弹簧问题例题及解析

弹簧问题

一、分离点

1、质量为M=3kg的小车放在光滑的水平地面上，物块A和B的质量均为m=1kg，且均放在小车的光滑水平地板上，物块A和小车右侧壁用一根轻弹簧连接，不会分离，如图所示。物块A和B并排靠在一起，现用力向右压B，并保持小车静止，使弹簧处于压缩状态，在此过程中外力做功135J，撤去外力，当AB A 和B分开后，在A达到小车地板的最左端位置之前，B已从小车左端抛出。求：B与A分离时，小车的速度是多大？

解析：A与B应在弹簧第一次恢复原长时分离，分离前A、B等速，设为vB，分离时小车速度为vM，则由动量守恒和机械能守恒，得：2mvB?MvM?01122?2mvB?MvM?EP?W22解得：vM?6m,vB?9mss

2、如图所示，一个弹簧台秤的秤盘和弹簧质量都不计，盘内放有一质量m=12kg并处于静止的物体P，弹簧劲度系数k=300N/m，现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始始终向上作匀加速直线运动，在这过程中，头0.2s内F是变力，在0.2s后F是恒力，则

(1)、物体P作匀加速运动的加速度大小为多少？ (2)、F的最小值、最大值分别为多少？

F P 解析：物体P与托盘分离的条件为相互间弹力为零。物体P与托盘分离前F为变力，分离后为F恒力。因托盘不计质量，所以分离时必是弹簧原长的时刻。mg?k?x，?x?解得：a?20m12at2

s2F最小值为P刚开始加速时，即：Fmin?ma?240NF最大值即为P刚要离开托盘时和离开托盘后，Fmax?mg?ma所以Fmax?m(g?a)?360N3、如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上端系一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m的小球，球被一垂直于斜面的挡板A挡住，此时弹簧没有形变，若手持挡板A以加速度a(a

A 解析：当球与挡板分离时，挡板对球的作用力为零，对球由牛顿第二定律得mgsin??kx?ma则球做匀加速运动的位移为x?由x?t?m(gsin??a)k12at得从挡板开始运动到球与挡板分离所经历的时间为22x2m(gsin??a)?aka

4、如图甲所示，一轻弹簧劲度系数为k，下面悬挂一质量为m的砝码A，手拿一块质量为M的木板B，用B托住A上压弹簧如图乙所示，此时若突然撤去B，则A向下的加速度为a(a>g)，现用手控制B使B以加速度a/3向下做匀加速直线运动。求砝码做匀加速直线运动的时间。

A A 甲

B 乙

解析：设最初弹簧压缩量为x1，A、B脱离时弹簧压缩量为x2，则由牛顿第二定律，得：kx1?mg?ma1kx2?mg?ma31ax1?x2??t223m解得：t?2k

讨论：a=3g、a<3g、a>3g三种情况下，x2的取值情况。

小结：分离点特点 ①N=0 ②最后的状态相同点，a相同。

二、相同弹性势能点

5、如图所示，劲度系数为K的轻弹簧的一端固定于O点，另一端连着质量为m

的小?球，今用手托着小球使弹簧处于原长，第一次用手缓慢的向下移动，最后手脱离小球时小球静止，在此过程中手对小球做功大小为W，第二次在弹簧处于原长时让手突然离开小球，当小球通过上次的静止位置时，其动能为多少？

解析：第一次运动由动能定理得：WG-W谈-W=0

第二次运动由动能定理得: W/G -W/谈=EK-0 两种运动中WG =W/G W谈= W/谈 故EK =W

6、（1997年全国）质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下A 端固定在地面上，平衡时弹簧的压缩量为x0,如图所示，一物体从钢板正3x0 上方距离为的A处自由落下打在钢板上并立刻于钢板一起向下运动但不0 x0 粘连，他们到达最低点后又向运动，已知物体质量也为m时，他们恰能m 回到O点，若物体质量为2m，仍从A处自由落下，则物体与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物体向上运动到达的最高点与O点的距离

解析：物体与钢板碰撞时的速度V0=

2gh=6gx0,设V1表示质量为m

的物体与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度,因碰撞时间极短，动量守恒mV0 =2mV1,刚碰完后

弹簧的弹性势能为EP，当他们一起回到O点时，弹簧无形变，弹性势能为零，根据题意，这时物体与钢板的速度为零，由机械能守恒得：EP+

1?2m?v12=2mg x0，设V2表示质量为2m的物体与钢板2碰撞开始一起向下运动的速度，则有2mV0 =3mV2，刚碰完时弹簧的弹性势能为E/P,他们回到O点时，弹性势能为零，但他们仍能继续向上运动，设此时速度为V，则有

E/P+

1?3m?v22?3mgx0?1??2在以上的两种情况中，弹簧的初始压缩量都是x0故有E/P=EP，23mv，2当质量为2m的物体与钢板一起回到O点时，弹簧的弹力为零，物体与钢板只受到重力作用，加速

度为g，过O点后，钢板受到弹簧向下的拉力作用，加速度大于g，由于物体与钢板不粘连，物体不可能受到钢板的拉力，其加速仍为g,故在O点物体与钢板分离，分离后物体以速度V竖直上抛,则有以上各式可得，物体向上运动所到最高点与O点的距离为

1X0 2

7、A、B两个矩形木块用轻弹簧相连接，弹簧的劲度系数为k，木块A的质量为2m，将他们竖直叠放在水平地面上，如图所示

C

H A B （1）、用力将木块A缓慢的竖直向上提起，木块A向上提起多大高度时，木块B将离开水平地面

（2）、如果将另一块质量为m的物体C从距木块A高H处自由下落，C与A相碰后，立即与A连在一块不再分开，再将弹簧压缩，此后，AC向上弹起最终能使木块B刚好离开地面,如果木块C的质量减为m/2，要使木块B不离开水平地面那么木块自由落下的高度h距A不能超过多少?

解析：（1）、A、B用轻弹簧相连接，竖直放置时，弹簧压缩，由于A受重力和弹力平衡得弹簧

mg，A提起到B将要离开水平地面时，弹簧伸长因是缓慢提起，故B所受的重力k2mg3mg和弹力平衡得弹簧伸长量X2?，A向上提起的高度为X1?X2?

kk压缩量X1?（2）、C自由落下到与A相碰前的速度为V?为V1,有mv=(m+m) V1,C与A具有的动能为

2gH，C与A相碰后一起向下运动的出速度设

1?m?m?V12?1mgH，C和A将弹簧压缩后，在22深长，到B刚离开地面，这个过程中，AC上升了X1?X2，重力势能增加了2mg(X1?X2)弹簧的弹性势能增加量为EP,有

1mgH?2mg?X1?X2??EP,若C的质量变为m/2（成为物体D），2物体D从距物体A高h处自由落下，将使B刚好能离开水平地面，这时物体D自由下落与A相碰后具有的动能为

1mgh，D与A上升距离?X1?X2?时，速度刚好为零，则有613mgh?mg?x1?x2??EP解得 623mg?3mg???，要使B不离开地面。物体下落的高度h?3?H?h?3H???? k?k???小结：相同的弹性势能点往往是题目最重要的隐含条件这类题目巧妙地

进行了弹性势能的定性考察，绕开了弹性势能的定量计算

三、最大弹性势能点

8、如图所示，A、B量物体的质量分别是m1?5kg,m2?3kg。它们在光滑水平面上沿同一直线向右运动，速度分别为v1?5m/s，v2?1m/s。当A追上B后，与B上固定的质量不计的弹簧发生相互作用。弹簧被压缩后再伸长，把A、B两物体弹开。已知A、B两物体作用前后均沿同一直线运动，弹簧压缩时未超过弹性限度。求碰撞中弹簧具有的最大弹性势能是多少？

v1 A v2 B 解析A相对B静止时，弹簧压缩最短，弹性势能最大，这时A、B速度相同，根据动量守恒定律得：m1v1?m2v2?(m1?m2)v所以共同运动的速度v?m1v1?m2v25?5?3?1?m/s?3.5m/sm1?m25?3由机械能守恒定律有：11122m1v1?m2v2?(m1?m2)v2?EP222所以弹簧的最大弹性势能11122m1v1?m2v2?(m1?m2)v2222111??5?52??3?12??(5?3)?3.52222?15JEP?

9、A、B两物体的质量之比为mA：mB=1：2。用质量不计的弹簧把它们连接起来，放在光滑水平面上。A物体靠在固定板上，如图所示。用力向左推B物体，压缩弹簧，当外力做功为W时，突然撤去外力。从A物体开始运动以后，弹性势能的最大值是

A、W/3 B、W/2 C、2W/3 D、W

A B

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