辽宁省部分重点中学协作体2009年高考模拟考试（数学理）.doc

辽宁省部分重点中学协作体2009年高考模拟考试

数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) S?4?R2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生

V球?433?R

的概率是P，那么n次独立重复 其中R表示球的半径 试验中A恰好发生k次的概率

Pn(k)?CnP(1?P)kkn?k(k?0,1,2,?,n)

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。 1．抛物线x2??2y的准线方程是

A．y?18

18

12（ ）

12

i3B．y?? C．y?? D．y?

2．设复数z?1?i,则12122等于

1212

1212

1212（ ）

A．?i B．?i C．??i D．??i

3．在直线AB上，点A的坐标是（1，2），向量AB?(2,?1)，则直线AB的方程为（ ）

A．x?2y?5?0 C．2x?y?4?0

B．x?2y?3?0 D．2x?y?0

?3,a?3,b?1，则角B

4．已知?ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,且A?等于

（ ）

A．

?2 B．

?6 C．

5?6 D．

?6或5?6

（ ）

5．已知m,n是不同的直线，?,?是不同的平面，下列命题中正确的是

A．若m?n,n??,则m?? B．若m//n,n??,则m//? C．若???,m??,则m?? D．若?//?,m??,则m//?

6．若按照右侧程序框图输出的结果为4，则输入

的x所有可能取值的和等于 （ ）

A．0 C．2

B．1 D．3

12

7．已知幂函数y?f(x)的图象经过点(4,),则f(2)=

14

（ ）

A． B．4 C．

22 D．2

8．已知正项等比数列{an}满足loglo2g(a1?a20092a1?log2a2???log2a2009?2009，则

)的最小值为 C．2

2 D．log2009

（ ）

A．1

2B．

32

29．已知函数f(x)?x?2x?2,g(x)?ax?bx?c,若y?f(x)的图象与y?g(x)的图象关于点（2，0）对称，则a?b?c等于 （ ） A．5 B．-5 C．1 D．-1

10．现有六名学生站成一排照相，其中甲、乙两人不能相邻，丙、丁两人也不能相邻，则不同的站排方法共有 （ ） A．408种 B．336种 C．264种 D．240种

??x)，则要得到其导函数y?f?(x)的图象， 只需将函数11．已知函数f(x)?sin(3y?f(x)的图象

B．向右平移D．向右平移

2?3 个单位

（ ）

A．向左平移C．向左平移

2?3个单位

?2个单位

?2个单位

a?8的 图象恒在x轴上方的

212．已知0?a?1,0?b?1,则函数f(x)?xlogab?2xlogb概率为

A．

14 B．

34

C．

13

D．

23（ ）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必答题和选答题两部分，第13题—第21题为必答题，每个试题考生都必须作答，第22题为选答题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。 13．一个几何体的三视图如图所示，主视图、左视图、俯视图

均为腰长为1的等腰直角三角形，则其外接球的表面积 为 。 14．若sin(?6??)?13,则cos(2?3?2?)= 。

15．已知双曲线

x216?y212?1的左、右焦点分虽为F1、F2，过点

F1作直线l交双曲线的左支于A、B两点，且|AB?8,则三角形ABF2的周长等于 。 16．已知在四面体A—BCD中，各棱长均为1，点E是线段BC的中点，则AE?CD等于 。

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。 17．（本小题满分10） 已知盒子中有4个红球，n个白球，若从中一次取出4个球，其中白球的个数为X，且

E(X)?127.

（I）求n的值；

（II）若从中不放回地逐一抽取，取到所有白球则停止抽取。在前3次取球中恰取到1个

白球的条件下，共需取球Y次，求Y的分布列和E（Y）。

18．（本小题满分12分）

已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，?ADC??DCB?PC=CD=2，PC?平面ABCD，E是线段AB的中点。

?2,AD?1,BC?3，

2 （I）求证：DE?平面PAC；

（II）求二面角B—PA—C的大小。

19．（本小题满分12分）

已知数列{an}满足:a1?14,a2?34*,2an?an?1?an?1(n?2,n?N),数列{bn}满足：

*b1?0,3bn?bn?1?n(n?2,n?N),数列{bn}的前n项和为Sn.

（I）求证：数列{bn?an}为等比数列； （II）求证：数列{bn}为递增数列；

（III）若当且仅当n?3时,Sn取得最小值,求b1的取值范围。

20．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?2xx?12,g(x)?13ax23?ax(a?0).

2 （I）当x?[0,3]时,求f(x)的值域；

（II）对于任意x1?[0,3],总存在x2?[0,3],使f(x1)?围。

21．（本小题满分12分）

16g(x0)成立，求实数a的取值范

已知椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)的长轴长为4，离心率为

12，点P是椭圆上异于顶点的

任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l?过点P且垂直于l，交y轴于点B。

（I）求椭圆的方程；

（II）试判断以AB为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由。

22．请考生在A、B、C三题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

A．（本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲 如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC， 并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的 延长线于P，PC=ED=1，PA=2。 （I）求AC的长；

（II）求证：EF=BE。 B．（本小题满分10） 选修4-4：坐标系与参数方程

?? 已知直线l:?sin(??)?4和圆C:??2k?cos(??)(k?0),若直线l上的点到圆

44C上的点的最小距离等于2。 （I）求圆心C的直角坐标； （II）求实数k的值。 C．（本小题满分10分）

选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?|2x?1|?|2x?3|.

（I）求不等式f(x)?6的解集；

（II）若关于x的不等式f(x)?a恒成立，求实数a的取值范围。

参考答案

一、选择题： DDABD ACCBB CD 二、填空题： 13．3? 14．?三、解答题：

17．解：（I）?X服从超几何分布

?E(X)?4?n4?n?12779 15．32 16． ?14

?n?3 3分

（II）P(Y?5)?A2A224?162, 5分

P(Y?6)?C2?C2?A2A13411?13, 7分

P(Y?7)?C2?A3A443?12 9分

6 7 12Y P …………10分

?E(Y)?5?165 16 13131212193 ?6??7?? 12分

18．解：（Ｉ）取ＣＤ中点Ｆ，连接ＥＦ，

则EF?CD,EF?(AD?BC)?2

?AD?DF?1,CD?EF?2, ?CDA??EFD?90? ??CDA??EFD ??DAC??FDE

??EDA??FDE?90?

??EDA??DAC?90? ?DE?AC 4分

?PC?平面ABCD,?PC?DE

?DE?平面PAC 6分

（II）以点C为坐标原点，分别以CD，CB，CP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，

则C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,3,0),P(0,0,2),A(2,1,0),E(1,2,0)

?DE?平面PAC

?平面PAC的一个法向量为DE?(?1,2,0) 8分

设平面PAB的一个法向量为n?(x,y,z)， 由PA?(2,1,?2),PB?(0,3,?2)， 得??2x?y?2z?0?3y?2z?0

32

不妨令x?1,则y?1,z?32，

即n?(1,1,) 10分

32?285

85(?1)?1?2?1?0? ?cos?DE,n??5?172 ?二面角B?PA?C的大小为arccos28585. 12分

*19．解：（I）?2an?an?1?an?1(n?2,n?N)

?{an}是等差数列

又?a1??an??bn?141314,a2?34

12?2n?14?(n?1)?bn?1?n313 2分

*(n?2,n?N) bn?n?13?2n?14?13bn?2n?112?13(bn?2n?14)

?bn?1?an?1??13(bn?an) 5分

1414?0

又?b1?a1?b1??{bn?an}是b1?为首项，以

113为公比的等比数列 6分

（II）?bn?an?(b1?1n?12n?1)?(),an? 434

?bn?(b1?11n?12n?1 )?()?43412?23(b1?11n?2 )()43当n?2时,bn?bn?1?又b1?0

?bn?bn?1?0

?{bn}是单调递增数列 9分

（III）?当且仅当n?3时,Sn取最小值

?b3?0?? ?b4?0112?5?(b?)()?01??443即?, ?7?(b?1)(1)3?01?43?4

?b1?(?47,?11) 12分

2?2x22220．解：（I）f?(x)?x f?(x) f(x) (x?1)?2(1?x)(1?x)(x?1)22

（1，3） - 3 350 0 （0，1） + 1 0 1 ?函数f(x)的值域为[0,1] 3分

16g(x)的值域为A，

（II）设x?[0,3]时，函数y?

?对于任意x1?[0,3]，

总存在x2?[0,3],使f(x1)??[0,1]?A ?g?(x)?ax216g(x2)

?a2?a(x?a)

2 （1）当a?0时,x?(0,3)时，

g?(x)?0,函数g(x)在(0,3)上单调递减，

?g(3)?g(x)?g(0) ?g(0)?0

?不满足[0,1]?A 6分

（2）当a?0时，

g?(x)?a(x?a)(x?a),

令g?(x)?0,

?x1?a或x2??a（舍去）

a?3,即0?a?9时，列表如下：

①当0? x 0 0 (0,a) a (a,3) 3 g?(x) g(x) - 0 232+ ?aa 9a?3a 2

?g(0)?0,g(a)?0,若[0,1]?A，

则

16g(3)?16(9a?3a)?1

2?1?a?2 9分

②当a?3,即a?9时，x?(0,3)时，

g?(x)?0,函数g(x)在(0,3)上单调递减 ?g(3)?g(x)?g(0) ?g(0)?0,

?不满足[0,1]?A 11分

综上，实数a的取值范围是1?a?2. 12分

ca?3

21．解：（I）?2a?4,

?a?2,c?1,b?12

?椭圆方程为x24?y23?1 2分

（II）设点P(x0,y0)(x0?0,y0?0),

直线l的方程为y?y0?k(x?x0),

x2 代入

4?y23?1,

整理，得(3?4k2)x2?8k(y0?kx0)x?4(y0?kx0)2?12?0

?x?x0是方程的两个相等实根

?2x0??8k(y0?kx0)3?4k3x04y02

解，得k?? 6分

?直线l的方程为y?y0??3x04y02(x?x0)

2 令x?0，得点A的坐标为(0,4y0?3x04y02)

又?x042?y032?1 ?4y0?3x0?12

3y02 ?点A的坐标为(0,)

又直线l?的方程为y?y0?4y03x0(x?x0)

令x?0，得点B的坐标为(0,?y03) 8分

?以AB为直径的圆方程为x?x?(y?3y0)?(y?y03)?0

整理，得x?y?(22y03?3y0)y?1?0 10分

令y?0,得x??1,

。 12分 ?以AB为直径的圆恒过定点（1，0）和（-1，0）

22．A．解：（I）?PA2?PC?PD,PA?2,PC?1 ?PD?4，

又?PC?ED?1,?CE?2 3分

??PAC??CBA,?PCA??CAB, ??PAC∽?CBA

?PCACAC?AB ?AC2?PC?AB?2

?AC?2 7分

（II）?CE?ED?BE?EF,BE?AC?2

?EF?2?1?

22

?EF?BE 10分

B．解：（I）???2kcos??2ksin?

??2?2k?cos??2k?sin?

?圆C的直角坐标方程为x2?y2?2kx?2ky?0 即(x?222k)?(y?22k)2?k2

?圆心的直角坐标为(22k,?22k) 4分

（II）??sin??222??cos??2?4

?直线l的直角坐标方程为x?y?42?0 6分

|222k?2k?42| ?2?|k|?2

即|k?4|?2?|k|, 8分

两边平方，得|k|?2k?3

2分

??k?0?k?0?k?2k?2或 ????k?2k?3 解，得k??1, 10分

C．解：（I）原不等式等价于

?

??x?3?2或???132?x?2 ??(2x?1)?(2x?3)?6??(2x?1)?(2x?3)?6?1

或??x??2 3分 ???(2x?1)?(2x?3)?6 解，得

32?x?2或?12?x?32或?1?x??12

即不等式的解集为{x|?1?x?2} 6分

（II）?|2x?1|?|2x?3|?|(2x?1)?(2x?3)|?4

?a?4 10分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

8分

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