重庆理工大学2012年高等数学下模拟试卷二（答案已附后）

高等数学下模拟试卷二

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。 1. 微分方程sinxcosydx?cosxsinydy的通解是（ ）

A、siny?Csinx B、siny?Ccosx C、cosy?Ccosx D、cosy?Csinx

2. 函数f(x,y,z)?x?siny?yez，gradf(1,0,0)?（ ） 232A. (1,,0) B. (1,1,0) C. (1,0,1) D. (1,,1)

3. 函数f(x,y)?2(x?3y)?x2?y2的极值为（ ）

A、极大值 B、极小值 C、既有极大值又有极小值 D、无极值

4. 已知向量a的方向角为?, ?, ?若??A、

5. fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)处均存在是f(x,y)在点(x0,y0)可微分的（ ）条件。 A、充分 B、必要 C、充分必要 D、既不充分也不必要 6. 如果

32??4, ??2? ，则??（ ） 3?2??2?? B、 C、 D、 或

33332?an?1?n收敛，且Sn为其前n项和，则有（ ）

?A、Sn??an?1?n B、liman?0 C、

n???an?1n?limSn D、limSn??

n??n??2 7. L是抛物线x?y上从点(1,?1)到点(1,1)的一段弧，则曲线积分

2x?Lds为（ ）

A、

?10x2dx

2B、

2?10x21?111dx C、?y4dy D、?y41?4y2dy

?1?14x 8. 平面区域D为圆域：x?y?R，则

2?0R2??Dx2?y2d??（ ）

2?0R2?0RA、

22 B、 C、 D、Rd?d??d?d??d?d?R????????d?

D000 9. 设?是球面x2?y2?z2?a2，则???ds?（ ）

?22A、?a B、4?a C、0 D、?a

43

3

?0???x?0 10. 已知f(x)是周期为2?的周期函数，在???,??上的表达式为f(x)??，f(x)的

10?x???傅里叶级数在x??处收敛于（ ）

A、0 B、? C、1 D、

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11. 函数z1 2?xy?x全微分dz?_____

y212. 设?是圆柱面x?y2?a2介于z?0,z?1之间的外侧，则??(x2?y2)dxdy?

?13. z?f(,xy)，则

xy2?z＝______. ?x14. xoz面上的曲线x?z?1绕oz轴旋转而成的曲面的方程是______ 15．交换积分次序

2?21dy?f(x,y)dx?__________

y216. 连接点P(2,?1,?1)、Q(1,2,3)的直线其方程为____

2?z＝___

17. 设z?xy?3xy?xy?1，则

?x?y32318. 函数f(x)?e展开成x的幂级数为f(x)?__________

x2xn19．幂级数?(?1)的收敛半径是_______.

nn?1?n20．曲线x?t,y?t2,z?t3在点P处的切线平行于平面2x?y?3?0， 则点P的坐标为_________

三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）。

21．设向量设a?(2,1,?2),b?(3,4,?5)，求以a,b为邻边的三角形的面积。. 22. 设方程ez?xyz?0确定z是x,y的函数，求

?????z?z,。 ?x?y2 23．计算

24. 求

??(y?x)dx?(3x?2y)dy，其中L为圆周(x?1)L2?(y?2)2?9，取逆时针方向。

???xzdydz?ydzdx?2yzdxdy，其中?是平面x?0,y?0,z?0,x?1,y?1,z?1所围成的

?立方体的整个表面的外侧。

25. 利用柱面坐标计算

222?，其中为上半球体x?y?z?1,z?0。 zdv????26. 求微分方程y???2y??e2x的通解。

四、应用题（本题6分）

27. 设平面均匀薄片所占的闭区域D由曲线y?x

五、证明题（6分）

2,y?1所围成，求该薄片的质心。

(?1)n?128.证明：?条件收敛。

nn?1?

参考答案与评分标准

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。

C A A A, B C D C B D

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11. (y?1x1)dx?(x?2)dy 12. 0 13. f1??y2f2? 14. x2?y2?z?1 yyyx15.

?2dx?f(x,y)dy 16.

x?1y?2z?3?? 17. 6x2y?9y2?1 11?134??xn18. n 19. 1 n?02n!(???x???) 三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）

21. 解：S?12a??b? （3分）

?i?j?a??b?k?21?2?(3,4,5) （6分）

34?5S?522 （8分） 22.解：F(x,y,z)?ez?xyz

Fx??yz,Fy??xz,Fz?ez?xy （4分） ?zFyz?zFyxz?x??xF?zze?xy?y??F?z （8分） ze?xy23. 解：P?y?x,Q?3x?2y （2分）

原式=??(?Q?x??P?y)d?? （8分） D??2d??18? D24. 解：P?xz,Q??y2,R?2yz （3分）

原式=???(?P??Q??R)dv?1111??x?y?z???zdv???0dx?0dy?0zdz?2 25. 解：原式=???z?d?d?dz??2?11??2dz???0d??0d??0z?4

26. 解：特征方程为：r2?2r?0

20. (?1,1,?1)

（8分） 8分）

（r1?0,r2?2

所以y???2y??0的通解为Y?C1?C2e2x （4分） 设特解为y*?axe2x （6分） 代入原方程求得：a?故通解为y?C1?C2e1 22x?12xxe （8分） 2四、应用题（本题6分）

27. 解：x?0,y?1A??yd? D A???d???1dx?141x2dy?D?3

??yd???1dx?14?1x2ydy?5 D 故：质心为(0,35) 五、证明题（6分）

?28、证明：正项级数?1n发散 n?1? ?(?1n)?1 为交错级数 n?1n an?1n 因为 a11n?n?an?1?n?1? 所以?(?1)n?1 收敛 n?1n? 故?(?1)n?1 条件收敛。 n?1n

（2分） （3分） （5分） （6分）

（2分）

， lim1n??an?limn??n?0 （5分）

（6分）

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