初中数学中考一轮复习(6)

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初中数学中考一轮复习——数与代数

第三单元 函数

第十五讲 二次函数（二）

一、目标要求：

1.理解一元二次方程、不等式与一元二次函数之间的内在联系。

2.学生能通过观察一元二次函数的图像，求出其对应方程、其对应不等式的解（解集）。 3. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.

4.用二次函数及其图象解决简单的实际问题(如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等)

二、课前热身

1. 已知函数y?(x?a)(x?b)（其中a?b）的图象如下面右图所示，则函数y?ax?b的图象可能正确的是( )

第1题图 y 1 O 1 x y 1 -1 O （B） 2

y -1 x O -1 （C） x O -1 y 1 x （A） （D）

2

2. 已知抛物线y=x﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m﹣m+2014的值为( )

A．2012 B．2013 C．2014 D．2015

3. 某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为( )

A、6厘米 B、12厘米 C、24厘米 D、36厘米

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4. 抛物线y?ax2?bx?c的顶点为D??1, 2?，与x轴的一个交点A在点??3, 0?\\和??2, 0?之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2?4ac<0；②a?b?c<0；③c?a?2；④方程ax2?bx?c?2?0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为( )

A．1个

B．2个

C．3个 D．4个

5. 如图，已知矩形ABCD的长AB为5，宽BC为4．E是BC边上的一个动点，AE⊥EF，EF交CD于点F．设BE=x，FC=y，则点 E从点B运动到点C时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是( )

A． B． C．

D．

6. 某水果店销售某中水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月满足函数关系式y2=mx﹣8mx+n，其变化趋势如图2．

2

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（1）求y2的解析式；

（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？

三、【基础知识重温】

一．二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：www.21-cn-jy.com

(1)抛物线y=ax+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)有两个不等实根

△=b-4ac＞0。

2

2

2

2

2

2

一元二次方程ax+bx+c=0

2

(2)抛物线y=ax+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(?2

元二次方程ax+bx+c=0有两个相等实根，x1?x2??b，0)2a一

b2ab2?4ac?0

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(3)抛物线y=ax+bx+c与x轴没有公共点=b2-4ac＜0.

二．二次函数的应用.

2

一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根

△

利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.

四、例题分析

题型一、二次函数与一次函数及反比例函数的结合

【例1】（2015山东泰安）在同一坐标系中，一次函数y??mx?n2与二次函数y?x2?m的图象可能是（ ）

A． B． C．

D．

【趁热打铁】

已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=

b2aab在同一坐标系内的大致图象是（ ） x全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | www.xsjjyw.com

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题型二、二次函数与一元二次方程

【例2】（2015贵州毕节）二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）

2

A．a＜0 B．b＞0 C．b﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0 【趁热打铁】

二次函数y=x+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x+bx-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（ ）

2

2

2

A．t≥-1

B．-1≤t＜3

C．-1≤t＜8

D．3＜t＜8

2.已知二次函数y=－x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程

?x2?2x?m?0的解为 。

题型三 利用二次函数解决抛物线形问题

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【例3】（2015浙江金华）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线

y??1(x?80)2?16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，400则桥面离水面的高度AC为（ ）

A．16971517米 B．米 C．16米 D．米 404044【趁热打铁】

如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是

y??12?x?6??4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是 ． 9[来源:21世纪教育网]

题型四、二次函数的应用

【例4】（2015甘肃天水）天水“伏羲文化节”商品交易会上，某商人将每件进价为8元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经实验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件． （1）写出每天所得的利润y（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式．

[来源:21世纪教育网]

（2）每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？

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21世纪教育网

【趁热打铁】

（常州）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量（件）与每件的销售价x（元/件）如下表： x（元/件） t（件） 38 4 36 8 34 12 32 16 30 20 28 24 26 28 21世纪教育网（1）试求t与x之间的函数关系式；

（2）在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价-每件服装的进货价）21世纪教育网版权所有

题型五、二次函数在几何图形中的应用

【例5】（2015广东茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣2，0），D（﹣8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．【来源：21cnj*y.co*m】

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（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为E，求证：直线CE与⊙A相切；

（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标．

【趁热打铁】

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?15?2

如图，直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6（a≠0）相交于A?, ?和B（4，m），点P是线

?22?段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．

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五、牛刀小试

1、【题源】2015内蒙古赤峰

抛物线y=ax+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=角坐标系内的图象大致为（ ）21cnjy.com

2. 【题源】2015贵州黔东南州

如图，已知二次函数y?ax2?bx?c（a?0）的图像如图所示，给出下列四个结论：①

2

c在同一平面直xabc?0；②a?b?c?0；③a?b；④4ac?b2?0．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 【题源】2015贵州铜仁

河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=﹣

x，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（ ）

2

A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m 4. 【题源】2015辽宁辽阳

某商场试销一种商品，成本为每件200元，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，一段时间后，发现销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如下表：2·1·c·n·j·y

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销售单价x（元） 销售量y（件）

… … 230 440 235 430 240 420 245 410 … … (1）请根据表格中所给数据，求出y关于x的函数关系式；

（2）设商场所获利润为w元，将商品销售单价定为多少时，才能使所获利润最大？最大利润是多少？

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5. 【题源】2015福建南平

2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y?ax?bx的对称轴为x?3，且经过点A（2，41），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．21教育名师原创作品

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（1）求抛物线的解析式；

（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（ ， ），D（ ， ）； ②当m= 时，△ACD的周长最小；

（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

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第三单元 函数

第十五讲 二次函数（二）

一、目标要求：

1.理解一元二次方程、不等式与一元二次函数之间的内在联系。

2.学生能通过观察一元二次函数的图像，求出其对应方程、其对应不等式的解（解集）。 3. 利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.

4.用二次函数及其图象解决简单的实际问题(如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等)

二、课前热身

1. 已知函数y?(x?a)(x?b)（其中a?b）的图象如下面右图所示，则函数y?ax?b的图象可能正确的是( )

第1题图 y 1 O 1 x y 1 -1 O （B） x -1 O y x O -1 y 1 x -1 （C） （A） 【答案】D.

（D）

2. 已知抛物线y=x﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m﹣m+2014的值为( )

A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 【答案】D．

【解析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将把x=m代入方程x﹣x﹣1=0求得

2

22

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m﹣m=1，将其整体代入代数式m﹣m+2014，得： m﹣m+2014=1+2014=2015． 故选D．

3. 某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为( )www-2-1-cnjy-com

A、6厘米 B、12厘米 C、24厘米 D、36厘米 【答案】A．

4. 抛物线y?ax2?bx?c的顶点为D??1, 2?，与x轴的一个交点A在点??3, 0?\\和??2, 0?之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2?4ac<0；②a?b?c<0；③c?a?2；④方程ax2?bx?c?2?0有两个相等的实数根，其中正确结论的个数为( )

2

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C．3个 D．4个

A．1个 【答案】C．

B．2个

【解析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质和一元二次方程根与系数的关系对各结论作出判断：

∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，所以①错误. ∵顶点为D（-1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=-1.

∵抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间. ∴当x=1时，y＜0.∴a+b+c＜0，所以②正确. ∵抛物线的顶点为D（-1，2），∴a-b+c=2. ∵抛物线的对称轴为直线x??b?1，∴b=2a. 2a∴a-2a+c=2，即c-a=2，所以③正确.

∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2， ∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④正确．

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