南开大学2017-2018学年第2学期《大学物理学基础I》 考试试卷(B)

一、填空题，（每空2分，共40分）

21．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?ti?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.则该质点任一时刻的速度 和加速度 ；任一时刻的切向加速度 和法向加速度 。 解：(1)由v??drdv，有：v?2ti?2j，a?，有：a?2i； dtdt12（2）而v?v，有速率：v?[(2t)2?22]∴at???2t2?1 dv?dt2tt?12222，利用a?at?an有： an?a2?at2??22t?12。

s，t＝2s时边缘上各点法2.飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为β= 0.2 rad·

向加速度等于 m?s；切向加速度等于 ?2m?s?2。

?2R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s?2； a??R??0.4?0.2?0.08m?s

3. 路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。求人影顶端的运动速度 。

解：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为x1，足的坐标为x2，

由相似三角形关系可得：∴x1?h1h2x1x2Ox1?x2h2?， x1h1h1x2

h1?h2dx1h1dx2dx2??v1， ，考虑到：dth1?h2dtdtdx2h1?v1（常数）知人影中头的速度：v影?。 dth1?h2两边对时间求导有：

4．质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式

为 ；子弹进入沙土的最大深度 。 解：由牛顿第二定律可得：f?m分离变量，可得：所以：v?v0ek?tmdvdv，则?kv?m dtdt0dvtdvkk??dt，两边同时积分，有：????dt，

v0v0vmm

（2）子弹进入沙土的最大深度也就是v?0的时候子弹的位移，推出：dx??mdv，而这k个式子两边积分就可以得到位移：xmax??

mmdv?v ?v0kk005．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为F?400?4?105t(N)，子弹从枪口射出3时的速率为300m/s。设子弹离开枪口处合力刚好为零。子弹走完枪筒全长所用的时间为 ；子弹在枪筒中所受力的冲量 ；子弹的质量为 。

解：（1）由于离开枪口处合力刚好为零，有：400?得：t?3?10?3s；

（2）由冲量定义：I?4?105t?0， 3?t0Fdt有：

6．如图，人造地球卫星近地点离地心r1=2R，（R为地球半径），远地点离地心r2=4R。卫星在远地点处的速率v（用地球半径R以及地球表面附近的重力加速

度g来表示）；卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ 。

0.00342I??（400??105t）dt?(400t??105t2)0.003?0.6N?s 0033I（3）再由m?，有：m?0.6/300?2?10?3kg。

v12Mm12mv1?G0?mv2?G022R2Mm考虑到：G02?mg，有： v1?RRgv2?6 远地点速度为：

解：

利用万有引力提供向心力，有：

Mm， 4R2Rg，v2?3Rg； 6G0Mm?2?mv2?，

可得到：??8R。 37．一火箭以0.8c 的相对速度经过地球朝月球飞去，以地球上的观察者来看，地月之间距离

8为l地-月?3.84?10m，按地球上的观察者来看，从地球到月球的旅程需要时间

为 ；按火箭上乘客来看，这段旅程需要时间则为 。

8解：对于地球上的观察者来看，l地-月?3.84?10m，

?v?0.8c，

l地-月3.84?108??1.（6s) ??t?v0.8?3?108对于火箭上的观察者来看，

l'2.3?108?0.96（s) ?t??8v0.8?3?10'

8. 质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为I的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然以相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度?为 。 解：此过程角动量守恒：mRv?I??0，有： ???mRv。 I

9．如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率为 ；在虚线位置轴对圆盘的作用力 。 解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，

下降过程机械能守恒，

113J?2 ，而J?mR2?mR2?mR2 2224g4Rg16Rg∴?? vc?R?? vA?2R?? 33R37 （2）Fy?mg?mR?2?mg，方向向上。

3有：mgR?

计算题

1. 质量m =10 kg、长l =40 cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m1 =10 kg的物体，如图所示．t = 0时,系统从静止开始运动，这时l1 = l2 =20 cm< l3．设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体m1速度和加速度的大小．

解：分别取m1和链条m为研究对象，坐标如图．

设链条在桌边悬挂部分为x，m1g?T?m1a，T?xgm/l?ma，解出a?1g(1?x/l)

2当链条刚刚全部滑到桌面时x = 0，a =1g? 4.9 m/s2

2dvdvdxdv a?????vdtdxdtdxvdv??adx??1g(1?x/l)dx

2v0x两边积分 ?2vdv???g(1?)dx

l0l2 T O m1 x 2v2?gl2?1gl2/l?(3/4)gl2 v?13gl2?1.21 m/s

22a?4.9m/s2，v?1.21m/s。

2. 有一条质量不计的弹簧，当下端悬有质量为0.1kg的砝码而达到平衡时，弹簧将伸长

2.5cm。如果将这一弹簧的上端固定在天花板上，下端悬一个质量为0.3kg的砝码，并将

砝码在弹簧原长时由静止释放，求此砝码下降多少距离后开始上升。 解：砝码在运动中只受重力和弹簧给予的弹力作用，牛顿运动方程为

???mg?F?maT

令竖直向下为x方向，释放点为坐标原点。有FT??kx，运动方程可写为

mg?kx?m

dvdt ①

dvdvdxdv??v有 dtdxdtdx ②

mg?kx?mv代入①式得到

dvdx 或

vdv?gdx?

kxdxm ③

根据初始条件，在开始释放点，x?0，v?0。在所求的开始上升点，砝码的速度为零，设此处位置坐标为x。对上式两边求定积分

得

?00vdv??gdx??0xkxdx0m

x0?gx?1k2x2m

解此方程，得x?0和x?2mg/k。其中x?0为释放点，舍去。x?2mg/k即所求的开始上升点。

由已知条件，当砝码

m0?0.1kg时达到平衡，有

m0g?kx0，因此

k?m0g/x0，从而

x?2mg/k?

2mx0?1.5?10?1mm0

m o l

3．如图，质量为m 长为l 的匀质细杆，可绕端点O 的固定水平轴转动，把杆抬平后无初速地释放，当杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰。小球的转动不计，它的质量和杆相同，并且碰撞是完全弹性的，轴上摩擦也忽略不计，求碰后小球的速度v。

m 解：杆下摆（定轴转动）能量守恒，

mg13l1122?(ml)? 2232碰时角动量守恒

(ml)??(ml)??mvl 碰时能量守恒

132''1122112'21'2(ml)??(ml)??mv 23232' m?m

?v?

4 如图所示，质量为m，半径为R的均匀球体沿固定在地面为?的斜面上向下作无滑动的纯滚动，求其质心的加速度。

解：图示球的受力情况：作用在质心C上的重力mg，垂

N 直于斜面的支持力N，接触质元沿斜面的静摩擦力f。若规定沿斜面向下是正方向，并设球体质心加速度为根据质心定理得

C f O mg θ 13gl 2R O θ aC，

mgsin??f?maC ①

对绕质心的转动，支持力N和重力mg对质心的力矩都为零，只有摩擦力对质心有力矩。若规定垂直纸面向里为正，并设球绕质心转动的角加速度为?，则由转动定理可得 式中

fR?IC? ②

IC是球对过质心且与纸面垂直的轴的转动惯量，

2IC?mR25 ③

由于球沿斜面作纯滚动，所以与斜面接触的质元O相对于地面的瞬时速度

vo?0，该

点即为该时刻的瞬心，质元O的实际运动可看成质心平动和绕质心转动的合运动，因此

v????

O?vC???CO

向坐标投影，写成标量式 0?vC?R?

即

vC?R?

将上式对时间求微商

dvC?d(R? dtdt)

因而 aC?R? 联立①—④式，解得 a C?57gsin?

④

点即为该时刻的瞬心，质元O的实际运动可看成质心平动和绕质心转动的合运动，因此

v????

O?vC???CO

向坐标投影，写成标量式 0?vC?R?

即

vC?R?

将上式对时间求微商

dvC?d(R? dtdt)

因而 aC?R? 联立①—④式，解得 a C?57gsin?

④

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