数学课程与教学论作业1

第一次作业：

1.阐述高中数学课程目标，谈谈你的认识。 答：（一）课程基本理念的变化“标准”中提出了高中数学课程的10项基本理念,归纳起来有以下几个方面:1、把高中数学课程定位为基础性和选择性;2、提倡积极主动、勇于探索的学习方式,注重提高学生的数学思维能力、发展学生的数学应用意识;3、与时俱进地认识“双基”,强调本质、注意适度形式化,还注意体现数学的文化价值;4、注重信息技术与数学课程的整合,要求建立合理、科学的评价体系。(二)课程目标的变化与以往的“一维教学目标”相比,“标准”提出的是“三维教学目标”,即知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观。(三)课程内容的变化现行高中数学教材分为必修和选修两个系列。按照目前的安排,所有高中学生都必须学习必修课的内容。对于选修课程的四个系列,学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望进行选择,为进一步获得较高数学素养奠定基础。其中选修系列1为文科类必选,系列2为理工类必选,系列3、4则为学生自选的数学课程,分别侧重纯粹数学和应用数学。

2.何谓数学认知结构，学生的数学认知结构如何形成，举例说明；

答：所谓数学认知结构，狭义地说就是学生头脑中的知识结构。广义地说，就是学生全部观念的内容和组织。每个学生的数学认知结构各有特点，个人的认知结构在内容和组织方面的特征，称为认知结构变量，可分为（1）一般的（长期的）认知结构变量。学生在中学数学的全部知识结构的内容和组织特征，这些特征影响他们在数学学习中未来的成绩。（2）特殊的（短期的）认知结构变量。学生在学习某一相对 小的知识单元时，他们的认知结构中对这一新的学习发生影响并有直接关系的概念、命题的内容和组织特征。

例如：同一数学知识结构的内容，可通过不同的数学认知结构去掌握，单纯的数学知识的积累，不等于数学认知结构的形成。数学的认知结构有一个由简单到复杂，由低级到高级的发展过程。 良好的数学认知结构的特征是：有足够多的观念；具备稳定而又灵活的产生式；层次分明的概念网络结构；一定的问题解决策略的观念。建构良好的数学认知结构的教学策略包括：熟悉学生原有的数学认知结构；创设良好的问题情境；良好的问题情境应具备以下条件：让学生明白自己将要学到什么或将要具备什么能力， 能造成认知冲突， 问题情境是学生熟悉的， 提出问题的方式和问题的难度是适宜的。突出数学思想方法的教学；注意整体性教学 ：注意知识组块的教学 ，实施由整体到部分，再由部分到整体的教学。 从数学问题解决的角度来考察，良好的数学认知结构的特征包括以下几个方面：

1． 足够多的观念现代认知心理学关于“专家系统”的研究表明，在某个领域内善于解决问题

2． 具备稳定而又灵活的产生式

足够多的观念仅仅是问题解决的必要条件。也就是说，你头脑中的知识越多，并不意味着你解决问题的能力越强。甚至问题解决者已具备了解决某一问题所需的全部知识，但却解决不了这个问题。

例如，如果学生一识别出三角形ABC是直角三角形，他就能作出反应：斜边的平方等于两条直角边的平方之和，那么，我们就说该学生已习得了这个产生式。假如被试是在被主试问到什么是勾股定理的情形下复述出勾股定理，我们不能肯定被试已习得这个产生式，因为他可能仅仅是从长时记忆中检索出勾股定理的言语信息，并没有学会将其应用于实际情境。学生是否习得产生式，关键是看他在问题情境中识别出条件信息后能否作出活动。尚未习得勾股定理产生式的学生当然不能解决与勾股定理相关的问题,尽管他脑中贮存有勾股定理的言语观念。

3.如何理解数学的抽象性，如何应用抽象与具体相结合原则进行教学？ 答：数学的抽象性表现在将事物的空间形式及数量关系作为研究对象数学抽象有着丰富的层次， 是逐级抽象并且伴随着高度的概括性。数学抽象还表现在广泛且有系统地使用符号， 。数学 抽象必须以具体素材为基础，还以广泛的具体性为归宿。数学的抽象与具体是相对的。互相 区别又是相互联系。 在数学教学中贯彻具体与抽象相结合的原则，应以学生的感知出发。以客观事实为基础。 从具体到抽象， 逐步形成抽象的数学概念上升为理论， 再由抽象到具体， 应用理论指导实践： （１）数学概念的阐述注意从实例引入； 。 （２）对一般性的数学规则，注意从特例引入。 （３）注意运用有关理论解析具体现象，解决具体问题。 （４）具体直现仅是手段，而培养抽象思维能力是目的。

4、证明：sin20 不是有理数，并对证明过程进行逻辑分析。

证明：因为sin3θ=3sinθ-4(sinθ) 3 令θ=20° 得到：sin60°=3sin20°-4(sin20°)3=√3/2 假设sin20°是个有理数， 那么3sin20°-4(sin20°) 3是关于sin20°的整系数多项式 也是有理数 与3sin20°-4(sin20°) 3=√3/2 所以sin20°必然是无理数。

5、用多种方法解答，并说明思维方法。

设x2

y2 z2，求证，对任意正实数

x，y，z及m，n

有mx ny zm2 n2 答：证一（三角法）由x+y=z，222

可设x=zsinQ，y=zcosQ，

则mx+ny=z msinQ ncosQ

n a arctan

m 证二（复数法）设z1=x+yi,z2=n+mi则 Q a zz1 2

zz12 x+yi n+mi

nx

my mx ny i mx ny

证三：（几何法）如图构造直角梯形

由梯形面积关系有

1 x+n y m 2111 xy mn 222

整理得mx ny x y a m n x 12

证四：（解析法）在直角坐标XoY中，以o为圆心，z为半径作圆

作直线mX+nY=0

m,n R+, 直线经过2,3象限

x,y R+,A x,y 在1象限且在圆上在Rt ABOAB z

z,即mx+ny 此外，也可用分析法、综合法、反证法，利用柯西不等式，利用判别式等。

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