拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节 拉普拉斯变换

在代数中，直接计算

N?6.28?357819.8是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为

?20?(1.164)

235然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N。

这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。

13lgN?lg6.28?(lg5781?lg9.8?2lg20)?lg1.16435

一、拉氏变换的基本概念

定义12.1 设函数f(t)当t?0时有定义，若广义积分

???0f(t)e?ptdt在P的某一区域内

收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P)，即

0 （12.1）

称（12.1）式为函数f(t)的拉氏变换式，用记号L[f(t)]?F(P)表示。函数F(P)称为f(t)F(P)????f(t)e?ptdt的拉氏变换(Laplace) (或称为f(t)的象函数)。函数f(t)称为F(P)的拉氏逆变换（或称为，记作 F(P)象原函数）

L?1[F(P)]?f(t)，即f(t)?L?1[F(P)]。

关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：

（1）在定义中，只要求f(t)在t?0时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在t?0时，f(t)?0。

（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。

（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。

例12.1 求斜坡函数f(t)?at （t?0，a为常数）的拉氏变换。

解：L[at]????0ate?ptdt??a?0?p???0a??a?pt??a???pt?pttd(e)?[?e]0??edt ?0ppp0aa??e?ptdt?[?2e?pt]0?2(p?0)pp

1

二、单位脉冲函数及其拉氏变换

在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t?0)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i(t)，以Q(t)表示上述电路中的电量，则

由于电流强度是电量对时间的变化率，即

?0,t?0,Q(t)???1,t?0.

dQ(t)Q(t??t)?Q(t)?lim?t?0dt?t，

所以，当t?0时，i(t)?0；当t?0时，

i(t)?i(0)?limQ(0??t)?Q(0)1?lim(?)???t?0?t?0?t?t。

上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强

度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。

定义12.2

t?0?0,?1?设??(t)??,0?t??，当??0时，??(t)的极限?(t)?lim??(t)

??0??t????0,称为狄拉克（Dirac）函数，简称为δ-函数。

?0,?(t)?当t?0时，?(t)的值为0；当t?0时，?(t)的值为无穷大，即???,???1??显然，对任何??0，有???(t)dt??dt?1，所以??(t)dt?1。

??0t?0t?0。

???工程技术中，常将??函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将??函数用一个长度

等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示??函数的积分，叫做??函数的强度。

例12.2 求单位脉冲信号?(t)的拉氏变换。 解：根据拉氏变换的定义，有

L[?(t)]????0?(t)e1?ptdt???0(lim1??0?)e?ptdt?lim??0????0?e?ptdt?lim??0??01?e?ptdt

e?pt?11?e?p?1(1?e?p?)?1pe?p??lim[?]0?lim?lim?lim?1??0?pp??0?p??0(?)?p??01，

即

L[?(t)]?1。

?0,例12.3 现有一单位阶跃输入u(t)???1,解：L[u(t)]?t?0t?0，求其拉氏变换。

?0??0u(t)e?ptdt??1?e?ptdt?[?0at??1?pt??1e]0?，(p?0)。 pp例12.4 求指数函数f(t)?e（a为常数）的拉氏变换。 解：L[e]?at???e?eat?ptdt??e?(p?a)tdt?0??1，(p?a)，即 p?a 2

L[eat]?类似可得L[sin?t]??p2??1(p?a)p?a

(p?0)；L[cos?t]?2p(p?0)。 22p??三、拉氏变换的性质

拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。

性质12.1 (线性性质) 若a1，a2是常数，且L[f1(t)]?F1(p)，L[f2(t)]?F2(p)，则

L[a1f1(t)?a2f2(t)]?a1L[f1(t)]?a2L[f2(t)]?a1F1(P)?a2F2(p) （12.2）

证明：

L[a1f1(t)?a2f2(t)]????0[a1f1(t)?a2f2(t)]e?ptdt?a1???0f1(t)e?ptdt?a2???0f2(t)e?ptdt ?a1L[f1(t)]?a2L[f2(t)]?a1F1(p)?a2F2(p)

例12.5 求函数f(t)?解：

1(1?e?at)的拉氏变换 a1111111L[(1?e?at)]?L[1?e?at]?{L[1]?L[e?at]}?{?}?aaaapp?ap(p?a) 性质12.2（平移性质） 若L[f(t)]?F[p]，则

L[ef(t)]?F(p?a)（a为常数） （12.3） 证明：

位移性质表明：象原函数乘以e等于其象函数左右平移|a|个单位。

00atatL[ef(t)]?at???ef(t)e?atat?ptdt????f(t)e?(p?a)tdt?F(p?a)例12.6 求L[te]，L[e解 因为L[t]?atsin?t]和L[e?atcos?t]。

1?p，，，由位移性质即得 L[cos?t]?L[sin?t]?22222p??pp??1??atL[teat]?，L[esin?t]?，(p?a)2(p?a)2??2p?aL[e?atcos?t]?。22(p?a)??

性质12.3（滞后性质） 若L[f(t)]?F[p]，则

L[f(t?a)]?e?apF(p) (a?0) （12.4）

证明：

a=0，

在拉氏变换的定义说明中已指出，当t?0时，f(t)?0。因此，对于函数f(t?a)，

0L[f(t?a)]????f(t?a)e?ptdt?af(t?a)e?ptdt????f(t?a)e?ptdt当t?a?0（即t?a）时，f(t?a)?0，所以上式右端的第一个积分为0，对于第二个积分，令t?a??，则

L[f(t?a)]?

???0f(?)e?p(??a)d??e3

?ap???0f(?)e?p?d??e?apF(p)

滞后性质指出：象函数乘以e?ap等于其象原函数的图形沿t轴向右平移a个单位。 由于函数f(t?a)是当t?a时才有非零数值。故与f(t)相比，在时间上滞后了一个a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在f(t?a)这个函数上再乘u(t?a)，所以滞后性质也表示为

例12.7 求L[u(t?a)]。 解：因为L[u(t)]?L[u(t?a)f(t?a)]?e?apF(p)

1?ap1，由滞后性质得L[u(t?a)]?e。 ppa(t??)例12.8 求L[eu(t??)]。

11ata(t??)解：因为L[e]?，所以L[e，(p?a) u(t??)]?e??pp?ap?a?0,t?0?c,0?t?a?f(t)?例12.9 已知，求L[f(t)]。 ?2c,a?t?3a???0,t?3a解： f(t)可用单位阶梯函数表示为f(t)?cu(t)?cu(t?a)?2cu(t?3a)，于是 L[f(t)]?L[cu(t)?cu(t?a)?2cu(t?3a)

cccc??e?ap?2e?3ap?(1?eap?2e?3ap)pppp ，

由拉氏变换定义来验证：

L[f(t)]??

?a0ce?ptdt??3aa2ce?ptdt

cc(1?e?ap?2e?ap?2e?3ap)?(1?e?ap?2e?3ap)pp。

'性质12.4（微分性质） 若L[f(t)]?F[p]，并设f(t)在[0，+?)上连续，f(t)为分

段连续，则

L[f?(t)]?pF(p)?f(0) (12.5)

证明：由拉氏变换定义及分部积分法，得

L[f?(t)]????0f?(t)e?ptdt?[f(t)et????pt??0]?P???0f(t)e?ptdt，

可以证明，在L[f(t)]存在的条件下，必有limf(t)e?pt?0。因此，

微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p，再减去函数的初始值。

应用上述结果，对二阶导数可以推得 同理，可得

L[f?(t)]?0?f(0)?pL[f(t)]?pF(p)?f(0)

L[f??(t)]?pL[f?(t)]?f?(0)?p{pF(p)?f(0)}?f?(0)?p2F(p)?{pf(0)?f?(0)}

L[f???(t)]?p3F(p)?{p2f(0)?pf?(0)?f??(0)}

以此类推，可得

L[f(n)(t)]?pnF(p)?{pn?1f(0)?pn?2f?(0)??f(n?1)(0)} （12.6）

由此可见，f(t)各阶导数的拉氏变换可以由p的乘方与象函数F[p]的代数式表示出

4

来．特别是当初值f(0)?f'(0)?f''(0)?f(n?1)(0)?0时，有更简单的结果

L[f(n)(t)]?pnF(p)，(n?1,2,?) （12.7）

利用这个性质，可将f(t)的微分方程转化为F(p)的代数方程。 例12.10 利用微分性质求L[sin?t]和L[cos?t]。

解：令f(t)?sin?t，则f(t)?sin?tf(0)?（12.6）式，得 即

0,f'(?0)?f,\?0)??2，?sint由

L[??2sin?t]?L[f??(t)]?p2L[f(t)]?pf(0)?f?(0)，

??2L[sin?t]?p2L[sin?t]??，

移项化简得

L[sin?t]?利用上述结果，cos?t??p??22

1?(sin?t)'及（12.5）式，可得

1L[cos?t]?L[1?(sin?t)?]?{p??L[(sin?t)?]??0}?1?{pL[sin?t]?sin0}p?p2??2p2??2．

性质12.5（积分性质） 若L[f(t)]?F(p) (p?0)，且设f(t)连续，则

?1?

L[证明：令?(t)??t0f(x)dx]?F(p)p （12.8）

?t0f(x)dt，显见?(0)?0，且因?'(t)?f(t)，由微分性质，得

ttL[??(t)]?pL[?(t)]??(0)，而L[??(t)]?L[f(t)]?F(p)，所以有

F(p)?pL[?(t)]?pL[?f(x)dx]，即L[?f(x)dx]?001F(p)。 p积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数p。 例12.11 求L[t]（n是正整数）。 解：因为

nt??t01dx，t?2?t02xdx，t?3?t03xdx2，…，

t?n?t0nxn?1dx，

所以由（12.8）式即得

L[1]p1!L[t]?L[1dx]???2,0pppt2L[t]2!2L[t]?L[2xdx]??3,0pp?t1?L[t]?L[3

一般地，有

n3?t03L[t2]3!xdx]??4,pp

2L[t]?L[n

?t0xn?1nL[tn?1]n!dt]??n?1pp

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