初三上期中复习《压轴题》专题训练(2)

2016-2017学年第一学期初三数学期中压轴题训练（2）

1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3

），B（4，0）两点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出

的值，并求出此时点M的坐标．

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）． （1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；

（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S． ①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

3．如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C

（1）直接写出抛物线的函数解析式；

（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；

（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且 点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．

4．如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；

（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．

5．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

6．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称

（1）填空：点B的坐标是 ；

（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．

7．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

8．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F． （1）求抛物线的解析式；

（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=

，求点Q的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

9．如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．

（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以

个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，

F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形

中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D． （1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；

（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．

12．如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）． （1）求抛物线m的解析式；

（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标； （3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

13．如图，抛物线y=x2﹣mx﹣3（m＞0）交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，BE⊥y轴，BE=2AC． 且在第一象限内，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，（1）用含m的代数式表示BE的长． （2）当m=

时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由．

（3）若AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G． ①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．

②连结AE，交OB于点M，若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是 ．

14．如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠BAP=∠CAE？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

15．抛物线y=ax2+c与x轴交于A，B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方． （1）如图1，若P（1，﹣3），B（4，0）． ①求该抛物线的解析式；

②若D是抛物线上一点，满足∠DPO=∠POB，求点D的坐标；

（2）如图2，已知直线PA，PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

是否

16．如图，二次函数y=﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点 （1）求m的值及C点坐标；

（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M，使得它与B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 （3）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q ①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；

②点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由．

17．如图1，二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO：S四边形AONB=1：48．

（1）求直线AB和直线BC的解析式；

（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H（不与点A，点B重合），使GH+BH的最小值；

（3）如图2，直线AB上有一点K（3，4），将二次函数y=x2﹣2x+1沿直线BC平移，tt≥0）平移的距离是（，平移后抛物线上点A，点C的对应点分别为点A′，点C′；当△A′C′K是直角三角形时，求t的值．

BH的值最小，求点H的坐标和GH+

18．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）证明：△DBO∽△EBC；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是（8，4），连接AC，BC．

（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；

（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

20．B、C分别为坐标轴上的三个点，已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、且OA=1，OB=3，OC=4，

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最大值．

21．如图，抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）点P在抛物线的对称轴上，当△ACP的周长最小时，求出点P的坐标；

（3）点N在抛物线上，点M在抛物线的对称轴上，是否存在以点N为直角顶点的Rt△DNM与Rt△BOC相似？若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

22．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．

（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；

（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；

（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．

23．如图，已知点A的坐标为（﹣2，0），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点． （1）请直接写出B、C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P是第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F，若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

（3）设点M是线段BC上的一动点，过点M作MN∥AB，交AC于点N，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（秒），当t（秒）为何值时，存在△QMN为等腰直角三角形？

24．如图，直线y=﹣x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA、PB、PO，若△POA的面积是△POB面积的倍．

①求点P的坐标；

②点Q为抛物线对称轴上一点，请直接写出QP+QA的最小值；

（3）点M为直线AB上的动点，点N为抛物线上的动点，当以点O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣

），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为 ； （3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点

B，M，N为顶点的四边形为菱形， ①若平面内存在点N，使得以A，则这样的点N共有 个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．

26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=． （1）求抛物线的解析式；

（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；

（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

27．已知抛物线y=a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，﹣2），顶点为B． （1）试确定a的值，并写出B点的坐标；

（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式； （3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；

（4）若将抛物线平移m（m≠0）个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

28．如图1，在平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点 （1）当m=2时，a= ，当m=3时，a= ；

（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当△APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 ； （4）利用（2）（3）中的结论，求△AOB与△APQ的面积比．

29．如图①，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；

（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒

个单位的速度在直线BC

上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．

30．如图1，二次函数y=ax2+bx的图象过点A（﹣1，3），顶点B的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；

（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，

为常数，试确定k的值．

参考答案与解析

1．（2016?泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3

），B（4，0）两点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出

的值，并求出此时点M的坐标．

【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）分D在x轴上和y轴上，当D在x轴上时，过A作AD⊥x轴，垂足D即为所求；当D点在y轴上时，设出D点坐标为（0，d），可分别表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到关于d的方程，可求得d的值，从而可求得满足条件的D点坐标；

（3）过P作PF⊥CM于点F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函数，可用PF分别表示出MF和NF，从而可表示出MN，设BC=a，则可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，从而可用PF表示出CN，可求得

的值；借助a可表示出M点的

坐标，代入抛物线解析式可求得a的值，从而可求出M点的坐标． 【解答】解： （1）∵A（1，3∴

），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx的图象上，

， x2+4

x；

，解得

∴抛物线解析式为y=﹣

（2）存在三个点满足题意，理由如下：

当点D在x轴上时，如图1，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵A（1，3），

∴D坐标为（1，0）；

当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3

2

﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）

+（3

）2=36，

∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形， ∴AD2+BD2=AB2，即1+（3∴D点坐标为（0，

﹣d）2+42+d2=36，解得d=）或（0，

）；

，

0）综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（1，或（0，（3）如图2，过P作PF⊥CM于点F，

）或（0， ）；

∵PM∥OA，

∴Rt△ADO∽Rt△MFP， ∴

=

=3

，

∴MF=3PF，

，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=3∴tan∠ABD=

，

∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°， ∴tan∠PNF=∴FN=

PF，

PF， =

，

∴MN=MF+FN=4∵S△BCN=2S△PMN， ∴∴a=2∴NC=∴

=

NC=a2=2××4PF， a=2

=

PF2，

PF， ， ×

+a=

a， ）a， +

）a），

∴MN=

∴MC=MN+NC=（

∴M点坐标为（4﹣a，（

又M点在抛物线上，代入可得﹣解得a=3﹣OC=4﹣a=

或a=0（舍去）， +1，MC=2

+

， +

（4﹣a）2+4

（4﹣a）=（+）a，

∴点M的坐标为（+1，2）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、点与函数图象的关系及分类讨论等．在（2）中注意分点D在x轴和y轴上两种情况，在（3）中分别利用PF表示出MF和NC是解题的关键，注意构造三角形相似．本题涉及知识点较多，计算量较大，综合性较强，特别是第（3）问，难度很大．

2．（2016?淮安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（﹣4，0）． （1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；

（2）点D的坐标为（0，4），点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S． ①求S的最大值；

②在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．

【分析】（1）把A点和B点坐标代入y=﹣x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线的解析式；然后计算函数值为0时对应的自变量的值即可得到C点坐标

（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8），利用S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S

△OCF

，利用三角形面积公式得到S△CDF=﹣t2+6t+16，再利用二次函数的性质得到△CDF的

面积有最大值，然后根据平行四边形的性质可得S的最大值；

②由于四边形CDEF为平行四边形，则CD∥EF，CD=EF，利用C点和D的坐标特征可判断点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，则点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣t2+t+12），然后把E（t﹣8，﹣t2+t+12）代 入抛物线解析式得到关于t的方程，再解方程求出t后计算△CDF的面积，从而得到S的值．【解答】解：（1）把A（0，8），B（﹣4，0）代入y=﹣x2+bx+c得解得

，

所以抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8； 当y=0时，﹣x2+x+8=0，解得x1=﹣4，x2=8， 所以C点坐标为（8，0）；

（2）①连结OF，如图，设F（t，﹣t2+t+8）， ∵S四边形OCFD=S△CDF+S△OCD=S△ODF+S△OCF，

∴S△CDF=S△ODF+S△OCF﹣S△OCD=?4?t+?8?（﹣t2+t+8）﹣?4?8 =﹣t2+6t+16 =﹣（t﹣3）2+25，

当t=3时，△CDF的面积有最大值，最大值为25， ∵四边形CDEF为平行四边形， ∴S的最大值为50；

②∵四边形CDEF为平行四边形， ∴CD∥EF，CD=EF，

∵点C向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点D，

∴点F向左平移8个单位，再向上平移4个单位得到点E，即E（t﹣8，﹣∵E（t﹣8，﹣t2+t+12）在抛物线上，

∴﹣（t﹣8）2+t﹣8+8=﹣t2+t+12，解得t=7， 当t=7时，S△CDF=﹣（7﹣3）2+25=9， ∴此时S=2S△CDF=18．

，

t2+t+12），

【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质，掌握点平移的坐标规律．

3．（2016?钦州）如图1，在平面直径坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣3，0）．B（1，0），与y轴交于点C （1）直接写出抛物线的函数解析式；

（2）以OC为半径的⊙O与y轴的正半轴交于点E，若弦CD过AB的中点M，试求出DC的长；

（3）将抛物线向上平移个单位长度（如图2）若动点P（x，y）在平移后的抛物线上，且 点P在第三象限，请求出△PDE的面积关于x的函数关系式，并写出△PDE面积的最大值．

【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）令抛物线解析式中x=0求出点C的坐标，根据点A、B的坐标即可求出其中点M的坐标，由此即可得出CM的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得出

，代入数据即可求出DC的长度；

（3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标，由此即可得出点P横坐标的范围，再过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，通过分割图形求面积法找出S△PDE关于x的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE面积的最大值．

【解答】解：（1）将点A（﹣3，0）、B（1，0）代入y=ax2+bx﹣2中，

得：，解得：，

∴抛物线的函数解析式为y=x2+x﹣2． （2）令y=x2+x﹣2中x=0，则y=﹣2， ∴C（0，﹣2）， ∴OC=2，CE=4．

∵A（﹣3，0），B（1，0），点M为线段AB的中点， ∴M（﹣1，0）， ∴CM=

∵CE为⊙O的直径， ∴∠CDE=90°， ∴△COM∽△CDE， ∴∴DC=

， ．

=

．

（3）将抛物线向上平移个单位长度后的解析式为y=x2+x﹣2+=x2+x﹣， 令y=x2+x﹣中y=0，即x2+x﹣=0， 解得：x1=

，x2=

．

∵点P在第三象限，

∴＜x＜0．

过点P作PP′⊥y轴于点P′，过点D作DD′⊥y轴于点D′，如图所示． 在Rt△CDE中，CD=∴DE=

=

，CE=4， ，sin∠DCE=

=

，

在Rt△CDD′中，CD=，∠CD′D=90°，

=

，

∴DD′=CD?sin∠DCE=，CD′=OD′=CD′﹣OC=，

∴D（﹣，），D′（0，）， ∵P（x， x2+x﹣）， ∴P′（0， x2+x﹣）．

?D′P′﹣PP′?EP′=﹣∴S△PDE=S△DD′E+S梯形DD′P′P﹣S△EPP′=DD′?ED′+（DD′+PP′）x+2（∵S△PDE=﹣∴当x=﹣

＜x＜0）， ﹣

x+2=﹣

+

，．

﹣

x+2（＜﹣

＜0，

﹣

时，S△PDE取最大值，最大值为

故：△PDE的面积关于x的函数关系式为S△PDE=﹣且△PDE面积的最大值为

．

＜x＜0），

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据相似

三角形的性质找出边与边之间的关系；（3）利用分割图形求面积法找出S△PDE关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，但数据稍显繁琐，本题巧妙的利用了分割图形法求不规则的图形面积，给解题带来了极大的方便．

4．（2016?新疆）如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，﹣4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；

（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．

【分析】（1）根据对称轴、A、B点的坐标，可得方程，根据解方程，可得答案； （2）根据平行四边形的面积公式，可得函数解析式；

（3）根据函数值，可得E点坐标，根据菱形的判定，可得答案． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 将A、B点的坐标代入函数解析式，得

，

解得，

抛物线的解析式为y=﹣x2+配方，得

x﹣4，

y=﹣（x﹣）2+顶点坐标为（，

， ）；

x﹣4）， x﹣4）

（2）E点坐标为（x，﹣x2+S=2×OA?yE=6（﹣x2+即S=﹣4x2+28x﹣24；

（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下： 当平行四边形OEAF的面积为24时，即 ﹣4x2+28x﹣24=24， 化简，得

x2﹣7x+12=0，解得x=3或4，

当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形． 当x=4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形．

∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形．

【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，配方法求函数的顶点坐标；利用平行四边形性质是解题关键；利用方程的判别式是解题关键．

5．（2016?六盘水）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D． （1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），可以求得抛物线的解析式；

（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，即可得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴； （3）首先写出存在，然后运用分类讨论的数学思想分别求出各种情况下点P的坐标即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），

∴，

解得，，

即此抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3； （2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1； （3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形， 设点P的坐标为（1，y）， 当PA=PD时，

=

解得，y=﹣，

即点P的坐标为（1，﹣）； 当DA=DP时，

，

=

解得，y=﹣4±

，

）或（1，﹣4+

）；

，

即点P的坐标为（1，﹣4﹣2当AD=AP时，

=

解得，y=±4，

，

即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），

当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意，

由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，﹣）或（1，﹣4﹣2

）或（1，﹣4+

）或（1，4）．

【点评】本题考查二次函数综合题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．

6．（2016?大连）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称

（1）填空：点B的坐标是 （0，） ；

（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．

【分析】（1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；

（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；

（3）利用平行线和轴对称的性质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标． 【解答】解：

（1）∵抛物线y=x2+与y轴相交于点A， ∴A（0，），

∵点B与点O关于点A对称， ∴BA=OA=，

∴OB=，即B点坐标为（0，）， 故答案为：（0，）； （2）∵B点坐标为（0，），

∴直线解析式为y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣∴OC=﹣∵PB=PC，

∴点P只能在x轴上方，

如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，

，

，

则BD=OC=﹣，CD=OB=，

∴PD=PC﹣CD=m﹣，

在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，

即m2=（m﹣）2+（﹣∴PB+

，

）2，解得m=+

，

∴P点坐标为（﹣当x=﹣

， +），

，

时，代入抛物线解析式可得y=+

∴点P在抛物线上； （3）如图2，连接CC′，

∵l∥y轴， ∴∠OBC=∠PCB， 又PB=PC， ∴∠PCB=∠PBC， ∴∠PBC=∠OBC，

又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上， ∴∠PBC=∠PBC′，

∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°， 在Rt△OBC中，OB=，则BC=1 ∴OC=

，即P点的横坐标为

，1）．

，代入抛物线解析式可得y=（

）2+=1，

∴P点坐标为（

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的性质、平行线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、二次函数的性质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

7．（2016?河池）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D． （1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令抛物线解析式中y=0，解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标，再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标；

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，由点C的坐标可找出点C′的坐标，根据点C′、D的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D的解析式，令其y=0求出x值，即可得出点E的坐标；

（3）根据点A、C的坐标利用待定系数法求出直线AC的解析式，假设存在，设点F（m，m+3），分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．根据等腰直角三角形的性质结合点A、F点的坐标找出点P的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m值，再代入点P坐标中即可得出结论． 【解答】解：（1）当y=﹣x2﹣2x+3中y=0时，有﹣x2﹣2x+3=0， 解得：x1=﹣3，x2=1， ∵A在B的左侧，

∴A（﹣3，0），B（1，0）． 当y=﹣x2﹣2x+3中x=0时，则y=3， ∴C（0，3）．

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4， ∴顶点D（﹣1，4）．

（2）作点C关于x轴对称的点C′，连接C′D交x轴于点E，此时△CDE的周长最小，如图1所示． ∵C（0，3）， ∴C′（0，﹣3）．

设直线C′D的解析式为y=kx+b， 则有

，解得：

，

∴直线C′D的解析式为y=﹣7x﹣3， 当y=﹣7x﹣3中y=0时，x=﹣，

∴当△CDE的周长最小，点E的坐标为（﹣，0）． （3）设直线AC的解析式为y=ax+c， 则有

，解得：

，

∴直线AC的解析式为y=x+3． 假设存在，设点F（m，m+3），

△AFP为等腰直角三角形分三种情况（如图2所示）： ①当∠PAF=90°时，P（m，﹣m﹣3）， ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上， ∴﹣m﹣3=﹣m2﹣2m+3， 解得：m1=﹣3（舍去），m2=2， 此时点P的坐标为（2，﹣5）； ②当∠AFP=90°时，P（2m+3，0） ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上， ∴0=﹣（2m+3）2﹣2×（2m+3）+3， 解得：m3=﹣3（舍去），m4=﹣1， 此时点P的坐标为（1，0）； ③当∠APF=90°时，P（m，0）， ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，

∴0=﹣m2﹣2m+3，

解得：m5=﹣3（舍去），m6=1， 此时点P的坐标为（1，0）．

综上可知：在抛物线上存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形，点P的坐标为（2，﹣5）或（1，0）．

【点评】本题考查了解一元二次方程、待定系数法求函数解析式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标，利用配方法求出顶点坐标；（2）找出点E的位置；（3）分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用一次函数图象上点的坐标特征设出点F的坐标，再根据等腰直角三角形的性质表示出点P的坐标是关键．

8．（2016?南充）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，5）．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和N．交x轴于点E和F． （1）求抛物线的解析式；

（2）当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果sin∠AMF=

，求点Q的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．

【分析】（1）设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入即可解决问题． （2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0），根据sin∠AMF=解决问题．

（3））①当MN是对角线时，设点F（m，0），由QN=PM，列出方程即可解决问题．②MN=PQ=当MN为边时，

，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣m+6），

=

，列出方程即可

代入抛物线解析式，解方程即可．

【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣5，0），B（3，0）， ∴可以假设抛物线为y=a（x+5）（x﹣3），把点（0，5）代入得到a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+5． （2）作FG⊥AC于G，设点F坐标（m，0）， 则AF=m+5，AE=EM=m+6，FG=∵sin∠AMF=∴

=

，

，

（m+5），FM=

=

，

∴=

，整理得到2m2+19m+44=0，

∴（m+4）（2m+11）=0， ∴m=﹣4或﹣5.5（舍弃）， ∴点Q坐标（﹣4，）．

（3）①当MN是对角线时，设点F（m，0）． ∵直线AC解析式为y=x+5，

∴点N（m，m+5），点M（m+1，m+6）， ∵QN=PM，

∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣（m+1）2﹣（m+1）+5]， 解得m=﹣3±

，

，3+

）或（﹣2﹣

，3﹣

）．

∴点M坐标（﹣2+

②当MN为边时，MN=PQ=m+6），

，设点Q（m，﹣m2﹣m+5）则点P（m+1，﹣m2﹣

∴﹣m2﹣m+6=﹣（m+1）2﹣（m+1）+5， 解得m=﹣3．

∴点M坐标（﹣2，3），

综上所述以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点M的坐标为（﹣2，3）或（﹣2+

，3+

）或（﹣2﹣

，3﹣

）．

【点评】本题考查二次函数综合题、三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

9．（2016?甘孜州）如图，顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4分别与x轴相交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数表达式；

（2）判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由．

（3）抛物线上是否存在点N（点N与点M不重合），使得以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）由抛物线解析式确定出抛物线的顶点坐标和与x轴的交点坐标，用勾股定理的逆定理即可；

（3）根据题意判断出点N只能在x轴上方的抛物线上，由已知四边形的面积相等转化出S

△ABN

=S△BCM，然后求出三角形BCM的面积，再建立关于点N的坐标的方程求解即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=a（x+1）2﹣4与y轴相交于点C（0，﹣3）． ∴﹣3=a﹣4， ∴a=1，

∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3， （2）△BCM是直角三角形

理由：由（1）有，抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4， ∵顶点为M的抛物线y=a（x+1）2﹣4， ∴M（﹣1，﹣4），

由（1）抛物线解析式为y=x2+2x﹣3， 令y=0， ∴x2+2x﹣3=0， ∴x1=﹣3，x2=1，

∴A（1，0），B（﹣3，0），

∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+14=20， ∴BC2+CM2=BM2，

∴△BCM是直角三角形， （3）存在，N（﹣1+

，）或N（﹣1﹣

，），

∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等，且点M是抛物线的顶点，

∴①点N在x轴上方的抛物线上， 如图，

由（2）有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2， ∴BC=3

，CM=

，

×

=3，

∴S△BCM=BC×CM=×3设N（m，n），

∵以点A，B，C，N为顶点的四边形的面积与四边形ABMC的面积相等， ∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC， ∴S△ABN=S△BCM=3，

∵A（1，0），B（﹣3，0）， ∴AB=4，

∴S△ABN=×AB×n=×4×n=2n=3， ∴n=，

∵N在抛物线解析式为y=x2+2x﹣3的图象上， ∴m2+2m﹣3=， ∴m1=﹣1+

，m2=﹣1﹣

，

∴N（﹣1+②如图2，

，）或N（﹣1﹣，）．

②点N在x轴下方的抛物线上， ∵点C在对称轴的右侧，

∴点N在对称轴右侧不存在，只有在对称轴的左侧， 过点M作MN∥BC，交抛物线于点N， ∵B（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC解析式为y=﹣x﹣3， 设MN的解析式为y=﹣x+b

∵抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4①， ∴M（﹣1，﹣4），

∴直线MN解析式为y=﹣x﹣5②， 联立①②得∴N（﹣2，﹣3）， 即：N（﹣1+

，）或N（﹣1﹣

，）或N（﹣2，﹣3）．

（舍），

，

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求抛物线解析式，直角三角形的判断，图形面积的计算，解本题的关键是判断出△BCM是直角三角形，难点是要两个四边形面积相等，点N分在x轴上方的抛物线上和下方的抛物线上，用方程的思想解决问题是解决（3）的关键，也是初中阶段常用的方法．

10．（2016?临夏州）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．

（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以

个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，

F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求出抛物线，直线解析式； （2）分两种情况进行计算即可；

（3）确定出面积达到最大时，直线PC和抛物线相交于唯一点，从而确定出直线PC解析式为y=﹣x+

，根据锐角三角函数求出BD，计算即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点， ∴∴

，

，

∴y=﹣x2+2x+3，

设直线AB的解析式为y=kx+n， ∴∴

， ，

∴y=﹣x+3；

（2）由运动得，OE=t，AF=

t，∴AE=OA﹣OE=3﹣t，

∵△AEF为直角三角形， ∴①△AOB∽△AEF， ∴∴∴t=，

②△AOB∽△AFE， ∴∴∴t=1；

（3）如图，存在，

，

， ，

，

过点P作PC∥AB交y轴于C， ∵直线AB解析式为y=﹣x+3， ∴设直线PC解析式为y=﹣x+b， 联立

，

∴﹣x+b=﹣x2+2x+3， ∴x2﹣3x+b﹣3=0 ∴△=9﹣4（b﹣3）=0 ∴b=∴BC=

，

﹣3=，x=，

）．

∴P（，

过点B作BD⊥PC， ∴直线BD解析式为y=x+3， ∴

BD=，

，

×

=

．

）．

∴BD=∵AB=3

S最大=AB×BD=×3

即：存在面积最大，最大是，此时点P（，

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，平行线的解析式的确定方法，互相垂直的直线解析式的确定方法，解本题的关键是确定出△PAB面积最大时点P的特点．

11．（2016?上海）如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D． （1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；

（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．

【分析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；

（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c2k7.html