新人教版高中数学选修2-2《生活中的优化问题举例》名师教案

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第一章导数及其应用

1.4生活中的优化问题举例（税长江）

一、教学目标 1．核心素养

通过生活中的优化问题举例的学习，提高数学地提出、分析和解决问题的能力，培养数学 模的意识． 2．学习目标

能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、用料最省等优化问题，并体会导数在解决实际问题的应用。

（1）1.4.1.1感受教材中的优化案例

（2）1.4.1.2提炼运用数学建模，解决生活中的优化问题的方法过程 （3）1.4.1.3实际运用，提升能力 3．学习重点：

利用导数解决实际生活中简单的最优化问题。 4．学习难点：

将实际问题转化为数学问题，建立函数模型． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1

阅读教材P34－P36，思考：建立函数模型的基本步骤是什么？ 任务2

收集资料，运用数学模型解决实际问题有哪些典型的案例？ 2．预习自测

t2

（1）某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为f(t)＝100，则在时刻t＝10 min时的降雨强度为（ ） 1

A．5mm/min 1

B．4mm/min

1

C．2mm/min D．1mm/min 答案：A 解析：略

1

2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－3x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ） A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 答案：C 解析：略

3．某箱子的容积与底面边长x的关系为v(x)?x2(箱子底面边长为（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 答案：C 解析：略 （二）课堂设计 1．知识回顾

（1）若在(a，b)上，f′(x)≥0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a，b)上为单调递增函数；若在(a，b)上，f′(x)≤0，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于零?f(x)在(a，b)上为单调递减函数．

（2）求函数y?f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤： ①求函数y?f(x)在区间(a,b)内的极值；

②将函数y?f(x)各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

60?x)，0?x?60，则当箱子的容积最大时，x2．问题探究

问题探究一：生活中的优化案例 活动一：联系生活，引出问题

大家知道，市面上等量的小瓶装饮料比大瓶装饮料要贵一些，那么是否饮料瓶越大，饮料公司的利润越大呢？请大家阅读教材P34—P35并回答上述问题.

1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 2．不少优化问题可以转化为求函数的最值问题，我们知道，导数是求函数最值的有力工具，从而导数是解决这类问题的基本方法之一. 活动二：整理信息，规划思路 利用导数解决优化问题的一般步骤是：

（1）分析实际问题中各量之间的关系，建立适当的函数关系式y?f(x)； （2）确定函数y?f(x)在实际问题中的定义域； （3）利用导数求出函数y?f(x)在实际问题中的最值.

（4）把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论． 问题探究二：提炼生活优化问题的一般方案 重点、难点知识★▲ 活动一：思考通性通法

建立数学模型 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 作答 优化问题的答案 用导数解决数学问题 活动二学以致用，付诸实践

例1：有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成 个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析过程】设截下的小正方形边长为x，容器容积为V(x)，则做成的长方体形无盖容器底面边aa322

长为a－2x，高为x，V(x)＝(a－2x)x,0

11

故V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，得12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝6a，x2＝2a(舍去)．

2

a

当00；当x1

a?1?

因此x1是极大值点，且在区间?0，2?内，x1是唯一的极值点，所以x＝6a是V(x)的最大值点．即

??1

当截下的小正方形边长为6a时，容积最大．

【思路点拨】1.解决生活中的优化问题应注意以下几点：

①当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，列出变量间的关系式，从而得出需要的函数关系式；

②在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域，且所求题目结论一定要从实际意义去考察，不符合实际意义的应舍去；

③在实际问题中，由f?(x)?0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值（极小值），那么不与端点处的函数值比较，也可判断该极值就是最大值（最小值）.

2.解决几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的自变量建立面积或体积的函数关系式，然后再利用导数求最值. 问题探究三：实践运用 重点、难点知识★▲ 活动一：利润问题

例2．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则3x损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝(x

4x＋32∈N＋)．

（1）写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； （2）为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 【知识点】数学建模，导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析过程】（1）由于次品率p＝

3x?3x3x?

，当每天生产x件时，有x·件次品，有x?1－4x＋32?4x＋324x＋32??

3x?64x－x23x?

件正品．所以T＝200x?1－4x＋32?－100x·＝25·(x∈N＋)．

4x＋32x＋8??（2）T???25(x?32)(x?16)，由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．

(x?8)2当0

【思路点拨】利润最大问题包括销售利润问题、生产产品利润问题等，一般根据“利润?收入?成本”将利润表示成其它指标的函数关系式，然后再利用导数求最值.

活动二：费用最省问题

例3．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000?元（?为圆周率）． （1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

【解析过程】（1）因为蓄水池侧面的总成本为100?2?rh?200?rh元，底面的总成本160?r2元，

300?4r2所以蓄水池的总成本为200?rh?160?r?12000?，所以h?，

5r?从而V(r)??r2h?(300r?4r3)，

52由题知h?0，可得：r?53，又r?0，故函数V(r)的定义域为(0,53). （2）因为V(r)??5(300r?4r3)，故V?(r)??5(300?12r2).

令V?(r)?0，可得r1?5,r2??5（舍）.

当r?(0,5)时，V?(r)?0，故V(r)在(0,5)上为增函数； 当r?(5,53)时，V?(r)?0，故V(r)在(5,53)上为减函数.

由此可知，V(r)在r?5处取最大值，此时h?8，即当r?5，h?8时，该蓄水池的体积最大. 【思路点拨】用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省（往往要从几何体的面积、体积入手），将这一指标表示为关于自变量x的函数，利用导数或其它方法求出最值. 3．课堂总结 【知识梳理】

（1）在解决实际问题中的优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式表示出来，还应确定函数关系式中自变量的定义区间。实际问题中，建模时使用的自变量不一定是求导的最“优”变量，灵活地运用换元的方法是优化解答过程的有效手段.

（2）在实际问题中，由f?(x)?0常常得到定义域内的根只有一个，如果函数在这点有极大值（极小值），那么不与端点处的函数值比较，也可判断该极值就是最大值（最小值）. 【重难点突破】

(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域；

(2)建立函数模型，重在读题，读题务必仔细，理解清楚各个变量关系后，再建立模型．

4．随堂检测

（1）某工厂要建造一个长方体形状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A．900元 B．840元 C．818元 D．816元 答案：D 解析：略

点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模

2．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为（ ） 3A．3cm 103B．3cm 163C．3cm 203D．3cm 答案：D 解析：略

点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模

3．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系1

式为p＝25－8q，则当利润最大时，产量q?____________. 答案：84 解析：略

点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模

4．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为________________元． 答案：85 解析：略

点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模

5．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/

4．随堂检测

（1）某工厂要建造一个长方体形状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2的造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ） A．900元 B．840元 C．818元 D．816元 答案：D 解析：略

点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模

2．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为（ ） 3A．3cm 103B．3cm 163C．3cm 203D．3cm 答案：D 解析：略

点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模

3．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系1

式为p＝25－8q，则当利润最大时，产量q?____________. 答案：84 解析：略

点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模

4．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为________________元． 答案：85 解析：略

点拨：利用导数求闭区间上函数的最值，数学建模

5．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/

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