3.3有关变限积分和积分证明题

§3.3 有关变限积分和积分证明题

一、求变限积分的导数 【08】设函数f(x)

x2

ln(2 t)dt，则f (x)的零点个数为

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 选B 二、极限与无穷小

【04】把x 0时的无穷小

x

costdt，

t， t3dt排

2

x2

列起来，排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（）

(A) , , （B） , , （C） , , （D） , , 选B 三、变上（下）限积分 【例1】 设f x

x

1

lnt

dt(x 0)求f x 1 t

1 f x

1

xlntlnt 1

dt xdt 解 令 g x f x f ，则g x 111 t1 t x

1

lnx 1 lnx

于是 g x 2

1 x1 1 x x

x

lnx1

dx ln2x C 因此 g x x2

ln

∵ g 1 f 1 f 1 0，∴C=0 则 g x f x f 【例2】 设f x

1 12

lnx x 2

a0

a x

et 2a t dt （a为常数）求I f x dx

a

解 I xf x

a

xf x dx xe

a

2a a x a x

1 dx

＝

a

xe

a

2

x2

1a a2 x2

dx ed a2 x2

20

1 a2 x2 12

＝ e ea 1

220

a

【97】设f(x)连续， (x) 讨论 (x)在x 0处的连续性。

1

f(xt)dt，且lim

x 0

f(x)

A（A为常数），求 (t)并x

32 2x x, 1 x 0 x2

【02,2】设f(x) ，求函数F(x) f(t)dt的表达式。 x 1

xe,0 x 1

x2

(e 1)

四、证明定积分等式

1a2

【例1】 证明等式 xf x dx xf x dx　　 a 0常数

020

12

证：令x t，则xdx dt

2

a

3

2

2

当x 0时，t 0；当x a时，t

a；由于x 0，a 是是单调连续的，故

a

1a21a2

xf x dx tf t dt xf x dx

2020

3

2

【例2】 设f x 在 0，1 上连续，求证：证 令x t，则

xf sinx dx

f sinx dx 2

xf sinx dx t f sin t dt

0 t f sint dt 0 x f sinx dx f sinx dx

于是， 2则

xf sinx dx

xf sinx dx f sinx dx

xf sinx dx

2 0

f sinx dx

1

1

dtdt 【例3】 证明：当x 0时 11 t2 x1 t2

证 令t

1

，则 u

1

11

dudt 1 du 2 12 11 t2uu 1

1dt1

1x1 t2

1 2

u

【例4】 设f x ，g x 在 a，b 上连续，证明存在 a，b 使得 f

g(x)dx g a

b

f(x)dx

证 令 F x

x

a

f(tdt) gt(dt)

x

b

可知F x 在 a，b 上连续，在 a，b 内可导，且F a F b 0， 根据罗尔定理，存在 a，b ，使F ( ) 0 而 F x f x 则 f也即 f

b

b

x

g(t)dt g(x) f(t)dt

a

x

g(x)dx g a

b

f(x)dx 0 f(x)dx

g(x)dx g a

五、证明定积分不等式

【例】 设f x 在 a，b 上连续，且单调不减，证明

a bb

axf x dx 2 af(x)dx xa xx

) ft(dt )证 令 F x tf(tdta2 a

1xa x

f(x) 于是，F x xf x f(t)dt

a22

x a1x1x1x

f x f(t)dt f(x)dt f(t)dt ＝22a2a2a1x

f x f(t) ＝ dt 0 2a

b

因此，F x 在 a，b 上，单调不减，则F b F a 0

a bb

f(t)dt 0 即 tf(t)dt

a2 aba bb

f(x)dx 故 xf(x)dx aa2

b

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