南开大学2017-2018学年第2学期《大学物理学基础I》 考试试卷(B)
更新时间:2024-03-27 22:16:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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一、填空题,(每空2分,共40分)
21.已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj,式中r的单位为m,t的单位为s.则该质点任一时刻的速度 和加速度 ;任一时刻的切向加速度 和法向加速度 。 解:(1)由v??drdv,有:v?2ti?2j,a?,有:a?2i; dtdt12(2)而v?v,有速率:v?[(2t)2?22]∴at???2t2?1 dv?dt2tt?12222,利用a?at?an有: an?a2?at2??22t?12。
s,t=2s时边缘上各点法2.飞轮半径为0.4 m,自静止启动,其角加速度为β= 0.2 rad·
向加速度等于 m?s;切向加速度等于 ?2m?s?2。
?2R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2; a??R??0.4?0.2?0.08m?s
3. 路灯距地面的高度为h1,一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。求人影顶端的运动速度 。
解:设人向路灯行走,t时刻人影中头的坐标为x1,足的坐标为x2,
由相似三角形关系可得:∴x1?h1h2x1x2Ox1?x2h2?, x1h1h1x2
h1?h2dx1h1dx2dx2??v1, ,考虑到:dth1?h2dtdtdx2h1?v1(常数)知人影中头的速度:v影?。 dth1?h2两边对时间求导有:
4.质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹的重力,子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数式
为 ;子弹进入沙土的最大深度 。 解:由牛顿第二定律可得:f?m分离变量,可得:所以:v?v0ek?tmdvdv,则?kv?m dtdt0dvtdvkk??dt,两边同时积分,有:????dt,
v0v0vmm
(2)子弹进入沙土的最大深度也就是v?0的时候子弹的位移,推出:dx??mdv,而这k个式子两边积分就可以得到位移:xmax??
mmdv?v ?v0kk005.一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F?400?4?105t(N),子弹从枪口射出3时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。子弹走完枪筒全长所用的时间为 ;子弹在枪筒中所受力的冲量 ;子弹的质量为 。
解:(1)由于离开枪口处合力刚好为零,有:400?得:t?3?10?3s;
(2)由冲量定义:I?4?105t?0, 3?t0Fdt有:
6.如图,人造地球卫星近地点离地心r1=2R,(R为地球半径),远地点离地心r2=4R。卫星在远地点处的速率v(用地球半径R以及地球表面附近的重力加速
度g来表示);卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ 。
0.00342I??(400??105t)dt?(400t??105t2)0.003?0.6N?s 0033I(3)再由m?,有:m?0.6/300?2?10?3kg。
v12Mm12mv1?G0?mv2?G022R2Mm考虑到:G02?mg,有: v1?RRgv2?6 远地点速度为:
解:
利用万有引力提供向心力,有:
Mm, 4R2Rg,v2?3Rg; 6G0Mm?2?mv2?,
可得到:??8R。 37.一火箭以0.8c 的相对速度经过地球朝月球飞去,以地球上的观察者来看,地月之间距离
8为l地-月?3.84?10m,按地球上的观察者来看,从地球到月球的旅程需要时间
为 ;按火箭上乘客来看,这段旅程需要时间则为 。
8解:对于地球上的观察者来看,l地-月?3.84?10m,
?v?0.8c,
l地-月3.84?108??1.(6s) ??t?v0.8?3?108对于火箭上的观察者来看,
l'2.3?108?0.96(s) ?t??8v0.8?3?10'
8. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为I的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然以相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时,此平台相对地面旋转的角速度?为 。 解:此过程角动量守恒:mRv?I??0,有: ???mRv。 I
9.如图所示,一质量为m、半径为R的圆盘,可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落,略去轴承的摩擦,盘到虚线所示的铅直位置时,质心C和盘缘A点的速率为 ;在虚线位置轴对圆盘的作用力 。 解:(1)设虚线位置的C点为重力势能的零点,
下降过程机械能守恒,
113J?2 ,而J?mR2?mR2?mR2 2224g4Rg16Rg∴?? vc?R?? vA?2R?? 33R37 (2)Fy?mg?mR?2?mg,方向向上。
3有:mgR?
计算题
1. 质量m =10 kg、长l =40 cm的链条,放在光滑的水平桌面上,其一端系一细绳,通过滑轮悬挂着质量为m1 =10 kg的物体,如图所示.t = 0时,系统从静止开始运动,这时l1 = l2 =20 cm< l3.设绳不伸长,轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计,求当链条刚刚全部滑到桌面上时,物体m1速度和加速度的大小.
解:分别取m1和链条m为研究对象,坐标如图.
设链条在桌边悬挂部分为x,m1g?T?m1a,T?xgm/l?ma,解出a?1g(1?x/l)
2当链条刚刚全部滑到桌面时x = 0,a =1g? 4.9 m/s2
2dvdvdxdv a?????vdtdxdtdxvdv??adx??1g(1?x/l)dx
2v0x两边积分 ?2vdv???g(1?)dx
l0l2 T O m1 x 2v2?gl2?1gl2/l?(3/4)gl2 v?13gl2?1.21 m/s
22a?4.9m/s2,v?1.21m/s。
2. 有一条质量不计的弹簧,当下端悬有质量为0.1kg的砝码而达到平衡时,弹簧将伸长
2.5cm。如果将这一弹簧的上端固定在天花板上,下端悬一个质量为0.3kg的砝码,并将
砝码在弹簧原长时由静止释放,求此砝码下降多少距离后开始上升。 解:砝码在运动中只受重力和弹簧给予的弹力作用,牛顿运动方程为
???mg?F?maT
令竖直向下为x方向,释放点为坐标原点。有FT??kx,运动方程可写为
mg?kx?m
dvdt ①
dvdvdxdv??v有 dtdxdtdx ②
mg?kx?mv代入①式得到
dvdx 或
vdv?gdx?
kxdxm ③
根据初始条件,在开始释放点,x?0,v?0。在所求的开始上升点,砝码的速度为零,设此处位置坐标为x。对上式两边求定积分
得
?00vdv??gdx??0xkxdx0m
x0?gx?1k2x2m
解此方程,得x?0和x?2mg/k。其中x?0为释放点,舍去。x?2mg/k即所求的开始上升点。
由已知条件,当砝码
m0?0.1kg时达到平衡,有
m0g?kx0,因此
k?m0g/x0,从而
x?2mg/k?
2mx0?1.5?10?1mm0
m o l
3.如图,质量为m 长为l 的匀质细杆,可绕端点O 的固定水平轴转动,把杆抬平后无初速地释放,当杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。小球的转动不计,它的质量和杆相同,并且碰撞是完全弹性的,轴上摩擦也忽略不计,求碰后小球的速度v。
m 解:杆下摆(定轴转动)能量守恒,
mg13l1122?(ml)? 2232碰时角动量守恒
(ml)??(ml)??mvl 碰时能量守恒
132''1122112'21'2(ml)??(ml)??mv 23232' m?m
?v?
4 如图所示,质量为m,半径为R的均匀球体沿固定在地面为?的斜面上向下作无滑动的纯滚动,求其质心的加速度。
解:图示球的受力情况:作用在质心C上的重力mg,垂
N 直于斜面的支持力N,接触质元沿斜面的静摩擦力f。若规定沿斜面向下是正方向,并设球体质心加速度为根据质心定理得
C f O mg θ 13gl 2R O θ aC,
mgsin??f?maC ①
对绕质心的转动,支持力N和重力mg对质心的力矩都为零,只有摩擦力对质心有力矩。若规定垂直纸面向里为正,并设球绕质心转动的角加速度为?,则由转动定理可得 式中
fR?IC? ②
IC是球对过质心且与纸面垂直的轴的转动惯量,
2IC?mR25 ③
由于球沿斜面作纯滚动,所以与斜面接触的质元O相对于地面的瞬时速度
vo?0,该
点即为该时刻的瞬心,质元O的实际运动可看成质心平动和绕质心转动的合运动,因此
v????
O?vC???CO
向坐标投影,写成标量式 0?vC?R?
即
vC?R?
将上式对时间求微商
dvC?d(R? dtdt)
因而 aC?R? 联立①—④式,解得 a C?57gsin?
④
点即为该时刻的瞬心,质元O的实际运动可看成质心平动和绕质心转动的合运动,因此
v????
O?vC???CO
向坐标投影,写成标量式 0?vC?R?
即
vC?R?
将上式对时间求微商
dvC?d(R? dtdt)
因而 aC?R? 联立①—④式,解得 a C?57gsin?
④
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