六年级奥数教材 3

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导 读

国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad),简称IMO,是世界上规模和影响最大的中学生学科竞赛活动.如果说体育奥林匹克是人类体能的大赛,那么,数学奥林匹克则是世界青年在智力方面的大赛.已经举行过的30届数学奥林匹克表明,它不仅推动了各国数学教育的交流,促进了数学教育水平的提高,增进了各国青年学生的相互了解,同时还激发了广大中学生对学习数学的兴趣,具有不分地域不分国界的恒久魅力。

在小学基础教育阶段，适当学习一些奥数，具有举足轻重的作用。对于学有余力的好学生而言，它可以进一步挖掘潜能，促使他们奋力攀登知识高峰，尽早尽多掌握解题技能技巧；对于开窍较晚的后进学生而言，它可以激发数学兴趣，点燃智慧灵光，以致后来居上，一跃成为令人刮目相看的好学生。

本教材的每一专题都设置有专题解析、经典例题、随堂练习、名校题库、课后作业五个环节。逐级提高学生对所学专题知识的掌握和灵活运用。其中“专题解析”，以精炼的语言把该讲所涉及的主要知识点和解题方法作一个概括总结。“经典例题”，视其内容的多少设置了3-5道例题，每个例题有分析、解两个环节。分析-侧重对具体题目的引导；解-就是把题目中的难题过程写出来（视其对题目的分析情况，解有详有略）。“名校题库”，收集全国各地名校试卷，让学生全真模拟。“随堂练习”这一环节，主要是配备一定数量的习题，供学生训练使用。 “课后作业”,每一专题训练题目的总数要求控制在20道以内，分为基础训练和逆向拓展，基础训练以一般奥赛题型为主，主要是帮助学生熟悉专题内容；逆向拓展以较难奥数为主，主要是帮助学生综合提高所学专题知识。

亲爱的学大学员，“追求卓越，不断创新”是我们努力的方向，希望本教材能帮你走向成功。

学大教育 2013年9月

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目 录

◆ ◆ ◆ ◆ 专题一 巧算与速算???????????????????3 专题二 最大公约数和最小公倍数问题???????????7 专题三 余数问题????????????????????11 专题四 整除问题????????????????????14 ◆ 专题五 ◆ 专题六 ◆ 专题七 ◆ 专题八 ◆ 专题九 ◆ 专题十 ◆ 专题十一 ◆ 专题十二 ◆ 专题十三 ◆ 专题十四 ◆ 专题十五 ◆ 专题十六 ◆ 专题十七 ◆ 专题十八 ◆ 专题十九 ◆

专题二十

列方程解应用题?????????????????17 比例问题（一）??????????????????21 比例问题（二)??????????????????26 表面积和体积问题????????????????29 不定方程????????????????????32 组合图形的面积（一）???????????????35 组合图形的面积（二）???????????????41 行程问题（一）??????????????????45 行程问题（二）??????????????????49 行程问题（三）??????????????????52 牛吃草问题????????????????????55 周期问题?????????????????????59 加法和乘法原理??????????????????61 工程问题?????????????????????64 利润问题?????????????????????67 浓度问题?????????????????????70

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专题一 速算与巧算

一．专题解析

计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。准确、快速的计算

能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”。要达到“凑整”的目的，就要对一些数分解、变形，再运用交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简单化。

本章主要学习小数和分数的巧算和速算. 小数的巧算与速算方法： 1、凑整法简算 2、拆拼法简算 3、转化法简算 4、设数法简算 5数形结合法简算 分数的巧算与速算方法： 1.“裂差”型运算 2、换元运算 3.、单位分数的拆分

二．例题精讲

(一）.小数的巧算与速算方法 1.凑整法简算

例题1 ： 1.31×12.5×8×2

练习1： 1.25×88

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2.拆拼法简算 例题1 ：1.25×1.08

练习1：7.5×9.9 练习2：1991+199.1+19.91+1.991

3.转化法简算

例题1：7.5×101－7.5

练习1：4.6×99＋4.6

4.设数法简算

例1：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)

5.数形结合法简算

例题1：1.999×2003－1.998×2004

练习1：19.94×2010－19.93×2011

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(二）.分数的巧算与速算方法 1.“裂差”型运算

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即即a?b，那么有

例1. 1.错误！未找到引用源。=________

练习1.错误！未找到引用源。=_________

2、换元运算

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

1111111111111111例1： （???）?(???)?（????)?(??)

5791179111357911137911

1111?(?) a?bb?aab1形式的，这里我们把较小的数写在前面，a?b

练习1：错误！未找到引用源。

3、单位分数的拆分

分析：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：

1111(m?n)mn=? ???NN(m?n)N(m?n)N(m?n)AB

例：

11111111111????===== ?102020????????????????本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有：

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11(1?2)1211????? 1010(1?2)10(1?2)10(1?2)3015

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本题具体的解：

111111111 ????????101111012601435153011111111111 ??????????45????????????????????练习1：

三．名校题库：

1. 错误！未找到引用源。

13263?39??25??4413 2. 4

11111???????????128 3 . 24816

四．课后练习

1.（1－）?（2－）?（3－）?（4－）?（5－）?（6－）?（7－）?（8－）?（9－

2、计算：（?

3、计算：334

12233445566778899 ）101211111111111。 ?）??（??）??（??）?35303571055793155556÷37×。 5681

专题二.最大公因数和最小公倍数

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一 专题解析

（一）.定义：几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。我们可以把自然数a,b的最大公约数记为（a、b),如果（a、b)=1,则a和b互质。

（二）.定义：几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。公倍数中最小的一个公倍数，称为这几个自然数的最小公倍数。我们可以把自然数a,b的最小公倍数记为[a、b]，当（a、b)=1时,[a、b]=a×b

例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。 例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，? 18的倍数有18，36，72，90，?

12和18的公倍数有：36，72?其中36是12和18的最小公倍数。 互质数：如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。

分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的分解质因数。 （三）.求最大公约数的方法 （1）分解质因数法 （2）短除法

（四）．最大公约数与最小公倍数的关系 最大公约数×最小公倍数=两数的乘积 （a、b)×[a、b]=a×b

二.例题精讲

例题1. 直接说出每组数的最大公约数和最小公倍数。 26和13（ ） 5和9（ ）

13和6（ ） 29和87（ ）

4和6（ ） 30和15（ ）

13、26和52 （ ） 练习

2、3和7（ ）

1.属于因数和倍数关系的等式是（ ）

A、2×0.25＝0.5 B、2×25＝50 C、2×0＝0

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2.下列各数中，不是12的倍数的数是（ ） A、12 B、24 C、38 D、48 3.下面各数中，不是60的因数的数是（ ） A、15 B、12 C、60 D、24 例题2.、按要求做

从0、3、5、7、这4个数中，选出三个组成三位数。 （1）组成的数是2的倍数有： 。 （2）组成的数是5的倍数有： 。 （3）组成的数是3的倍数有： 练习

1、在14＝2×7中，2和7都是14的（ ）。 A.质数 B,因数 C.质因数 2.两个质数的和是（ ）。

A 偶数 B 奇数 C奇数或偶数 3、同时是2、3、5的倍数的数是（ ）。 A 18 B 120 C 75 D 810

例3、437与323的最大公约数是多少？

练习1: 用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？

例4、24871和3468的最小公倍数是多少？

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练习1： 一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？

三．名校题库

1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168 ，最大公约数是4，求乙数。

2.已知甲、乙两数的最大公约数是6，最小公倍数是36，求甲、乙两数。

3.用长5厘米、宽3厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙），至少要用多少块这种长方形铁片？

四．课后作业

1.两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？

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2.两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。

3.两个整数的最小公倍数是140，最大公约数是4，这两个数的和为48，这两个数分别是多少？

4.38支钢笔，41只计算器，平均奖给四、五年级评比的优秀学生，结果钢笔多出2支，计算器差1只。问：评出的优秀学生最多有几人？

5.用长5厘米、宽3厘米的长方形铁片，摆成一个正方形（中间没有空隙），至少要用多少块这种长方形铁片？

专题三 余数问题

一 .专题解析

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

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余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理,加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理的应用。 带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q??r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当r?0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当r?0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

（一）同余定理

如果a,b 除以c的余数相同，就称a, b对于除数c来说是同余的，并且a与b的差能被c整除。（a,b,c均为自然数）

（二）余数加法原理

如果a＋b除以c的余数，将等于a除以c的余数＋b除以C的余数（如果两者余数之和大于c，则等于余数之和除以c的余数）。

（三）余数乘法原理

如果a与b的乘积除以 c的余数，将等于a,b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）

二.例题精讲

例题 1: a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？:

练习1：小东在计算除法时，把除法87写成78，结果得到的商是54，余数是8，求正确的商和余数。

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例题2:试求一个四位数，它被131除的余数是112，被132除的余数是98.

19851949

练习2 ：若a为自然数，证明10│（a－a）．

例题3：现有一堆糖果，它们不能被12个儿童平分，也不能被16个儿童或28个儿童平分。如果这堆糖块增加5块，则这堆糖块就能被以上三群儿童平分。求这堆糖至少有多少块？

练习3：求被3除余2，被5除余3，被7除余5的最小三位数

三．名校题库

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1. 求143除以7的余数

2. 用1、2、3、4（每个数恰好用一次）可组成4个四位数，其中共有多少个能被11整除？

3. 求123456789除以9的余数是________;

四．课后作业

1．被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

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2.写出所有的除109后余数为4的两位数。

3． 有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数。

专题四 整除问题

一．专题解析

（1）1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1能被a整除. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

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（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！

（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23

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整除。

二．例题精讲

例题1. 若A是由数字0和7组成的自然数，且又是15的倍数，当A最小时，求A／15的值．

练习1：如果n是个正整数，95除以n余数为5，135除以n余数为3，n是多少。 （6）

例题2. 1到100这100个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？

练习1：两个整数，他们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70和 30，那么在1，2，3??,16这十六个数中 ，有好数多少对？

例题3. 一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四位数字是1997，那么这个六位数是多少？

练习1：六位数 3ABABA是6的倍数，这样的六位数是多少？

三．名校题库

1.一个四位数能被9整除，去掉末位数字后所得的三位数恰好是4的倍数，求这样的四位数中最大的一个的末位数字。

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例1、甲乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行55千米，相遇时，甲车比乙车多行了45千米，求两地相距多少千米？

练习1：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？

例题2： 甲乙二人在400米 的环形操场练习跑步，甲每分跑270米，乙每分跑230米， 乙在甲后面40米处两人同时起跑，多长时间后甲追上乙？

练习1：某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回

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排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？

三．名校题库

1.AB两地之间有一段路程，从A到B是下坡，下坡时的速度为每小时100千米，返回时的速度为每小时60千米，那么往返的平均速度是每小时（ ）千米。 A.65 B.70 C.75 D.80

2.一辆客车从甲地开往乙地，每小时行驶75千米，预计3小时到达，行驶了1小时后，机器发生故障，要想准时到达而不误事，以后每小时应加快行驶多少千米？

3.一辆汽车从甲地开到乙地，又返回甲地，一共用了15小时，去时所用时间是返回时间的1.5倍，去时比回来时每小时慢12千米，甲乙两地相距 米。

四．课后作业

1. 甲乙两车分别从AB两 地相向而行，到达对方出发地后立即返回，第一次在距离A地75千 米处相遇，第二次在距离B地35千米处相 遇，求AB两地的距离。

2.摩托车驾驶员以每小时40千米的速度行驶120千米；回来的时候，速度提高一半。那么往返的平均速度是多少千米每小时？

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3. 甲乙两车同时分别从AB两地出发，相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，结果两车在距中点80千米处相遇，AB两地相距多少千米？

4 . 甲乙两车同时分别从AB两地出发，相向而行，甲车每小时行60千米，乙车每小时行40千米，结果甲比乙早3小时到达两地中点，AB两地相距多少千米？

5.甲乙两车分别从相距480千 米的AB两地相向而行，5小时后相遇，已知 甲车速度为每小时55千米，求乙车每小时比甲车少行多少千米？

专题十三 行程问题（二）

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一．专题解析

对流水行船问题的理解和引入

船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还会受到水流速度的影响，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题。 1.“逆水行舟，不进则退”； 2.古诗“千里江陵一日还” 基本公式

1.速度×时间=路程

2.路程=顺水速度×顺水时间 3.路程=逆水速度×逆水时间 4.顺水速度=船速＋水速， 5.逆水速度=船速－水速。 6.船速=（顺水速度＋逆水速度）÷2 7.水速=（顺水速度－逆水速度）÷2 四种情况

1.静水航行 2.顺水航行 3.逆水航行 4.多水航行

二．例题精讲

例题1.一艘船顺水行320千米需要8小时，水流速度是每小时15千米，这艘船逆水每小

时行多少千米？这艘船逆水行这段路程需要多少小时？

练习1.甲、乙两船的静水速度分别为每小时26千米和每小时20千米，两船从A港顺水先后开出，乙船比甲船先行3小时。若水速为每小时5千米，则多少小时后甲船可以追上乙船？

例题2.甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米，两船从某河相距336

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千米的两港同时出发相向而行，问几小时相遇? 如果同向而行，甲船在前，乙船在后，问几小时后乙船追上甲船？

练习1.两港之间相距420千米，有甲、乙两艘客船分别从两港相向开出，甲船速度为40千米/小时，乙船速度为30千米/小时，甲船顺水行驶，乙船逆水行驶，水速是6千米/小时，两船多长时间后相遇？

三．名校题库

1.小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎将头上的帽子掉进江中。当他们发现时，帽子与船已经相距2千米。假定小船的速度是每小时4千米，水速是每小时2千米，那么追上帽子要多少分钟？

2.某人坐船去上游，不小心将水壶掉到水中，一个小时后发现了，马上回过头来以相同的静水速度追赶，问需要多少小时？

四．课后练习

1.一条河上有A,B,C三个码头，C码头距A,B两码头距离相等，水流速度是2千米/小时，

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”连接，后项不能为0。两个数相除又叫做两个数的比。 2．比的性质

比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 3．化简比

①整数比化简，比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。

②小数比化简，一般是把前项、后项的小数点向右移动相同的位数（位数不够补零），使它

成为整数比，再用第一种方法化简。

③分数比化简，一般先把比的前项、后项同时乘以分母的最小公倍数，使它成为整数比，再

用第一种说法化简。

④也可以用求比值的方法化简，求出比值后再写成比的形式。 4.比例的认识

1．成比例的定义：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比

例。

2.成正比例：如果k是y与x的商，即在x变化时，y与x的商不变：比例

3．成反比例：如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：xy＝k，那么y与x成反

比例．

4．不成比例：如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例． 5、比和比例性质的公式公式表达

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 比例基本性质：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 6.比例尺

1．比例尺的定义：地图上某一线段的长度与地面上相应线段水平距离之比。 2．比例尺通常有三种表示方法。

（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。

y?k，那么y与x成正x 21

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例如：地图上1厘米代表实地距离500千米，

可写成：1∶50 000 000或写成：五千万分之一。

（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上1厘米所代表的实际距离。

（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米，如 图上1厘米相当于地面距离10千米。

二．例题精讲

例题1.把一堆化肥装入麻袋，麻袋的数量和每袋化肥的重量．（ ）

A．成正比例 B．成反比例 C．不成比

2.和一定，加数和另一个加数．（ ）

A．成正比例 B．成反比例 C．不成比

3.在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）．

A．汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数． B．汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数． C．汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数． 练习1.A、B、C三种量的关系是：A× B=C （1）如果（2）如果（3）如果

一定，那么 一定，那么 一定，那么

和 和 和

成（ ）比例； 成（ ）比例； 成（ ）比例

1X4x1.2例2.解比例： 1 ：X＝0.4：8 ＝ =

43.50.52575

练习1.三个分数的和是2

练习2.如果X＝

1,它们的分母相同,分子比是1:2:3.这三个分数分别是 . 103Y，那么Y：X＝（ ）。 422

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A 、1：

例3：

33 B、：1 C、3：4 D、4：3 441.一幅行政区域图上用5厘米表示实际距离100千米，这幅地图的比例尺是（ ）。 2.一个零件实际长度是3毫米，画在图上的长度是3厘米，这幅图的比例尺是（ ）。 练习

1.在比例尺1:2000000的地图上，测得A、B两地是4.5厘米，实际距离是（ ）千米。 2.如皋、海安两城之间的实际距离是192千米，在比例尺为1:600000的图纸上，应画（ ）厘米。

3.海安实小新建学生公寓楼，地基是长方形，长40米，宽15米，把它画在设计图上，长画

80厘米，宽应画多少厘米？

例4.

学校 北

西

小青家 0 200 400 600米

小红家

a.图中比例尺是（ ）。 b.小青家在学校的（ ）边。 c.小红家到学校有（ ）米。

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d.小青家到学校比小红家到学校远（ ）米

练习1.在三角形ABC中，线段BD与DC的比是2:3，阴影部分的面积是4.5平方厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？ A

三．名校题库

1. 甲与乙的工作效率比是6：5，两人合做一批零件共计880个，乙比甲少做（ ）。

A、 480个 B、400个 C、80个 D、40个

2. 把4.5、7.5、

13 、 这四个数组成比例，其内项的积是（ ）。 210A、1.35 B、3.75 C、33.75 D、2.25

3.纸箱里有红绿黄三色球，红色球的个数是绿色球的

3，绿色球的个数与黄色球个数的比4是4：5，已知绿色球与黄色球共81个，问三色球各有多少个？

四．课后作业

1.小明从家里去学校，所需时间与所行速度（ ）。

A、 成正比例 B、成反比例 C、不成比例

2.一件工作，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成。甲乙效率的最简比是（ ）。

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A、 6：9 B、 3：2 C、 2：3 D、 9：6

3. 一个三角形三个内角度数的比是6：2：1，这个三角形是（ ）。

A、 直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形 D、无法确定

4． 96和X的比等于16和5的比。

45 和X的比等于25和8的比。

两个外项是24和18，两个内项是X和36。

5.甲、乙、丙三个数的平均数是84，甲、乙、丙三个数的比是3：4：5，甲、乙、丙三个数各是多少？

6.一种药水是用药物和水按3：400配制成的。

（1） 要配制这种药水1612千克，需要药粉多少千克？

（2） 用水60千克，需要药粉多少千克？

（3） 用48千克药粉，可配制成多少千克的药水？

专题七 比和比例（二）

一．专题解析

按比例分配

例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配

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到的物体数量与x的比分别为a:?a?b?和b:?a?b?，所以甲分配到配到

bx个. a?bax个，乙分a?b⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：两个类别A、B，元素的数量比为a:b(这里a?b)，数量差为x，那么A的元素数

量为

axbxB的元素数量为，，所以解题的关键是求出?a?b?与a或b的比值．

a?ba?b比例问题应用题思路总结：

1. 题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2. 若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3. 应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4. 题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。 5. 赋值解比例问题

二．例题精讲

例1. 雏鹰小分队为“希望小学”搞了一次募捐活动。她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5∶6，乙商品与丙商品的数量之比为4∶11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元，求这次募捐所得的钱数？

练习1.某车间要加工2220个零件，单独做，甲、乙、丙三人所需工作时间的比是4∶5∶6。现在由三人共同加工，问完成任务时，三人各加工了多少个？

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练习2、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是50:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？

练习3.两个相同的瓶子装满酒精溶液,一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1,而另一个瓶中酒精和水的体积之比是4:1,若把两瓶酒精溶液混合,混合液中酒精和水的体积之比是多少?

三．名校题库

1、甲、乙、丙三人从昆明同坐一辆出租车回家。当行到全程的1/3 时，甲下了车；当行到全程的1/2 时，乙下了车；丙到终点才下车。他们三人共付车费290元。甲、乙、丙三人按路程的远近各付款多少元？

2.一个长方形的长与宽之比是14:5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，那么面积九增加182平方厘米，问原来长方形的面积是多少平方厘米？

四．课后作业

1.六⑵班上学期男女生人数比为5:7，这学期转入2名男生，转出2名女生后，男女生人数

比为11:13。这学期六⑵班有女生多少人？

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2.下图中三角形ABC的面积和正方形面积的比是4:9，正方形的边长是6厘米，三角形中AB边的长是多少厘米？ A

B C

3.甲乙两人一次测验成绩是5:4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则成绩之比是5:7。甲、乙两人的原分数各是多少？

4.小王，小李，小张三人做数学练习题，小王做的题数的一半等于小李的1/3,等于小张的1/8,而且小张比小王多做了72道,小王,小张,小李各做多少道?

专题八 表面积和体积问题

一 .专题解析

重点整理归纳形成系统图表。

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面 相同点 棱 顶点 面的形状 不同点 面的面积 棱长 联系

6个面都是长方形，有相对的两个面面相对的棱长正方体长度相等 是一种 方6 个面 12条棱 8个顶点 时有两个相对的面是积相等 正方形 特殊的 体长方体

6个面都是完全相同6个面的面积都12条棱的长 正 相等 度都相等 方6 个面 12条棱 8个顶点 的正方形 体 定义 表面积 计算公式 常用单位 定义 体积（容积） 计算公式 常用单位 立方厘米（升毫） 立方分米（升） 立方米 长长方体或正S=(ab+ah+bh) ×平方厘米 方方体6个面2 体 的面积之 平方分米 正和，叫做它S=6a2 平方米 方们的表面积 体 物体所占空间的大小叫 V=abh 做物体的体积。 V=sh 容器所能容纳物体的体 积，通常叫做它们的容 V =a3 积 V=sh

上面是整理的图表，他主要是从长、正方体的相同点、不同点以及联系来整理的，又从长、正方体的表面积和体积来整理。

二．例题精讲

例题1、正方体的棱长和是72厘米，它的体积和表面积各是多少？

3

体积：6×6×6＝216 (cm)

2

表面积： 6×6×6＝216(cm)

重点让学生体会体积和表面积的不同。

练习1：有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆

碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？

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例题2、把上面的正方体的高延长到10厘米，它的体积和表面积各是多少？ 重点让学生体会表面积计算方法的多样性，以及和展开图的关系。

6

6 6

10

6 6

3

体积：6×6×10＝360 (cm)

2

表面积：（ 6×6+6×10+6×10）×2＝312 (cm)

2

6×6×2+6×10×4=312 (cm)

2

6×6×2+6×4×10=312 (cm)

6

10

练习1：有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．

三．名校题库

1.如图，用6块棱长分别为1、2、3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，表面积最小可以是多少平方厘米？

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2．一个长方体的三个侧面积分别为3，6，8，则长方形的体积为多少？

3．如图，一张长方形铁皮，四角剪去边长2厘米的正方形，做成一只容积为192立方厘米的铁盒子。原来这张铁皮的长是多少厘米？做这只铁盒子至少需要铁皮多少平方厘米？

2 6 2 四．课后练习

1．一个长主体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是 立方厘米。

2．把一块长30厘米的长方形铁皮，在四个角上剪去边长为5厘米的正方形，再焊接成一个无盖的长方体铁盒，这个铁盒的容积是1500立方厘米。求原来长方形铁皮的面积。

5

5

20

30

5

专题九 不定方程

一．专题解析

不定方程专题引入：形如x+y=4，x+y+z=3，

11??1xy的方程叫做不定方程，其中前

两个方程又叫做一次不定方程．这些方程的解是不确定的，我们通常研究

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（1）不定方程是否有解？ （2）不定方程有多少个解？

（3）求不定方程的整数解或正整数解． 解法总结

现商店有7毛，4毛铅笔，现花6元钱各买若干只，问两种铅笔各买几只？ 根据题意，我们很容易得出7x+4y=60，这样我们来讨论解法： 原则一：系数大的开始讨论

很容易发现：如果讨论x，我们只要讨论从1～8总共8种可能取值； 如果讨论y，我们要讨论从1～14总共14种可能取值，所以我们选择未知数前面系数大的开始讨论。

原则二：奇偶性讨论

很容易发现：60是个偶数，4y也是个偶数，这样我们就要求7x也必须是个偶数，所以x只能取偶数，这样我们只要讨论x取2、4、6、8四种取值。 原则三：倍数原理

我们容易发现，方程中有三个常数60、4、7，这样我们发现60是4的倍数，4y是4的倍数，这样7x=60-4y=4（15-y）肯定也是4的倍数，所以x也只能是4的倍数，所以x只能取4、8。

原则四：尾数原理 （运用条件：出现5的倍数）

下面我们再来看： 9x+5y=73 5y的尾数只有0、5， 如果5y尾数为0，那么9x的尾数只能是3，所以x=7， 如果5y尾数为5，那么9x的尾数只能是8，所以x=2。

二．例题精讲

例题1.

装水瓶的盒子有大小两种,大的能装7个,小的能装4个,要把41个水瓶装入盒内.问需大、小盒子个多少个？

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解：设大的x个，小的y个，有：7x+4y=41 根据奇偶关系知道：x只能取奇数 x=1,y=8.5 舍去 x=3,y=5 满足 x=5,y=1.5 舍去 ，所以x=3,y=5 满足 答：需要大、小盒子各为3个和5 练习

1.求4x+5y=37的自然数解

2.求3x-7y=40的最小自然数解

3.公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡1元钱可买3只，用100元钱买100只，问公鸡，母鸡，小鸡各买多少只？

4.某工厂有三个车间共有75人报名参加冬季长跑,其中第一车间人数最多,第三车间人数最少,如果第一车间报名人数是第三车间报名人数的2．5倍，那么第二车间报名人数是第三车间报名人数的多少倍？

三．名校题库

1.100匹马驮100筐物品，一匹大马驮3筐，一匹中马驮2筐，两匹小马驮1筐.问大、中、小马各多少？

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2、在下式的圆圈和方框中, 分别填入适当的自然数, 使等式成立. 方框中应填_____.

四．课后练习

1. 商店的白糖有4千克,3千克,1千克三种包装.一位顾客要买15千克白糖,问:付给这位顾客的白糖可以有多少种不同方法?

2.老师将全班40人分成三种小组,数学组每组3人,生物组每组2人,体育组每组8人,问数学、生物、体育各有多少组？

3.55人去游园划船，小船每只坐4人，大船每只坐7人，问要租大、小船各多少只？

专题十 组合图形的面积（一）

一．专题解析

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一．正方形和长方形的周长和面积 a a b

1.正方形

周长计算公式：C=4a

2

面积计算公式: S =a×a=a（即a的2次方或a的平方）

2.长方形

周长计算公式：C=2(a+b)或者 C=2a+2b。（C表示周长，a表示长，b表示宽）面积计算公式：S=ab （S=面积，a=长，b=宽）

二．三角形,平行四边形及梯形 1.三角形

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一．圆的周长和面积

圆的周长=2πR 圆的面积=πR2 二．扇形周长和面积

l=n÷360×2πr=nπr÷180, l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，r是底圆半径 C=2r+（n÷360）πd=2r+（n÷180）π r

扇形面积公式

也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n

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S=nπR^2/360 S=1/2LR

二．例题精讲

例题1：求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

6 6 19－1

练习1

求下面各个图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 6 19－2

19－3

10

19－4

例题2：求图19－5中阴影部分的面积（单位：厘米）。

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4

19－5

练习1

计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。

19－8 19－7

19－9

三．名校题库

1.如图10，正方形的边长为a，分别以两个对角顶点为圆心、以a为半径画弧，求图中阴影部分的面积。

2.如图11，正方形的边长为1，以CD为直径在正方形内画半圆，再以点C为圆心、1为半径画弧BD，则图中阴影部分的面积为___________。

3.如图，梯形的面积是18平方厘米，下底长5厘米，曲线均为圆弧，求阴影部分的面积。

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四．课后作业

1.求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 10 10

20－15 －16

2..图中空白部分占正方形面积的______分之______.

专题十二 行程问题（一）一．专题解析

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4 3 5 20－17

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行程问题是研究物体运动的，我们把研究路程、时间和速度这三者关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题和追及问题。

解答行程问题时，要理清路程、时间、速度之间的关系，紧扣基本数量关系：路程＝时间×速度来思考。对具体问题要作仔细分析，弄清出发地点、时间和运动的结果。 基本公式： 路程＝速度×时间； 路程÷时间＝速度； 路程÷速度＝时间 一、相遇问题：

1、相向运动问题，也就是相遇问题，相遇问题的特征是：

⑴ 两个运动物体一般同时不同地（或不同时不同地）出发作相向运动． ⑵ 在一定时间内，两个运动物体相遇。

（直线）：甲的路程+乙的路程=总路程 （环形）：甲的路程 +乙的路程=环形周长

分析推导：从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在A，B途中相遇。 A、 B两地的路程=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 =（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 =速度和×相遇时间 二、追及问题：

1、追及问题：与速度差、路程差有关 ⑴ 速度差与路程差的本质含义 ⑵ 是否同时出发，是否同地出发。 ⑶ 方向是否有改变

⑷ 环形时：第一次相遇快者比慢者多走整一圈 2、追及时间＝路程差÷速度差

（直线）：距离差=追者路程－被追者路程=速度差X追击时间 （环形）：快的路程－慢的路程=曲线的周长

二．例题精讲

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/c1r2.html