2009年至2013年泉州市数学中考压轴题（附答案）

09年

7．（13分）如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，

设该花圃的腰AB的长为x米.

(1)请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；

2

（2）若∠BAD=60°, 该花圃的面积为S米.

①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=933时

x的值；

②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？

28．（13分）在直角坐标系中，点A（5，0）关于原点O的对称点为点C.

(1)请直接写出点C的坐标；

（2）若点B在第一象限内，∠OAB=∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D. ①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

②现有一动点P从B点出发，沿路线BA—AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.已知AB=6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值.

10年

27．（2010?泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形．你可以利用这一结论解决问题．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x轴所在的直线绕着原点O逆时针旋转α度角后的图形．若它与反比例函数

的图象分别交于第一、

三象限的点B，D，已知点A（﹣m，O）、C（m，0）．

（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD的形状一定是 _________ ； （2）①当点B为（p，1）时，四边形ABCD是矩形，试求p，α，和m的值；

②观察猜想：对①中的m值，能使四边形ABCD为矩形的点B共有几个？（不必说理） （3）试探究：四边形ABCD能不能是菱形？若能，直接写出B点的坐标，若不能，说明理由．

28．（2010?泉州）如图所示，已知抛物线

的图象与y轴相交于点B（0，1），

点C（m，n）在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰好经过顶点A． （1）求k的值；

（2）求点C的坐标；

（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探索：

①当S1＜S＜S2时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边形OACB的面积）；

②当t取何值时，点P在⊙M上．（写出t的值即可）

11年

25．（12分）在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数y?23(x＞0）图象上一个动x点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．

（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时： ①求出点A，B，C的坐标．

②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

y 1．若2A P y?23 xx O K 第25题 图1

26. （14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 且OA = 3，AB = 5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）；

（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题：

y①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；

B若不能，请说明理由；

②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．

12年

25．（2012?泉州）已知：A、B、C三点不在同一直线上．

EQDOPAx（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

如图①，当∠A=45°，R=1时，求∠BOC的度数和BC的长； 如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA=

；

（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．

26．（2012?泉州）如图，O为坐标原点，直线l绕着点A（0，2）旋转，与经过点C（0，1）的二次函数y=x+h的图象交于不同的两点P、Q．

（1）求h的值；

（2）通过操作、观察，算出△POQ的面积的最小值（不必说理）；

（3）过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中，四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．

2

13年

25．（12分）如图，直线y=﹣直线BC上的动点．

x+2

分别与x、y轴交于点B、C，点A（﹣2，0），P是

（1）求∠ABC的大小；

（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；

（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO=30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由．

[来源:Z.xx.k.Com][来源学科网ZXXK]

26．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（﹣6，0），过点E（﹣2，0）作EF∥AB，交BO于F； （1）求EF的长；

（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G； ①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明

=

；

②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：

=，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；

），探索2PO+PM的最小值

（3）在（2）中，若点M（2，

∴S==?331 (40-2x+40-x)2x=x(80-3x)

24233x2?203 (0＜x＜20)……………………（6分） 43当S=933时，?3x2?203=933

42解得：x1=6,x2=20（舍去）.∴x=6…………………………（8分）

3

②由题意，得40-x≤24,解得x≥16，

结合①得16≤x＜20………………………………………………………………（9分） 由①，S=?33404003x2?203=?3(x?)2?3 4433∵a=?33＜0 4∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）. 其对称轴为x=

4040，∵16＞,由左图可知， 33当16≤x＜20时，S随x的增大而减小……………………………（11分）

∴当x=16时，S取得最大值，………………………………………（12分） 此时S最大值=?

33?162?203?16?1283.…………………（13分） 4

28.（本小题13分）

解:（1）C（-5，0）……………………………………（3分）

（2）①四边形ABCD为矩形，理由如下：

如图，由已知可得：A、O、C在同一直线上，且 OA=OC；B、O、D在同一直线上，且OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.……………………………………………（5分）

∵∠OAB=∠OBA∴OA=OB,即AC=2OA=2OB=BD

∴四边形ABCD是矩形.………………………………（7分）

②如图，由①得四边形ABCD是矩形

∴∠CBA=∠ADC=90°……………………………（8分）

又AB=CD=6，AC=10

∴由勾股定理，得BC=AD==∵

AC2?AB2?102?62=8…………………………（9分）

106?8?25，?14，∴0≤t≤14.………………（10分） 0.41

当0≤t≤6时，P点在AB上，连结PQ.

∵AP是直径，∴∠PQA=90°……………………………（11分）

又∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB ∴

PAAQ6?t0.4t，即,解得t=3.6……………………（12分） ??CAAB106

当6＜t≤14时，P点在AD上，连结PQ，

同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD ∴

PAAQt?60.4t，即t-6,解得t=12. ??CAAD108综上所述，当动点Q在以PA为直径的圆上时，t的值为3.6或12.……………………………………………………（13分）

11年答案

25.（本小题12分） 解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切， ∴ PA⊥OA，PK⊥OK． ∴∠PAO=∠OKP=90°． 又∵∠AOK=90°，

∴ ∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．

y A P y?23 xx O K 图1 ∴四边形OKPA是矩形． 又∵OA=OK，

∴四边形OKPA是正方形．……………………2分 （2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为过点P作PG⊥BC于G． ∵四边形ABCP为菱形， ∴BC=PA=PB=PC．

∴△PBC为等边三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，

23． xy A P G M PG=

23． xy?23 xx O B 图2 C 233PGsin∠PBG=，即?x．

2xPB解之得：x=±2（负值舍去）．

∴ PG=3，PA=BC=2．……………………4分 易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，

∴OB=OG－BG=1，OC=OG+GC=3．

∴ A（0，3），B（1，0） C（3，0）．……………………6分 设二次函数解析式为：y=ax+bx+c．

2

?a?b?c?0?据题意得：?9a?3b?c?0

??c?3解之得：a=

343， b=?， c=3． 333243x?x?3．……………………9分 33∴二次函数关系式为：y?②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：

??u?v?0 ?

??2u?v?3解之得：u=3， v=?33．

∴直线BP的解析式为：y?3x?33．

过点A作直线AM∥PB，则可得直线AM的解析式为：y?3x?3．

?y?3x?3?解方程组：? 3243x?x?3?y?33?得：????x1?0?x2?7 ； ?．

???y1?3?y2?83过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：y?3x?t． ∴0=33?t． ∴t??33．

∴直线CM的解析式为：y?3x?33．

?y?3x?33?解方程组：? 3243x?x?3?y?33???x1?3?x2?4得：? ； ?．

??y1?0?y2?3综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．…………………12分 解法二：∵S?PAB?S?PBC?1S?PABC， 2∴A（0，3），C（3，0）显然满足条件．

延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA． 又∵AM∥BC， ∴S?PBM?S?PBA?1S?PABC． 2∴点M的纵坐标为3．

又点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4． ∴点M（4，3）符合要求． 点（7，83）的求法同解法一． 综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．…………………12分

解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA． 又∵AM∥BC， ∴S?PBM?S?PBA?1S?PABC． 2∴点M的纵坐标为3．

即

3243x?x?3?3． 33解得：x1?0（舍），x2?4． ∴点M的坐标为（4，3）． 点（7，83）的求法同解法一． 综上可知，满足条件的M的坐标有四个，

分别为：（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）．…………………12分 26.（本小题14分）

22解：解：（1）在Rt△AOB中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得OB?AB?OA?4. ∴A（3，0），B（0，4）．

y设直线AB的解析式为y=kx?b. B∴

?3k?b?0,??b?4.4??k??,3?? 解得 ?b?4.

4x?4．…………2分 3EQ∴直线AB的解析式为y=-（2）如图，过点Q作QF⊥AO于点F. ∵ AQ = OP= t，∴AP?3?t． QFAQ?由△AQF∽△ABO，得． BOABQFt4?．∴QF?t． …………2分 ∴45514∴S?(3?t)?t，

252∴S??t?t．………………………4分

OPDFAxyBE2565QDOPAx（3）四边形QBED能成为直角梯形． ①如图，当DE∥QB时， ∵DE⊥PQ，

∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形． 此时∠AQP=90°．

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