05 液流形态及水力损失

第五章 液流型态及水力损失

实际流体都是具有粘性的。不可压缩流体在流动过程中，流体之间因相对运动切应力的作功，以及流体与固壁之间摩擦力的作功，都是靠损失流体自身所具有的机械能来补偿的。这部分能量均不可逆转地转化为热能。这种引起流动能量损失的阻力与流体的粘滞性和惯性，与固壁对流体的阻滞作用和扰动作用有关。因为，为了得到能量损失的规律，必须同时分析各种阻力的特性，研究壁面特征的影响，以及产生各种阻力的机理。

能量损失一般有两种表示方法：对于液体，通常用单位重量流体的能量损失（或称水头损失）hl来表示，其因次为长度；对于气体，则常用单位体积内的流体的能量损失（或称压强损失）pl来表示，其因次与压强的因次相同。它们之间的关系是：

pl=γhl

第一节 水头损失的概念及其分类

水头损失是流体与固壁相互作用的结果。固壁作为流体的边界层会显著地影响这一系统的机械能与热能的转化过程。在工程的设计计算中，根据流体接触的边壁沿程是否变化，把能量损失分为两类：沿程损失hf和局部损失hm。它们的计算方法和损失机理不同。

一、流动阻力和能量损失的分类

在边壁沿程不变的管段上（如图5-1中的ab、bc、cd段），流动阻力沿程也基本不变，

图5-1 沿程阻力与沿程损失

称这类阻力为沿程阻力。克服沿程阻力引起的能量损失称为沿程损失。图中的hfab，hfbc，hfcd就是ab、bc、cd段的损失——沿程损失。由于沿程损失沿管段均布，即与管段的长度成正比，所以也称为长度损失。

在边界急剧变化的区域，阻力主要地集中在该区域内及其附近，这中集中分布的阻力称

1

为局部阻力。克服局部阻力的能量损失称为局部损失。例如图5-1中的管道进口、变径管和阀门等处，都会产生局部阻力。hma，hmb，hmc就是相应的局部水头损失。引起局部阻力的原因是由于旋涡区的产生和速度方向和大小的变化。

整个管路的能量损失等于各管段的沿程损失和各局部损失的总和。即

hl=Σhf+Σhm

对于图5-1所示流动系统，能量损失为

hl=hfab+hfbc+ffcd+hma+hmb+hmc

二、能量损失的计算公式

能量损失计算公式用水头损失表达时，为 沿程水头损失：hf??ld??22g (5-1)

局部水头损失：hm???22g (5-2)

用压强损失表达，则为：

pf??pm??ld???222 (5-3)

??2 (5-4)

式中 l——管长；d——管径；υ——断面平均流速；g——重力加速度；λ——沿程阻力系数；ξ—局部阻力系数。

在以上这些公式中核心问题是各种流动条件下无因次系数λ和ξ的计算，除了少数简单情况，主要是用经验或半经验的方法获得的。本章的主线就是沿程阻力系数λ和局部阻力系数ξ的计算。

第二节 粘性流体流动的两种形态

早在19世纪初期，人们注意到流体运动有两种结构不同的流动状态，能量损失的规律与流态密切相关。

一、两种流态

1883年英国物理学家雷诺在与图5-2类似的装置上进行了实验。

试验时，水箱A内水位保持不变，阀门C用于调节流量，容器D内盛有容重与水相近的颜色水，经细管E流入玻璃管B，阀门F用于控制颜色水流量。

当管B内流速较小时，管内颜色水成一股细直的流束，这表明各液层间毫不相混。这种分层有规则的流动状态称为层流。如图5-2（a）所示。当阀门C逐渐开大流速增加到某一临

2

界流速υk′时，颜色水出现摆动，如图5-2（b）所示。继续增大流速，则颜色水迅速与周围清水相混，如图5-2（c）所示。这表明液体质点的运动轨迹是极不规则的，各部分流体互相剧烈掺混，这种流动状态称为紊流。

图5-2 流态试验装置

若实验时的流速由大变小，则上述观察到的流动现象以相反程序重演，但由紊流转变为层流的临界流速υ界流速。

实验进一步表明：对于特定的流动装置上临界流速υ′k是不固定的，随着流动的起始条件和实验条件的扰动程度不同，υ′k值可以有很大的差异；但是下临界流速υ流速。

在管B的断面1、2处加接两根测压管，根据能量方程，测压管的液面差即是1、2断面间的沿程水头损失。用阀门C调节流量，通过流量测量就可以得到沿程水头损失与平均流速的关系曲线hf-v。如图5-3所示。

k

k

小于由层流转变为紊流的临界流速υ′k。称v′k为上临界流速，υ

k

为下临

却是不变的。

在实际工程中，扰动普遍存在，上临界流速没有实际意义。以后所指的临界流速即是下临界

图 5-3

实验曲线OABDE在流速由小变大时获得；而流速由大变小时的实验曲线是EDCAO。其中AD部分不重合。图中B点对应的流速即上临界流速，A点对应的是下临界流速。AC段和BD段试验点分布比较散乱，是流态不稳定的过渡区域。

3

此外，由图5-3可分析得

hf=Kυ

流速小时即OA段，m=1，hf=Kυ段，m=1.75~2.0，hf=Kυ

1.75~2.0

1.0

m

，沿程损失和流速一次方成正比。流速较大时，在CDE

。线段AC或BD的斜率均大于2。

从以上分析可知，流动状态不同，流动的损失与速度之间的关系有很大差别。因此，在计算任何一个具体的液流损失时，必须首先判断其流态，然后由所确定的流态按不同的规律进行计算。

二、流态的判别准则——临界雷诺数

上述实验观察到了两种不同的流态，以及在管B管径和流动介质-清水不变的条件下得到流态与流速有关的结论。雷诺等人进一步的实验表明：流动状态不仅和流速v有关，还和管径d、流体的动力粘滞系数μ和密度ρ有关。

以上四个参数可组合成一个无因次数，叫做雷诺数，用Re表示。

Re=υdρ/μ=υd/ν （5-5） 对应于临界流速的雷诺数称临界雷诺数，用ReK表示。实验表明：尽管当管径或流动介质不同时，临界流速vK不同，但对于任何管径和任何牛顿流体，判别流态的临界雷诺数却是相同的，其值约为2000。即

ReK=υKd/ν=2000 （5-6） Re在2000~4000是层流向紊流转变的过渡区，相当于图5-3上的AC段。工程上为简便起见，假设当Re>ReK时，流动处于紊流状态，这样，流态的判别条件是

层流：Re=υ/v<2000 （5-7） 紊流：Re=υd/v>2000 （5-8） 要强调指出的是临界雷诺数值ReK=2000，是仅就圆管而言的，对于诸如平板绕流和厂房内气流等边壁形状不同的流动，具有不同的临界雷诺数值。

【例5-1】有一管径d=25mm的室内上水管，如管中流速υ=1.0m/s，水温t=10℃。 （1）试判别管中水的流态；

（2）管内保持层流状态的最大流速为多少：

【解】（1）10℃时水的运动粘滞系数ν=1.31310-6m2/s 管内雷诺数为

Re??dv?1.0?0.0251.31?10?6?19100?2000

故管中水流为紊流。

（2）保持层流的最大流速就是临界流速υ由于 Re?K。

?Kdv?2000

?6所以 ?K?2000?1.31?100.025?0.105m/s

【例5-2】 某低速送风管道，直径d=200mm，风速υ=3.0m/s，空气温度是30℃。 （1）试判断风道内气体的流态。

4

（2）该风道的临界流速是多少？

【解】 （1）30℃空气的运动粘滞系数ν=16.6310m/s，管中雷诺数为

Re?-6

2

?dv?3?0.216.6?10?6?36150?2000

故为紊流。 （2）求临界流速υ

K

?K?ReKvd?2000?16.6?100.2?6?0.166m/s

从以上两例题可见，水和空气管路一般均为紊流。

三、流态分析

层流和紊流的根本区别在于层流各流层间互不掺混，只存在粘性引起的各流层间的滑动摩擦阻力；紊流时则有大小不等的涡体动荡于各流层间。除了粘性阻力，还存在着由于质点掺混，互相碰撞所造成的惯性阻力。因此，紊流阻力比层流阻力大得多。

层流到紊流的转变是与涡体的产生联系在一起的。图5-4绘出了涡体产生的过程。 设流体原来作直线层流运动。由于某种原因的干扰，流层发生波动图5-4a。于是在波峰一侧断面受到压缩，流速增大，压强降低；在波谷一侧由于过流断面增大，流速减小，压强增大。因此流层受到图5-4b中箭头所示的压差作用。这将使波动进一步加大图5-4c，终于发展成涡体。涡体形成后，由于其一侧的旋转切线速度与流动方向一致，故流速较大，压强较小。而另一测旋转切线速度与流动方向相反，流速较小，压强较大。于是涡体在其两侧压差作用下，将由一层转到另一层图5-4d，这就是紊流掺混的原因。

图 5-4 层流到紊流的转变过程

层流受扰动后，当粘性的稳定作用起主导作用时，扰动就受到粘性的阻滞而衰减下来，层流就是稳定的。当扰动占上风，粘性的稳定作用无法使扰动衰减下来，于是流动便变为紊流。因此，流动呈现什么流态，取决于扰动的惯性作用和粘性的稳定作用相互斗争的结果。

5

第三节 均匀流动的沿程水头损失和基本方程式

一、均匀流动方程式

均匀流只能发生在长直的管道或渠道这一类断面形状和大小都沿程不变的流动中，因此只有沿程损失，而无局部损失。为了导出沿程阻力系数的计算公式，首先建立沿程损失和沿程阻力之间的关系。在图5-5所示的均匀流中，在任何的两个断面1-1和2-2列能量方程

图 5-5 圆管均匀流动

Z1?p1??1?12g2??Z2?p2???2?22g2?hl1?2

由均匀流的性质：

?1?12g2??2?22g2hl?hf

代入上式，得

hf?(p1??Z1)?(p2??Z2) (5-9)

考虑所取流段在流向上的受力平衡条件。设两断面间的距离为L，过流断面面积A1=A2=A，在流向上，该流段所受的作用力有：

重力分量 ?Alcos? 端面压力 p1Ap2A

管壁压力 ?1?l?2?r0 其中τ

0——管壁切应力；r0——圆管半径。

在均匀流中，流体质点作等速运动，加速度为零，因此，以上各力的合力为零，考虑到各力的作用方向，得

6

p1A?p2A??Alcos???0l2?r?0

将lcos??Z1?Z2代入整理得 (Z1?比较式（5-9）和（5-10），得

hf?2?0lp1)?(Z2?p2)?2?0l???r0 (5-10)

?r0 (5-11)

式中hf /l为单位长度的沿程损失，称为水力坡度。以J表示，即

J?hf/l

代入上式得

?0??r02J (5-12)

式（5-11）或（5-12）就是均匀流动方程式。它反映了沿程水头损失和管壁切应力之间的关系。

上面的分析适用于任何大小的流束,对于半径为r的流束如图5-6，可类似地求得管内任一点轴向切应力τ与沿程水头损失J之间的关系：

图5-6 均匀流过流断面

???比较式（5-12）和（5-13），得

r2J (5-13)

?/?0?r/r0 (5-14) 式5-14表明圆管均匀流的过流断面上，切应力与半径成正比，在断面上按直线规律分布，管轴线上为零，在管壁上达最大值。

7

二、沿程阻力系数的计算

均匀流基本方程式给出了沿程水头损失与切应力τ的关系,而τ的大小与流体的流动形态有关。圆管中的层流运动，可以看成无数无限薄的圆筒层，一个套着一个地相对滑动，各流层间互不掺混。可以证明这种轴对称的流动各流层间的切应力大小满足牛顿内摩擦定律式即

????du (5-15)

dr

由于速度u随r的增大而减小，所以等式右边加负号，以保证τ为正。

取立均匀流动方程式（5-13）和式（5-15），整理得

du???J2?rdr

在均匀流中，J值不随r而变。积分上式，并代入边界条件：r=r0时，u=0，得 u??J4?(r220?r)

可见，断面流速分布是以管中心线为轴的旋转抛物面，见图5-7。

图5-7 圆管中层流的速度分布

r=0时，即在管轴上，达最大流速： u22max??J4r0??J u16?d 将式（5-16）代入平均流速定义式

r0?u?2?rdr??Q?udAAA?A?0A

得平均流速为

???J2?J28?r0?32?d 比较式（5-17）和（5-18），得

8

(5-16)

(5-17)

(5-18)

??即平均流速等于最大流速的一半。

根据式（5-18），得

12?max (5-19)

hf?J?l?32??l?d2 (5-20)

此式从理论上证明了层流沿程损失和平均流速一次方成正比。这个结论和雷诺实验的结果一致。上式称为哈根—泊肃叶公式（定律），这种层流运动称（哈根）泊肃叶流动。

将式（5-20）写成计算沿程损失的一般形式，则

hf??l?2d2g?32??l?d2?64Re?ld??22g

由此式，可得圆管层流的沿程阻力系数的计算式： ??64Re (5-21)

它表明圆管层流的沿程阻力系数仅与雷诺数有关，且成反比，而和管壁粗糙无关。

【例5-3】 设石油在圆管中作恒定有压均匀流动。已知管径d=10cm，流量Q=500cm/s，石油密度ρ=850 kg/m，运动粘度??1.8?10?5m2/s。试求管轴处最大流速umax，半径r=2cm处的流速u2，管壁处切应力?0以及每米管长的沿程损失hf 。

【解】 首先判断流态。断面平均流速?为

??QA?4?5003

3

??10?2?6.37cm/s?0.0637m/s

?354?2000 为层流

Re??d?0.0637?0.11.8?10?5umax?2??2?0.0637?0.127m/s

r22u2?umax(1?r0)?0.127?(1?2522)?0.1067m/s

层流， ??64Re?64354?0.18

?0??8??2?0.188?850?0.06372?0.078Pa

9

hf??l?2d2g?0.18?10.1?0.063722?9.8?0.00037m (油柱)

第四节 紊流运动的特征

一、紊流运动的特征

紊流的基本特征是在运动过程中,流体质点具有不断地互相混掺的现象；由于质点的互相混掺，使流区内各点的速度、压强等运动要素发生一种脉动现象。所谓脉动现象，就是诸如速度、压强等空间点上的物理量随时间的变化作无规则的即随机的变动。在作相同条件下的重复试验时，所得瞬时值不相同，但多次重复试验的结果的算术平均值趋于一致，具有规律性。

图5-8就是某紊流流动在某一空间固定点上测得的速度随时间的分布。

图5-8 紊流的脉动

由于湍流的速度、压强等均为具有随机性质的脉动量，在时间上和空间上都不断地变化着；只有采取适当的方法加以平均，取得平均值后才能进一步研究其运动规律。在研究紊流时，一般可采取时间或空间统计平均法，取得平均值。由于时间平均法（简称时均法）的物理概念比较清晰，方法也比较简便，所得的时间平均值都相当稳定，所以得到广泛的采用。

通过对速度分量ux的时间平均给出时均法的定义，以同样地获得其它物理量的时均值。 设ux为瞬时值，带“—”表示其平均值，则时均值ux定义为

ux(x,y,z,t)?1T?t?T/2t?T/2ux(x,y,z,?)d? （5-22）

式中 ξ——时间积分变量。T——平均周期，是一常数，它的取法是应比紊流的脉动周期大得多，而比流动的不恒定性的特征时间又小得多，随具体的流动而定。

瞬时值与平均值之差即为脉动值，用“′”表示。于是，脉动速度为

u??ux?ux x

10

或写成 ux?ux?u? （5-23） x同样地，瞬时压强、平均压强和脉动压强之间的关系为

p?p?p?

等等。

如果紊流流动中各物理量的时均值不随时间而变，仅仅是空间点的函数，即称时均流动是恒定流动，例如，此时

ux?ux(x,y,z),p?p(x,y,z)

等。紊流的瞬时运动总是非恒定的，而平均运动可能是非恒定的，也可能是恒定的。工程上关注的总是时均流动，一般仪器和仪表测量的也是时均值。

紊流可分为：

均匀各向同性紊流：在流场中，不同点以及同一点在不同的方向上的紊流特性都相同。主要存在于无解的流场或远离边界的流场。例如原理地面的大气层等；

自由剪切紊流：边界为自由面而无固壁限制的紊流。例如自由射流，绕流中的尾流等，在自由面上与周围介质发生掺混；

有壁剪切紊流：紊流在固壁附近的发展受限制。如管内紊流及绕流边界层等。在紊流理论和工程应用中都有专门的著作可资参考。

跟分子运动一样，紊流的脉动也将引起流体微团之间的质量、动量和能量的交换。由于流体微团含有大量分子，这种交换较之分子运动强烈得多，从而产生了紊流扩散，紊流摩阻和紊流热传导等。这种特性有时是有益的，例如紊流将强化换热器的效果；在考虑阻力问题时，却要设法减弱紊流摩阻。下面将分析与能量损失有关的紊流阻力的特点。

二、紊流阻力

在紊流中，一方面因时均流速不同，各流层间的相对运动，仍然存在着粘性切应力，另一方面还存在着由脉动引起的动量交换产生的惯性切应力。因此，紊流阻力包括粘性切应力和惯性切应力。

粘性切应力可由牛顿内摩擦定律计算。在图5-9所示的恒定紊流中，时均流速沿x轴

图 5-9 紊流的动量交换

方向。脉动流速沿x和y方向的分量分别为u′任取一水平截面A-A，设在某一瞬时，x和u′y。

11

原来位于低流速层a点处的质点，以脉动流速u′点，则单y向上流动，穿过A-A截面到达a′位时间内通过A-A截面单位面积的流体质量为ρu′y。由于流体具有x方向的流速，其瞬时值为ux?ux?u?，因而也就有x方向的动量由下层传入上层。单位时间内通过单位面积的动x量为?u?y(ux?u?)，这样，截面A-A的下测流体损失了动量，而上侧的流体增加了动量。根x据动量定律：动量的变化率等于作用力。这里动量的变化率也就是通过截面A-A的动量流量。所以由横向脉动产生的x方向的动量传递，使A-A截面上产生了x方向的作用力。这个单位面积上的切向作用力就称为惯性切应力。用τ

2

表示

?2??u?y(ux?u?) x这里u′y和u′x可能为正，也可能为负。图5-9所示流动的粘性切应力用τ均值，根据式（5-22），有

?2??u?y(ux?u?)??x??(1T1T1T1

表示。τ

2

的时

??t?T/2t?T/2u?y(ux?u?)d?x

?t?T/2t?T/2u?yuxd??t?T/2t?T/2u?yu?d?)x上式中，平均值ux与积分变量无关，不难证明脉动量的时均值为零： 因为uy?uy?u?y，两边取时均值，得

uy?1T?t?T/2t?T/2uyd??u?y?uy?u?y

所以 ux=0 于是

?2??1Tt?T/2?t?T/2u?yu?d???u?u?y (5-24) xx现在分析惯性切应力的方向。当流体由下往上脉动时，u′y为正，由于a点处x方向的时均流速小于a′处的时均流速，因此当a处的质点到达a′处时，在大多数情况下，对该处原有的质点的运动起阻滞作用，产生负的沿x方向的脉动流速u′x。反之，原处于高流速层b点的流体，以脉动流速向u′y向下运动，则u′y为负，到达b′点时，对该处原有的质点的运动起向前推进的作用，产生正值的脉动流速u′x。这样正的u′x和负的u′y相对应，负的u′x和正的u′y相对应，其乘积u′xu′y总是负值。此外，惯性切应力和粘性切应力的方向是一致的，下层流体（低流速层）对上层流体（高流速层）的运动起阻滞作用，而上层流体对下层流体的运动起推动作用。

为了使惯性切应力的符号与粘性切应力一致，以正值出现，故在（5-24）式中加一负号，得

u? ?2???u?xy (5-25)

上式就是流速横向脉动产生的紊流惯性切应力。是雷诺于1895年首先提出的，故又名雷诺应力。但要提醒的是即使对平均流动而言，流动朝着同一方向的紊流，例如直管内流动，

12

在三个坐标方向都存在着流速的脉动分量。因此，一般地惯性切应力还在其它方向上存在。

由于脉动量测量的困难，因此利用脉动量直接计算惯性切应力实际上是不可能的。由于脉动量的存在和应用上主要关注的是平均值，因此，紊流理论主要就是研究脉动值和平均值之间的相互关系。

三、混合长度理论

脉动流速随时间的变化规律不易测量和计算，所以将式（5-25）转化为以时均流速表示的附加切应力的形式，建立他们之间的关系式。因为附加切应力是由于宏观流体质点的脉动引起的，它和流体分子微观运动引起粘性切应力的情况相似。1925年，普朗特假设在脉动过程中，存在着一个与分子平均自由路程相当的距离l′。微团在该距离内不会和其它微团相碰，因而保持原有的物理属性，例如保持动量不变，只是在经过这段距离后，才与周围流体相混合，并取得与新位置上原有流体相同的动量等。

现根据这一假定作如下的推导： 相距l′的两层流体的时均流速差为：

?u?u(y2)?u(y1)?(u(y1)?dudyl?)?u(y1)?dudyl?

由于两层流体的时均流速不同，因此横向脉动动量交换的结果要引起纵向脉动。普朗特假设纵向脉动流速绝对值的时均值与时均流速差成比例：

|u?|x∽

dudyl?

同时，在紊流里，用一封闭边界割离出一块流体，如图5-9b所示。普朗特根据连续性原理认

|u?||为要维持质量守恒，纵向脉动必将影响横向脉动，即u′x与u′y是相关的。因此|u?xy与

成比例，即

||u?y|∽|u?x∽

dudyl?

|u?||u?y|不等，但可以认为两者成比例关系，符号相反，则 u?u?x·xy虽然与

?u?u??clxy2?(dudy)

2式中，c为比例系数，令l=cl′则上式可变成

?2??l?(222

dudy) (5-26)

2这就是由普朗特的混合长度理论得到的以时均流速表示的紊流惯性切应力表达式，式中

13

l称为混合长度。于是紊流切应力可写成：

???1??2??层流时只有粘性切应力τ

dudy??l(2dudy)

21，紊流时τ2

有很大影响，如果我们将τ)221

和τ

2

相比，则

?2?1?l(?2dudy)?l?2dudy??lu?(dudy??

plu?τ

1

是雷诺数的形式，因此τ

2

与τ

1

的比例与雷诺数有关。雷诺数越大，紊动越剧烈，就可以忽略了，于是：

dudy2) (5-27)

的影响就越小，当雷诺数很大时，τ

1

???l2(为了简便起见，从这里开始，时均值不再标以时均符号。

式（5-27）中，混合长度l是未知的，要根据具体问题作出新的假定结合实验结果才能确定。普朗特关于混合长度的假设有其局限性，但在一些紊流流动中应用普朗特半经验理论所获得的结果与实践比较一致。

将式（5-27）运用于圆管紊流，可以从理论上证明断面上流速分布是对数型的： u?1?0??lny?C (5-28)

式中，y——离圆管壁的距离；β——卡门通用常数，由实验定；C——积分常数。

层流和紊流时圆管内流速分布规律的差异是由于紊流时流体质点相互掺混使流速分布趋于平均化造成的。层流时的切应力是由于分子运动的动量交换所产生的惯性切应力，而紊流切应力除了粘性切应力外，还包括流体微团脉动引起的动量交换所产生的惯性切应力。由于脉动交换远大于分子交换，因此在紊流充分发展的流域内，惯性切应力远大于粘性切应力，也就是说，紊流切应力主要是惯性切应力。

第五节 尼古拉兹实验

沿程阻力系数及其影响因素的分析

沿程损失的计算，关键在于如何确定沿程阻力系数λ。由于紊流的复杂性，λ的确定不可能像层流那样严格地从理论上推导出来。其研究途径通常有二：一是直接根据紊流沿程损失的实测资料，综合成阻力系数λ的纯经验公式；二是用理论和试验相结合的方法，以紊流的半经验理论为基础，整理成半经验公式。

为了通过试验研究沿程阻力系数λ，首先要分析λ的影响因素。层流的阻力是粘性阻力，

14

理论分析已表明，在层流中，λ=64/Re，即λ仅与Re有关，与管壁粗糙无关。而紊流的阻力由粘性阻力和惯性阻力两部分组成。壁面的粗糙在一定条件下成为产生惯性阻力的主要外因。每个粗糙点都将成为不断地产生并向管中输送旋涡引起紊动的源泉。因此，粗糙的影响在紊流中是一个十分重要的因素。这样，紊流的能量损失一方面取决于反映流动内部矛盾的粘性力和惯性力的对比关系，另一方面又决定于流动的边壁几何条件。前者可用Re来表示，后者则包括管长、过流断面的形状，大小以及壁面的粗糙等。对圆管来说，过流断面的形状固定了，而管长l和管经d也已包括在沿程阻力中。因此边壁的几何条件中只剩下壁面粗糙需要通过λ来反映。这就是说，沿程阻力系数λ，主要取决于Re和壁面粗糙这两个因素。

尼古拉兹对不同管径、不同沙粒径进行了大量的实验，其实验装置如图5-10所示。

图5-10 尼古拉兹实验

对于这种特定的粗糙形式，就可以用粗糙的突起高度?（即相当于砂粒直径）来表示边壁的粗糙程度。?称为绝对粗糙度。但粗糙对沿程损失的影响不完全取决于粗糙的突起绝对高度?，而是决定于它的相对高度，即?与管径d或半径r0之比。?/d或?/r0，称为相对粗糙度。其倒数d/?或r0/?则称为相对光滑度。这样，影响λ的因素就是雷诺数和相对粗糙度，即

??f(Re,?d)

Re相等意味着主要作用力相似。而?/d相等，则意味着粗糙的几何相似。如果流动的Re和?/d相等，它们就是力学相似，所以λ值也应相等。

二、沿程阻力系数的测定和阻力分区图

为了探索沿程阻力系数λ的变化规律，尼古拉兹用多种管径和多种粒径的砂粒，得到

了?/d?130~11014的六种不同的相对粗糙度。量测不同流量时的断面平均流速υ和沿程水

头损失hf。根据

Re??dv和??d2gl?2hf

两式，即可算出Re和λ。把试验结果点绘在对数坐标纸上，就得到图5-11。

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图5-11 尼古拉兹粗糙管沿程损失系数

根据λ变化的特征。图中曲线可分为五个阻力区：

第I区为层流区。当Re<2000时，所有的试验点，不论其相对粗糙度如何，都集中在一根直线上。这表明λ仅随Re变化，而与相对粗糙度无关。所以它的方程就是??尼古拉兹实验证实了由理论分析得到的层流沿程损失计算公式是正确的。

第II区为临界区。在Re=2000~4000范围内，是由层流向紊流的转变过程。λ随Re的增大而增大，而与相对粗糙度无关。

第III区为紊流光滑区。在Re>4000后，不同相对粗糙的试验点，起初都集中在曲线III上。随着Re的加大，相对粗糙度较大的管道，其试验点要在较低的Re时就偏离曲线III。而相对粗糙度较小的管道，其试验点要在较大的Re时才偏离光滑区。在曲线III范围内，λ只与Re有关而与?/d无关。

第IV区为紊流过渡区。在这个区域内，试验点已偏离光滑区曲线。不同相对粗糙度的试验点各自分散成一条条波状的曲线。λ既与Re有关，又与?/d有关。

第V区为紊流粗糙区。在这个区域里，不同相对粗糙度的试验点，分别落在一些与横坐标平行的直线上。λ只与?/d有关，而与Re无关。当λ与Re无关时，由沿程阻力公式可见，沿程损失就与流速的平方成正比。因此第V区又称为阻力平方区。

以上试验表明了紊流中λ确实决定于Re和?/d这两个因素。但是为什么紊流又分为三个阻力区，各区的λ变化规律是如此不同呢？这个问题可用层流底层的存在来解释。

在光滑区，糙粒的突起高度?比层流底层的厚度δ小得多，粗糙完全被掩盖在层流底层以内（图5-12a），它对紊流核心的流动几乎没有影响。粗糙引起的扰动作用完全被层流底层

64Re。因此，

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图5-12层流底层与管壁粗糙的作用

内流体粘性的稳定作用所抑制。管壁粗糙对流动阻力和能量损失不产生影响。

在过渡区，层流底层变薄，粗糙开始影响到紊流核心区内的流动（图5-12b），加大了核心区内的紊流强度。因此增加了阻力和能量损失。这时，λ不仅与Re有关，而且与?/d有关。

在粗糙区，层流底层更薄，粗糙突起高度几乎全部暴露在紊流核心中，。?>>δ（图5-12c）粗糙的扰动作用已经成为紊流核心中惯性阻力的主要原因。Re对紊流强度的影响和粗糙的影响相比已微不足道了。?/d成了影响λ的唯一因素。由此可见，流体力学中所说的光滑区和粗糙区，不完全取决于管壁粗糙的突起高度?，还取决于和Re有关层流底层的厚度δ。

综上所述，沿程损失系数λ的变化可归纳如下： I、层流区 λ=f1(Re) II、临界过渡区 λ=f2(Re) III、紊流光滑区 λ=f3(Re) IV、紊流过渡区 λ=f(Re，?/d) V、紊流粗糙区（阻力平方区） λ=f(?/d)

尼古拉兹实验比较完整地反映了沿程损失系数λ的变化规律，揭露了影响λ变化的主要因素，他对λ和断面流速分布的测定，推导紊流的半经验公式提供了可靠的依据。

第六节 工业管道紊流阻力系数的计算公式

尼古拉兹虽然是在人工粗糙管中完成的实验，不能完全用于工业管道。但是，尼古拉兹实验的意义在于它全面揭示了不同流态下λ和雷诺数及相对粗糙度的关系，从而说明确定λ的各种经验公式和半经验公式有一定的适用范围。

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一、光滑区和粗糙区的λ值

（一）当量糙粒高度

图5-13为尼古拉兹粗糙管和工业管道λ曲线的比较。图中实线A为尼古拉兹实验曲线，虚线B和C分别为2英寸镀锌钢管和5英寸新焊接钢管的实验曲线。由图可见，在光滑区工业管道的实验曲线和尼古拉兹曲线是重叠的。因此，只要流动位于阻力光滑区，工业管道λ的计算就可采用尼古拉兹的实验结果。

图5-13 λ曲线的比较

在粗糙区，工业管道和尼古拉兹的实验曲线都是与横坐标平行。这就存在着用尼古拉兹粗糙区公式计算工业管道的可能性。问题在于如何确定工业管道的?值。在流体力学中，把尼古拉兹粗糙作为度量粗糙的基本标准。把工业管道的不均匀粗糙折合成尼古拉兹粗糙。这样，就提出了一个当量糙粒高度的概念。所谓当量糙粒高度，就是指和工业管道粗糙区λ值相等的同直径尼古拉兹粗糙管的糙粒高度。如实测出某种材料工业管道在粗糙区时的λ值，将它与尼古拉兹实验结果进行比较，找出λ值相等的同一管径尼古拉兹粗糙管的糙粒高度，这就是该种材料工业管道的当量糙粒高度。

工业管道的当量糙粒高度是按沿程损失的效果来确定的，它在一定程度上反映了粗糙中各种因素对沿程损失的综合影响。

（二）计算公式

人工粗糙管的紊流沿程阻力系数λ的半经验公式可根据断面流速的对数公式结合尼古拉兹实验资料推出，得到在紊流光滑区的公式为

1?或写成

1?2lg(Re?)?0.8 (5-29)

??2lgRe?2.51 (5-30)

类似地，可导得粗糙区的λ公式，即

1?或写成

?2lgr0??1.74 (5-31)

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1??2lg3.7d? (5-32)

式（5-30）和式（5-32）都是半经验公式，分别称为尼古拉兹光滑区公式和粗糙区公式。此外，还有许多直接由实验资料整理成的纯经验公式。这里只介绍两个应用最广的公式。

光滑区的布拉修斯公式。布拉修斯于1913年在综合光滑区实验资料的基础上提出的指数公式应用最广，其形式为

??0.3164Re0.25 (5-33)

上式仅适用于Re<105及??0.4?l的情况（见图5-11），而尼古拉兹光滑区公式可适用于更大的Re范围。但布拉修斯公式简单，计算方便。因此，也得到了广泛的应用。

粗糙区的希弗林松公式

??0.11(?d)0.25 (5-34)

这也是一个指数公式，由于它的形式简单，计算方便，因此，工程上也常采用。

二、柯列勃列克公式

尼古拉兹的过渡区的实验资料对工业管道是完全不适用的。柯列勃洛克根据大量的工业管道实验资料，整理出工业管道过渡区曲线，并提出该曲线的方程为：

1?3.7d2.51Re???21g(??) (5-35)

式中，?为工业管道的当量糙粒高度。它是尼古拉兹光滑区公式和粗糙区公式的机械结合。该公式的基本特征是当Re值很小时，公式右边括号内的第二项很大，相对来说，第一项很小。这样，柯氏公式就接近尼古拉兹光滑区公式。当Re值很大时，公式右边括号内第二项很小，公式接近尼古拉兹粗糙公式。因此，柯氏公式所代表的曲线是以尼古拉兹光滑区斜直线和粗糙区水平线为渐进线，它不仅可适用于紊流过渡区，而且可以适用于整个紊流的三个阻力区。因此又可称它为紊流的综合公式。

在不使用下述的莫迪图，而采用紊流沿程阻力系数分区计算公式计算沿程阻力系数λ时碰到的一个问题是：如何根据雷诺数Re和相对粗糙度?/d建立判别实际流动所处的紊流阻力区的标准呢？

由于柯氏公式适用于三个紊流阻力分区，它所代表的曲线是以尼古拉兹光滑区斜直线和粗糙区水平线为渐近线，因此我国汪兴华教授建议：以柯氏公式（5-35）与尼古拉兹分区公式（5-30）和（5-32）的误差不大于2%为界来确立判别标准。根据这一思想，汪兴华导得的判别标准是：

紊流光滑区：2000?Re?0.32(紊流过渡区：0.32(d?)1.28d?)1.28

d?)

?Re?1000( 19

紊流粗糙区：Re?1000(d?)

由于柯氏公式广泛地应用于工业管道的设计计算中，因此这种判别标准具有实用性。

柯氏公式的形式比较复杂，求解比较困难。但目前电子计算技术日益发达，这个问题是可以解决的。

柯氏公式虽然是一个经验公式。但是它是在合并两个半经验公式的基础上获得的。因此可以认为柯氏公式是普朗特理论和尼古拉兹实验结合后进一步发展到工程应用阶段的产物。这个公式在国内外得到了极为广泛的应用。

对于实际的工业管道，为应用方便，莫迪以柯氏公式为基础绘制出反映Re、?/d和λ对应关系的莫迪图（图5-14），在图上可根据Re和?/d直接查出λ。

图 5-14 莫迪图

在工程设计计算中，求取沿程损失因数λ的方法通常可归纳为以下三种途径： 图线法。按工程选用的管道，查找其对应的绝对粗糙度?，按设计给定的Re，在尼古拉兹曲线或莫迪曲线中查找。

图表法。在工程应用的有关手册中，往往给出人们预制的?,?,d,?,Re,?等参数之间的关系图表，可按所指示的查找方法由设计数据查得。

计算法。按本节所分析的方法，分区选用相应的公式计算。

【例5-4】在管径d=100mm，管长l=300m的圆管中，流动着t=10℃的水，其雷诺数Re=80000，试分别求下列三种情况下的水头损失。

（1）管内壁为?=0.15mm的均匀砂粒的人工粗糙度。 （2）为光滑铜管（即流动处于紊流光滑区）。

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?d值和雷诺数

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