澶氭櫘鍕掓晥搴旀槸濡備綍娴嬮

多普勒效应是如何测速的——从一道竞赛题谈起

索杨军 2015年2月16日

一、什么是多普勒效应

当火车迎面驶来时，听到的汽笛声变高；而车离去时，听到的汽笛声变低。这个现象和医院使用的彩超同属一个原理，那就是“多普勒效应”。

多普勒效应（Doppler effect）是为了纪念奥地利物理学家、数学家多普勒（Christian Johann Doppler）而命名的，他于1842年首先发现并提出了这一理论。

多普勒效应是指：当观察者或波源或它们二者均对介质运动时，观察者接收到的频率跟波源发射的频率一般是不同的。

电磁波的传播虽然不需要介质，但也存在着多普勒效应。

频率偏高简称蓝移，频率偏低简称红移。波发生的蓝（红）移的程度，跟观察者或波源相对于介质的运动有关，也就是说，存在着一定的对应关系，所以根据蓝（红）移的程度，当然可以计算出观察者或波源的运动速度。

那么多普勒效应究竟是如何测速的？让我们由浅入深，从天才的小学生都能看懂的一道中学物理竞赛题谈起，逐步深究，解开其神秘的面纱。

二、竞赛题的求解

如图A是在高速公路上用超声波测量车速的示意图，测速仪发出并接收超声波脉冲串，根据发出和接收的脉冲串的时间差，就可测出汽车的速度。图B中P1、P2是测速仪连续发出的两个超声波信号簇，N1、N2分别是P1、P2由汽车反射回来的超声波信号簇。测速仪匀速扫描，P1、P2之间的时间间隔（周期）为tP，N1、N2之间的时间间隔（周期）为tN，超声波在空气中的传播速度为v，求汽车的速度是多少？ 解： 通过tP和tN直接列出方程中学生难以理解。令发出P1、P2和接收N1、N2对应的时刻 测速仪 fP fN 图A

1

分别为TP1、TP2、TN1、TN2，则。借助图C进行分析，设

TP1时刻测速仪在O点，汽车在A点，OA之间距离为S，TP1时刻发出的信号P1经过

时间后在B点跟汽车相遇并反射，再经过时间后，测速仪接收到N1，这就有了方程

，TP2时刻发出的信号P2

时间后，测速仪接收到N2，这

①；再设TP2时刻汽车在C点，则CA之间距离为经过

时间后在D点跟汽车相遇并反射，再经过

就有了方程②

D

O C

B A 图C

0 0.5s 1s 1.5s P1 N1 tP tN P2 N2 图B

②-①得

则

2

将③④代入⑤，得

顺便看图B知，tP＝0.9s，tN＝0.8s，而v＝340m/s，代入⑥式，得出图B的

三、多普勒效应的测速公式

上面得出的⑥式实际就是多普勒效应测速公式的一种形式——周期式。

若发射脉冲串的频率为fP，接收脉冲串的频率为fN，依据频率和周期的如下关系

将⑦代入⑥，可以得到多普勒效应测速公式的另一种形式——频率式：

分析⑧式，功德圆满，得到了如下结论：

1. 当2. 当3. 当

四、机械波测速公式的另类推导

以大学物理学过的机械波，笔者也导出了多普勒效应的测速公式，作为补充，附加于后，以作参考。这一方法中学生难以理解，不做强求，有待于以后去学习掌握。

因为波速只跟介质有关，所以：①波源相对于介质静止而观察者相对于介质运动时，是波速在变；②观察者相对于介质静止而波源相对于介质运动时，是波长在变。这二者是有区别的，易于混淆二者是初学者的误区。

先将汽车作为观察者，此时测速仪相当于波源，因观察者（汽车）相对于介质（空气）运动，故其接收到脉冲串的波速变为

3

，即接收到的频率等于发射频率时，，即接收到的频率大于发射频率时，，即接收到的频率小于发射频率时，

，汽车相对测速仪静止； ，汽车靠近测速仪运动； ，汽车远离测速仪运动。

因波源（测速仪）相对于介质（空气）静止，故波长λ未变，仍为

则观察者（汽车）接收到脉冲串的出现频率F变为

再将测速仪作为观察者，此时汽车因反射脉冲串又成了波源，因观察者（测速仪）相对于介质（空气）静止，故其接收到脉冲串的波速未变，仍为，而波长却变了，为何？因波源（汽车）相对于介质（空气）在运动，故波长当然缩短了，变为

注意在上式中，波源（汽车）等于当初反射脉冲串的真实频率是F，这是为何？较难理解，详解于此，仔细品味。因为对于观察者（测速仪），包括其他任何的观察者，实际的反射频率近似于观察者（测速仪）在当时用眼睛能看到的光信号，而不等于观察者（测速仪）后来所接收到的声信号。①假设汽车只吸收不反射，接收频率当然不变还是F，而真实的反射跟接收是同时同步进行的，频率必然相同，也为F。②假设观察者（测速仪）向后倒退，其倒退的速度跟波源（汽车）前进的速度相等，即二者保持相对静止，这时观察者（测试仪）所接收到脉冲串的出现频率也不会变化，仍然等于F。

因波速未变、波长缩短，故观察者（测速仪）接收到反射脉冲串的出现频率变为

变形后，殊途同归，同样可得⑧式

需要强调的是，⑧式是针对题中的脉冲串推导出来的，对于有间隔的、不连续的脉冲串是适用的，那么对于每个脉冲内部的无间隔的、连续的超声波正弦信号是否还适用呢？当然适用。也就是说，即使测试仪发射的不是脉冲串，而是无间隔的、连续的超声波正弦信号，照样可以通过⑧式测出汽车的速度，不过此时的频率当然不再是脉冲串出现的频率，而是超声波自身的频率了。

4

五、电磁波测速公式的简化处理

如前所述，电磁波的传播不需要介质，因此以上机械波测速公式的另类推导不适用于电磁波。但是：

1． 若以测速仪为参照系，根据爱因斯坦的光速不变原理，可知竞赛题的解法依然是可

行的，结论仍然是相同的。

2． 若以汽车为参照系，根据爱因斯坦的光速不变原理，虽然得到的结果和竞赛题不同，

但通过洛伦兹变换到测速仪参照系，会发现结论还是相同的。 因此⑧式对电磁波也成立，将v换作光速c，可得电磁波的测速公式

一般情况下，因

故多普勒效应很不明显，于是有

再将多普勒频移用专门的字母表示

则⑨式变为

⑩式就是电磁波的多普勒效应测速公式的简化式，即所谓的雷达测速公式之一。

六、用多普勒效应来解释学生的一个疑问

曾经碰到学生提出下列问题：向太空中静止的飞船发射光束，因为光有压力，会推动飞船远离，然后光束反射回来，根据爱因斯坦的光速不变原理，反射回的光速是不变的。于是飞船获得了机械能，而返回的光束能量也没有变，这不违背能量守恒定律了吗？

当然没有，根据多普勒效应，反射回的光束频率减小了。而光子的能量公式为：

5

其中，h≈6.62606957(29)×10-34 J·s，为普朗克常数，ν为光的频率而不是速度。可见光子的能量跟频率成正比而与速度无关。因此返回的光束虽然速度未变但能量减少了，光束的光能转化成了飞船的机械能，照样遵循着能量守恒。

总结

一道物理竞赛题，如果仅仅是满足于求解，会发现解题过程不算太难，求出结果的意义也不大，但如果能刨根问底，继续深入挖掘其中的奥妙，则会是另一番景象，真可谓一举多得，受益匪浅，既可以使我们明白多普勒效应的形成原因，又可以使我们理解多普勒效应的测速原理，还可以使我们导出多普勒效应的测速公式。由此可见，小问题里面蕴藏着大道理，只要治学严谨，善于思考，永不言弃，总会有意外的发现。

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c2o2.html