2007年湖南省高中数学竞赛试题及答案

高中 数学 竞赛 试题 含 答案

2007年湖南省高中数学竞赛试题及答案

一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)

1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )

A． x 9x 12 2.有四个函数：

① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在(0,A．①

3.方程x2 x 1 x x

2

2

B．x 9x 12

2

C． x 9x 12 D． x 9x 12

22

sinx

cosx

2

)上为单调增函数的是 ( )

B．②

1

C．①和③ D．②和④

(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，则A中所

有元素的平方和等于 ( ) A．0

B．1

2

C．2

2

D．4

4.已知点P(x,y)满足(x 4cos ) (y 4sin ) 4( R)，则点P(x,y)所在区域的面积为 A．36π

B．32π

C．20π

D．16π ( )

5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A．9

B．12

C．15

D．18

6.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于 ( ) A．80

7.已知曲线C：y A．( 1,2)

B．40

C．24

D．-48

x2 2x与直线l:x y m 0有两个交点，则m的取值范围是 ( )

B．( 2,2 1)

C．[0,2 1)

D．(0,2 1)

8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则值为 ( ) A．

Smax

的Smin

2

B．

6 2

C．

2 3

D．

26

3

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9.设x 0.820.5,y sin1,z log3A．x<y<z

B．y<z<x

7，则x、y、z的大小关系为 ( )

C．z<x<y

D． z<y<x

10.如果一元二次方程x2 2(a 3)x b2 9 0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A．

1 18

B．

1 9

C．

1 6

D．

13 18

二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）

x2y2

1上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则11.设P是椭圆

169

|PF1| |PF2| |OP|2 ___________.

12.已知△ABC中， , ，试用、的向量运算式子表示△ABC的面积，即S△ABC= ____________________.

13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为n=__________.

14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.

三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）

15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x)) x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A {x|f(x) x}

34

，则35

B {x|f[f(x)] x}.

(1). 求证：A B

2

(2).若f(x) ax 1(a R,x R)，且A B ，求实数a的取值范围.

16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？

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17.设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, ) 求证：对于任何正整数n，都有 an 1 1

1

an

18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为(1).建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.

(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求|BM| |BN|的最小值的集合.

7. 25

19.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、β、 .

求证：

2

3arcsin

3

参考答案

一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题： 三、解答题：

15.证明(1).若A=φ，则A B 显然成立；

若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 A B.

解 (2)：A中元素是方程f(x)=x 即ax 1 x的实根.

2

由 A≠φ，知 a=0 或

a 0 1

即 a

4 1 4a 0

3

4

2

2

22

B中元素是方程 a(ax 1) 1 x 即 ax 2ax x a 1 0的实根

由A B，知上方程左边含有一个因式ax x 1，即方程可化为

2

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(ax2 x 1)(a2x2 ax a 1) 0

因此，要A=B，即要方程 ax ax a 1 0 ① 要么没有实根，要么实根是方程 ax x 1 0 ② 的根. 若①没有实根，则 2 a2 4a2(1 a) 0，由此解得 a

2

2

22

2

3 4

若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 ax ax a，代入①有 2ax+1=0.

1113

1 0,由此解得 a . ,再代入②得

2a4a2a4

13

故 a的取值范围是 [ ,]

44

8976

16.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：,,,，且

1012117

6897 ① 7101211

由此解得 x

只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多. 由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.

则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条) 依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 y 9 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(9

6x. 7

6x2)=123+x 77

max

因为 0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μ=125.

因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.

17.证明：令 a0 1,则有 ak 1 ak ak 1，且 1

n

aka

于是 n k 1

k 1ak 1k 1ak 1

n

aka

k 1(k 1,2, ) ak 1ak 1

由算术-几何平均值不等式，可得

1 aa1a2aaa

n+0 1 n 1 a2a3an 1a2a3an 1

注意到 a0 a1 1，可知

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1

1

n 1

1

nan 1

，即 n 1 1

1

an

18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.

|CA|2 |CB|2 62(|CA| |CB|)2 2|CA||CB| 362a2 18

因为 cosC 1

2|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|

又 |CA| |CB| (

2a2181872

) a2，所以 cosC 1 2，由题意得 1 2 ,a 25. 225aa

此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，±4).

x2y2

1(y 0) 所以C点的轨迹方程为

2516

(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为90时，设其方程为

1k22329k2

)x kx ( 1) 0 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 (

2516816

150k2225k2 400

,x1x2 显然有 △≥0， 所以 x1 x2 22

16 25k16 25k

而由椭圆第二定义可得

339

|BM| |BN| (5 x1)(5 x2) 25 3(x1 x2) x1x2

5525

144

450k81k 144531k 144531 25 25 25

162516 25k216 25k216 25k2

k2

25

2

2

2

k2

14416144

53125531取最小值，显然. 只要考虑 的最小值，即考虑1 1616k2 k2

2525

k2

当k=0时，|| ||取最小值16.

当直线MN的倾斜角为90时，x1=x2=-3,得 |BM| || (

342

) 16 5

x2y2

1(y 0)，故k 0，这样的M、N不存在，即|| ||的最小值的集合为空但

2516

集.

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19.证明：由 题意可得 sin2 sin2 sin2 1，且α、β、 (0, 所以 sin 1 sin sin

2

2

2

2

)

1

(cos2 cos2 ) cos( )cos( ) 2

2

2

2

因为 cos( ) cos( )，所以 sin cos( ) sin[当 当

2

( )]

2

时， 时，

2

.

2

2

( )，同样有

2

故

2

另一方面，不妨设 ，则 sin

3

,sin

33

令 sin 1 则 sin

2

3,sin 1 1 ()2 sin2 ， 33

1 sin2 sin2 1 1

sin2 cos( )cos( ) cos( 1 1)cos( 1 1)

因为 1 1 ，所以 cos( 1 1) cos( ) 所以 cos( ) cos( 1 1) 所以 1 1

如果运用调整法，只要α、β、 不全相等，总可通过调整，使 1 1 1增大. 所以，当α=β= =arcsin

3

时，α+β+ 取最大值 3arcsin. 33

3

3

综上可知，

2

3arcsin

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c1tq.html