专转本模拟试题与解析（一）

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（一）解析

高等数学

注意事项：

1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。

2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。 3.本试卷五大题24小题，满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、x?0是f(x)?xsinA、可去间断点

1的（ ） x12B、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点

2、若x?2是函数y?x?ln(?ax)的可导极值点，则常数a?（ ） A、?1 3、若

B、

11 C、? D、1 22?f(x)dx?F(x)?C，则?sinxf(cosx)dx?（ ）

B、?F(sinx)?C

A、F(sinx)?C

C、F(cos)?C D、?F(cosx)?C

4、设区域D是xoy平面上以点A(1,1)、B(?1,1)、C(?1,?1)为顶点的三角形区域，区域D1是D在第一象限的部分，则：A、2??(xy?cosxsiny)dxdy?（ ）

D??(cosxsiny)dxdy

D1B、2??xydxdyD1

C、4??(xy?cosxsiny)dxdy

D1D、0

5、设u(x,y)?arctan，v(x,y)?lnxyx2?y2，则下列等式成立的是（ ）

A、

?u?v? ?x?yB、

?u?v? ?x?x

1

C、

?u?v ??y?xD、

?u?v ??y?y6、正项级数(1)

?un?1?n、(2)

?u

n?1

?

3n

，则下列说法正确的是（ ）

A、若（1）发散、则（2）必发散 B、若（2）收敛、则（1）必收敛 C、若（1）发散、则（2）不定

D、若（1）、（2）敛散性相同

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

ex?e?x?2x? 7、limx?0x?sinx8、函数f(x)?lnx在区间?1,e?上满足拉格朗日中值定理的?? 9、

?1?x?11?x2?1? 10、设向量???3,4,?1?、???2,1,k?；且?、?互相垂直，则k? 11、交换二次积分的次序12、幂级数

?dx??101?x2x?1f(x,y)dy?

?(2n?1)xn?1?n的收敛区间为

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。

?f(x)?2sinxx?0?13、设函数F(x)?? 在???,???内连续，并满足：f(0)?0、xx?0?a?f?(0)?6，求a。

2

x?cost?dyd2y14、设函数y?y(x)由方程?所确定，求、。 2dxdx?y?sint?tcost

15、计算?tan3x?secxdx。

16、计算?10arctanxdx。

3

?z?2z17、已知函数z?f(sinx,y)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求、。

?x?x?y2

18、求过点A(3,1,?2)且通过直线L:

x?4y?3z??的平面方程。 521x219、将函数f(x)?展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间。

2?x?x2

4

20、求微分方程xy??y?ex?0满足yx?1?e的特解。

四、证明题（每小题9分，共18分）

21、证明方程：x?3x?1?0在??1,1?上有且仅有一根。

3

??(x),x?0,?22、设f(x)??x其中函数?(x)在x?0处具有二阶连续导数，且

?x?0,?1,?(0)?0,??(0)?1，证明：函数f(x)在x?0处连续且可导。

5

五、综合题（每小题10分，共20分）

23、已知曲边三角形由y2?2x、x?0、y?1所围成，求： （1）、曲边三角形的面积；

（2）、曲边三角形饶X轴旋转一周的旋转体体积。

24、设f(x)为连续函数，且f(2)?1，F(u)?（1）、交换F(u)的积分次序； （2）、求F?(2)。

?u1dy?f(x)dx，(u?1)

yu

6

江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（一）

高等数学

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。

1、x?0是f(x)?xsinA、可去间断点

1的（ ） xB、跳跃间断点 C、第二类间断点 D、连续点

limf(x)?f(x0)。实际上包含三个条件 解析：函数f(x)在x0处连续的定义为x?x0（1） 函数f(x)在x0处必须有定义； （2） 函数f(x)在x0处的极限存在；

（3） 函数f(x)在x0处的极限值必须等于函数值；

当上述三个条件不全满足时的点即为函数f(x)的间断点。而初等函数在定义区间之内均是连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。 根据点x0处的极限情况来加以分类：

??相等：可去间断点左右极限均存在：第一类????不相等：跳跃间断点?若有一个为?：无穷间断点?左右极限至少有一个不存在：第二类????均不为无穷，函数不停振荡：振荡间断点?而limf(x)?limx?sinx?0x?01?0，即函数在x?0处没有定义，但左右极限均存在且相等，故x本题答案选A

2、若x?2是函数y?x?ln(?ax)的可导极值点，则常数a?（ ） A、?1

B、

1211 C、? D、1 22

解析：该题考察函数f(x)极值点的必要条件，若x?x0处可导且为极值点，则f?(x0)?0,故本题y?(2)?0即(1?a1?ax2，

)x?21?0，于是a??，故本题答案选C

27

3、若

?f(x)dx?F(x)?C，则?sinxf(cosx)dx?（ ）

B、?F(sinx)?C

A、F(sinx)?C

C、F(cos)?C D、?F(cosx)?C 解析：该题考察不定积分的基本概念以及凑微分法。

求f(x)的不定积分就是找那些导数为f(x)的所有函数全体，不定积分求解正确与否，只要反过来求导是否为被积函数即可。

?sinxf(cosx)dx???f(cosx)dcosx??F(cosx)?C

故本题答案选D

4、设区域D是xoy平面上以点A(1,1)、B(?1,1)、C(?1,?1)为顶点的三角形区域，区域D1是D在第一象限的部分，则：A、2??(xy?cosxsiny)dxdy?（ ）

D??(cosxsiny)dxdy

D1B、2??xydxdyD1

C、4??(xy?cosxsiny)dxdy

D1D、0

解析：该题考察函数奇偶性（对称性）的二重积分在对称区域上的积分性质。

设积分区域D关于x 轴对称，

(1) 若f(x,y)关于y是奇函数，则有

(2) 若f(x,y)关于y是偶函数，则有 其中D1是D的上半区域。

类似的，若积分区域D关于y轴对称，

(1) 若f(x,y)关于x是奇函数，则有

(2) 若f(x,y)关于x是偶函数，则有 其中D1是D的右半区域。

8

??f(x,y)d??0;D??f(x,y)d??2??f(x,y)d?,DD1??f(x,y)d??0;D??f(x,y)d??2??f(x,y)d?,DD1y D2D1D3D4o x

D分为4部分D1,D2,D3,D4,则: 如图将 (xy?cosxsiny)dxdy D ?xydxdy?cosxsinydxdy?xydxdy?cosxsinydxdyD1?D2D3?D4D3?D4 D1?D2 ?2cosxsinydxdy,

D1

????????????故本题答案选A

5、设u(x,y)?arctan，v(x,y)?lnxyx2?y2，则下列等式成立的是（ ）

A、

?u?v? ?x?y?u?v? ?y?xB、

?u?v? ?x?x

C、D、

?u?v? ?y?y解析：该题考察二元显函数偏导数的求法，偏导数的本质就是将其中一个变量当作常量对另一个变量的导数。

?u??x111y2222v(x,y)?lnx?y?ln(x?y)， ??，2222xyx?y1?2y?v11y?u?v??2y??，即，故本题答案选A?y2x2?y2x2?y2?x?y

9

6、正项级数(1)

?un?1?n、(2)

?u

n?1

?

3n

，则下列说法正确的是（ ）

A、若（1）发散、则（2）必发散 B、若（2）收敛、则（1）必收敛 C、若（1）发散、则（2）不定

D、若（1）、（2）敛散性相同

解析：该题考察正项级数的收敛性质，比较审敛法。 若正项级数

?un?1?n收敛，则

?un?1?kn(k?1)一定收敛，因为当n足够大时，

??0?un?un，由比较审敛法知?un收敛。若正项级数?un发散，则?unk(k?1)的敛散

kkn?1?n?1n?1性不能确定。如un?1n13与un?1n23。（请读者自行验证）

故本题答案选C (其它选项可以举反例)

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共24分，请把正确答案的结果添在划线上）。

ex?e?x?2x? ； 7、limx?0x?sinx解析：求极限时，先判断极限类型，若是以转化为

0?或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可0?0?或型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通0?过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。

ex?e?x?2xex?e?x?2ex?e?x?2?lim?limlim12x?sinx1?cosxx?0x?0x?0x 2ex?e?x?lim?lim(ex?e?x)?2xx?0x?0

8、函数f(x)?lnx在区间?1,e?上满足拉格郎日中值定理的?? ； 解析：在江苏省“专转本”考试中，微分中值定理考察的层次为识记与理解。主要考察罗尔

定理与拉格朗日定理的条件与结论，定理的条件是充分的，但不必要。若遇到证明至少存在一点?的表达式，特别是带有导数的，一般都是利用罗尔定理构造辅助函数证明。

10

f(e)?f(1)?f?(?)?(e?1)，即f?(?)?11?f(?)?x，所以?

1e?1

又f?(x)?1于是? 9、

?1??e?1。 ，得e?1?1?x?11?x2?1? ；

解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质。

?a?a0,f(x)为奇函数?? f(x)dx??a2f(x)dx,f(x)为偶函数???0?1?x?11?x2?1??1?x1?x?1+2?10111=0+2?01?x2?11?x21=2arctanx

?2(?0)?42??

10、设向量???3,4,?1?、???2,1,k?；?、?互相垂直，则k? ； 解析：该题考察向量的基本运算——数量积运算。两向量数量积为对应分量乘积之和，结果

是一个数量。两向量垂直的充要条件是数量积为0。（平行的充要条件是向量积为0向量或分量对应成比例）

???2,1,k??6?4?k?0，得k?10。 由条件?????3,4,?1

11、交换二次积分的次序

?dx??101?x2x?1f(x,y)dy? ；

解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别

是对称型简化积分计算。 在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序。

0?y?1?1?x?0????积分区域 D:?转化为D:?22???x?1?y?1?x??1?y?x?y?1故

?0?1dx?1?x2

x?1f(x,y)dy??dy?01y?1?1?y2f(x,y)dx。

11

12、幂级数

?(2n?1)xn?1??n的收敛区间为 ；

解析：对于幂级数

?anxn，如果limn?0n??an?1，则 ??（或limnan??）n??an收敛半径R?1?，收敛区间为??R,R?。若幂级数

?axnn?0?n缺少的奇次项（偶次项）或上述

极限不存在（不是无穷），则此时将x当作常量转化为常数项级数处理。 本题limn??an?112n?1?lim?1，所以R??1，收敛区间为??1,1?。 n??2n?1?an对于幂级数

?a(x?x)n0n?0?n只需作变量代换x?x0?t即可。

三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）。

?f(x)?2sinxx?0?13、设函数F(x)?? 在???,???内连续，并满足：f(0)?0、xx?0?a?f?(0)?6，求a。

解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相

同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照连续性定义讨论即可。

F(x)在x?0连续，等价于limF(x)?F(0)，也即

x?0limf(x)?2sinxf(x)2sinx?lim?limx?0x?0x?0xxx 解得a?8。

f(x)?f(0)?lim?2?f?(0)?2?8x?0x?0

x?cost?dyd2y14、设函数y?y(x)由方程?所确定，求、。 2dxdx?y?sint?tcost解析：由参数方程所确定函数的导数是常考的一个内容，首先需要熟记一阶导公式：

dydy?2??dydydydydtdt（将t当作中?y??dt（各自对参数t导数的比值）???，2?dxdxdxdxdtdxdxdtdt间变量，本质为复合函数求导）

12

dydydtcost?cost?tsint????t； dxdx?sintdtd2y(y?)??1t???csct。 dx2xt??sint

315、计算tanxsecxdx。

?解析：该题考察三角函数的积分，熟记三角函数公式，常用导数公式。

?tan3xsecxdx

??tan2xtanxsecxdx??(sec2x?1)dsecx??sec2xdsecx?secx1?sec3x?secx?C3 16、计算

?arctanxdx。

01解析：该题考察定积分的分部积分，注意u的选择。

当被积函数为五种基本初等函数中某两类不同类型函数的乘积时，一般采用分部积分法，关键是u的选择，一般按照“反（三角函数）、对（数函数）、幂（函数）、三（角函数）、指（数函数）”的优先顺序选择u，另外部分凑成某个函数的微分（那个函数即为v）

x?11d(1?x2)原式?xarctanx?? dx???01?x20421?x21011?ln(1?x2)10 42?1??ln2 42?

??z?2z17、已知函数z?f(sinx,y)，其中f(u,v)有二阶连续偏导数，求、。

?x?x?y2解析：该题型是几乎每年必考，需要认真掌握。 第一步：变量x,y,z的关系网络图

13

???1?z???2??xyxy

其中1，2分别表示sinx,y2

第二步：寻找与x对应的路径???，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”

?z?2z'''''?cosx?f1， ?cosx(f12?2y)?2ycosxf12?x?x?y

18、求过点A(3,1,?2)且通过直线L:x?4y?3z??的平面方程。 521?解析：求平面方程，基本方法是使用点法式，求出平面上的一个定点和法向量n。

平面上的定点A(3,1,?2)已知，又直线L:?量法向量s??5,2,1?，AB??1,?4,2?；故

ijk??????n?s?AB?521??8,?9,?22?

1?42x?4y?3z??过点B??4,?3,0?，其方向向521平面点法式方程为： 8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0，即8x?9y?22z?59。

x219、把函数f(x)?展开为x的幂级数，并写出它的收敛区间。

2?x?x2解析：函数展开成幂级数是很多同学在解题时遇到的一个很棘手的问题，大家普遍反映这个很难。此处给予较详细的讲解；

函数f(x)展开成幂级数，一种是在x?0展开，展开成形如

?axnn?0?n?n的幂级数。

还有一种是在x?x0展开，展开成形如

??a(x?x)0n?0n的幂级数

其中展开成形如

?axnn?0n的幂级数是最基本的，解题之前，需熟记下列常用展开式

14

x2x3xn?????? ???（1）e?1?x? x??2!3!n!x （2）

1?1?x?x2?x3???xn?? ?1?x?1 1?x 将上式中x换成?x，则上式变为

11??1?x?(?x)2?(?x)3???(?x)n??

1?(?x)1?x因为

x11dx?ln(1?x)?c，?1?x?01?xdx?ln(1?x)对上式两边积分可得

ln(1?x)的幂级数展开式

n?1x2x3x4nx?????(?1)?? ?1?x?1 （3）ln(1?x)?x?234n?1x3x5x2n?1n（4）sinx?x?????(?1)?? ???x??

3!5!(2n?1)! 因为(sinx)??cosx，对上式两边关于x求导可到下式

2nx2x4nx（5）cosx?1?????(?1)?? ???x?? 2!4!(2n)!综上，对于需要熟记的几个常用的初等函数的幂级数展开式，如果学得灵活，只需熟记（1）、

（2）、（4）即可。其他的可通过积分或是求导的方法得到。 如果以上五个函数需要展开成形如

?a(x?x)n0n?0?n的幂级数，只需将式子中的x换成x?x0

例如：

1?1?(x?x0)?(x?x0)2?(x?x0)3???(x?x0)n??

1?(x?x0)将函数展开成幂级数，首先是将需要展开的函数分解为以上五个函数的形式，然后使用已有的函数展开式。

x211x21x21(?)????解法：f(x)?

x31?x32?x1?x61?2x2?3?(?1)n?n?1??n?1?x，收敛域为?1?x?1。这里用到

n?0?2??15

1?1?x?x2?x3???xn?? ?1?x?1 1?x1?1?ax?1?1?(ax)?(ax)2?(ax)3???(ax)n??1?(ax)

关于函数展开成幂级数的几点说明：

1、 函数展开成幂级数，首先需要将函数通过分解，拼凑，求导或是积分等手段转化为上面

给出的五个函数的展开式的形式。

例如：将函数cosx展开成关于x的幂级数。 首先需要转化，转化方法多样。

2cos2x?1?cos2x2 (cosx??)22cxo?s(xsi?n?) in(2)xs以上转化的一些函数都可以展开为幂级数，只是通过求导或是积分转化的较麻烦，还需

再积分或是求导，得到原来函数的幂级数展开式。

例如：将函数ln(2?x)展开成关于x的幂级数。 首先需要转化，因为已有的展开式为

n?1x2x3x4nxln(1?x)?x??????(?1)??234n?1

ln(2?x)中的2需要变为1，也即需要单位化，可提取2，即转化为

xxln(2?x)?ln[2(1?)]?ln2?ln(1?)

22xxxx()2()3()4()n?1xxln[1?()]?()?2?2?2???(?1)n2??22234n?1

例如：将函数arctanx展开成关于x的幂级数。

(arctanx)??11?1?x21?(?x2)

?1?1?x?x2?x3???xn?? ?1?x?1 1?x2将上式中的x换为?x，即得

1

的幂级数展开式。 1?x2

16

再由关系式arctanx??x0(arctanx)?dx??1dx可得幂级数展开式。

01?x2x函数展开成幂级数，还可对展开式两边乘、除以某些项，但必须使得最后结果仍然是幂级数。

例如：将函数xln(2?x)展开成关于x的幂级数。 只需将ln(2?x)?ln[2(1?)]?ln2?ln(1?)2x2x2

xxxx()2()3()4()n?1x?ln2?()?2?2?2???(?1)n2??2234n?1

两边同乘x即可。 例如：将函数

2cosx展开成关于x的幂级数，只需在cosx的展开式两边同除以x即可。 x2、 求函数的幂级数展开式，大家需要认识到，幂级数是表示函数的一种方法，既然幂级数

本质上是函数，那么，就需要求函数的定义域，也即幂级数的收敛域。 20、求微分方程xy??y?ex?0满足yx?1?e的特解。

解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是一阶线性非齐次方程。 标准形式：

dy?P(x)?y?Q(x)，其通解为 dx?P(x)dx??P(x)dxdx?C? y?e???Q(x)e???微分方程xy??y?e?0化为

xdy1ex??y?， dxxx通解为

11xxdx?eCe?xdx????exdx?C??? y?e?x?xx???ex因为y(1)?e，e?e?C，所以C?0，故特解为y?。

x另外，有时需将变量x和y对调位置，化为

dx?P(y)?x?Q(y)。 dy17

?P(y)dy??P(y)dydy?C? Q(y)e其通解为 x?e??????四、证明题（每小题9分，共18分）

21、证明方程：x?3x?1?0在??1,1?上有且仅有一根。

3解析：证明方程f(x)在某区间?a,b?上根的个数问题，先证根的存在性，一般用零点定理（若与导数有关，有时可以用罗尔定理），结合单调性考察。

证明：令f(x)?x3?3x?1，x???1,1?，且f(?1)?3?0，f(1)??1?0，

f(?1)?f(1)?0，

由连续函数零点定理知，f(x)在(?1,1)上至少有一实根；

又f?(x)?3x2?3?3(x2?1)，当?1?x?1时，f?(x)?0，即f(x)单调递减，

综上，方程x?3x?1?0在??1,1?上有且仅有一根。

3

??(x),x?0,?22、设f(x)??x其中函数?(x)在x?0处具有二阶连续导数，且

?x?0,?1,?(0)?0,??(0)?1，证明：函数f(x)在x?0处连续且可导。

解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相

同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照连续性、可导性定义讨论即可。

f(x)在x?0连续，等价于limf(x)?f(0)，也即

x?0limf(x)?limx?0x?0?(x)xx?0?(x)?1f(x)?f(0)f?(0)?lim?limxx?0x?0x?0x?(x)?x??(x)?1?lim?lim， x?0x?0x22x1??(x)???(0)?lim2x?0x?011?lim???(x)????(0)，可导性得证。 2x?02x?0?lim?(x)??(x)???(0)?1?f(0)，连续性得证；

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五、综合题（每小题10分，共20分）

23、已知曲边三角形由y2?2x、x?0、y?1所围成，求： （1）、曲边三角形的面积；

（2）、该曲边三角形绕x轴旋转一周的旋转体体积。

解析：该类题型是定积分应用中常考的题型，但是近两年在该知识点常出综合题。结合微分方程，极限等知识点出题。 （1）S?1213ydy?y?026110?1； 6（2）Vx??

?1201?(12?2x)dx??(x?x2)2?。

04uu24、设f(x)为连续函数，且f(2)?1，F(u)?（1）、交换F(u)的积分次序； （2）、求F?(2)。

?1dy?f(x)dx，(u?1)

y解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。 在直角坐标系下，首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序。

积分区域D为：1?y?u，y?x?u （1）F(u)???Df(x)d???dx?f(x)dy??(x?1)f(x)dx；

111uxu（2）F?(u)?(u?1)f(u)，F?(2)?(2?1)f(2)?f(2)?1。

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