y ＝x +1，

∴可设直线DQ 解析式为y ＝﹣x +b ′，

把D （2，3）代入可求得b ′＝5，

∴直线DQ 解析式为y ＝﹣x +5，

联立直线DQ 和抛物线解析式可得

，解得或，

∴Q （1，4）； ii ．当∠AQD ＝90°时，设Q （t ，﹣t 2+2t +3），

设直线AQ 的解析式为y ＝k 1x +b 1，

把A 、Q 坐标代入可得，解得k 1＝﹣（t ﹣3），

设直线DQ 解析式为y ＝k 2x +b 2，同理可求得k 2＝﹣t ，

∵AQ ⊥DQ ，

∴k 1k 2＝﹣1，即t （t ﹣3）＝﹣1，解得t ＝

，

当t ＝

时，﹣t 2+2t +3＝，

当t ＝时，﹣t 2+2t +3＝

，

∴Q 点坐标为（，）或（

，）；

综上可知Q 点坐标为（1，4）或（

，）或（，）． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形，在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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