2008年全国统一高考数学试卷ⅰ(文科)及解析

2008年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）函数y=

的定义域为（ ）

A．{x|x≤1} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1或x≤0} D．{x|0≤x≤1} 2．（5分）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（ ）

A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2 D．不能确定 3．（5分）（1+）的展开式中x的系数（ ） A．10

B．5

C．

35

2

D．1

4．（5分）曲线y=x﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．120° 5．（5分）在△ABC中，A．

B．

C．

2

，．若点D满足 D．

，则=（ ）

6．（5分）y=（sinx﹣cosx）﹣1是（ ）

A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数

7．（5分）已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=（ ） A．64 B．81 C．128 D．243 8．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（ ） A．e

2x﹣2

B．e C．e

2x2x+1

D．e

2x+2

的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）

9．（5分）为得到函数A．向左平移C．向左平移

个长度单位 个长度单位

B．向右平移D．向右平移

2

2

个长度单位 个长度单位

10．（5分）若直线

2

2

2

2

=1与图x+y=1有公共点，则（ ）

D．

A．a+b≤1 B．a+b≥1 C．

11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（ ）

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A．

B．

C．

D．

12．（5分）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（ ）

A．6种 B．12种 C．24种 D．48种

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）若x，y满足约束条件

2

，则z=2x﹣y的最大值为 ．

14．（5分）已知抛物线y=ax﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．

15．（5分）在△ABC中，∠A=90°，tanB=．若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e= ． 16．（5分）已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离等于 ．

三、解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4． （Ⅰ）求边长a；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=10，求△ABC的周长l．

18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，AB=AC．

（Ⅰ）证明：AD⊥CE；

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，

（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．

19．（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2． （Ⅰ）设bn=

．证明：数列{bn}是等差数列；

n

（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn． 20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．

方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．

求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．

21．（12分）（2010?全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=﹣x+ax+1﹣lnx． （Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．

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2

22．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知|同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

|、|

|、|

|成等差数列，且

与

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2008年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据根式有意义的条件求函数的定义域．

【解答】解：∵函数y=，

∴1﹣x≥0，x≥0， ∴0≤x≤1， 故选D．

【点评】此题主要考查了函数的定义域和根式有意义的条件，是一道基础题． 2．（5分）

【考点】等可能事件的概率．

【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可． 【解答】解：大于2小于5的数有2个数，

∴p1==；

投掷一次正面朝上的概率为，

两次正面朝上的概率为p2=×=，∵＞，

∴p1＞p2． 故选B．

【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．两个独立事件的概率=两个事件概率的积． 3．（5分）

【考点】二项式定理的应用．

2

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式中x的系数

【解答】解：，

故选项为为C．

【点评】本题主要考查了利用待定系数法或生成法求二项式中指定项． 4．（5分）

【考点】导数的几何意义．

【分析】欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．

/22

【解答】解：y=3x﹣2，切线的斜率k=3×1﹣2=1．故倾斜角为45°． 故选B． 【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．

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5．（5分）

【考点】向量加减混合运算及其几何意义．

【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．

【解答】解：∵由∴∴

．

，

，

故选A

【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的 6．（5分）

【考点】同角三角函数基本关系的运用．

【分析】把三角函数式整理，平方展开，合并同类项，逆用正弦的二倍角公式，得到y=Asin（ωx+φ）的形式，这样就可以进行三角函数性质的运算．

2

【解答】解：∵y=（sinx﹣cosx）﹣1 =1﹣2sinxcosx﹣1 =﹣sin2x，

∴T=π且为奇函数， 故选D 【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角的六种三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．单在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义． 7．（5分）

【考点】等比数列．

【分析】由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解． 【解答】解：由a2+a3=q（a1+a2）=3q=6， ∴q=2，

∴a1（1+q）=3， ∴a1=1，

6

∴a7=2=64． 故选A．

【点评】本题主要考查了等比数列的通项及整体运算． 8．（5分）

【考点】反函数．

【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．

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【解答】解：∵∴

，∴，

∴答案为A，

【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法． 9．（5分）

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】先根据诱导公式将函数则进行平移即可得到答案． 【解答】解：∵

只需将函数y=sin2x的图象向左平移

化为正弦的形式，再根据左加右减的原

，

个单位得到函数

的图象．

故选A．

【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题． 10．（5分）

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果． 【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r

故选D．

【点评】本题考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，是基础题． 11．（5分）

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；

法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦． 【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，

所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2， 则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，

所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D=

=，

所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为

==；

（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，

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如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D， 故DA=

，

=

故B1E=

，

由勾股定理得A1D=

如图作A1S⊥AB于中点S， 易得A1S=

，所以AB1=

=2

，

所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE=故选B．

=．

【点评】本题考查了几何体的结构特征及线面角的定义，还有点面距与线面距的转化，考查了转化思想和空间想象能力． 12．（5分）

【考点】排列及排列数公式．

【分析】填好第一行和第一列，其他的行和列就确定，因此只要选好第一行的顺序再确定第一列的顺序，就可以得到符合要求的排列． 【解答】解：填好第一行和第一列， 其他的行和列就确定，

32

∴A3A2=12， 故选B

【点评】排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）

【考点】简单线性规划．

【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．

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【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x﹣y有最大值9．

【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想． 14．（5分）

【考点】抛物线的应用．

2

【分析】先根据抛物线y=ax﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．

【解答】解：由抛物线y=ax﹣1的焦点坐标为

，则

2

坐标原点得，

与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0） ，则以这三点围成的三角形的面积为

故答案为2 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问题的能力． 15．（5分）

【考点】椭圆的定义．

【分析】令AB=4，椭圆的c可得，AC=3，BC=5依据椭圆定义求得a，则离心率可得． 【解答】解：令AB=4，则AC=3，BC=5 则2c=4，∴c=2，2a=3+5=8

∴a=4，∴e=故答案为．

【点评】本题主要考查了椭圆的定义．要熟练掌握椭圆的第一和第二定义． 16．（5分）

【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．

【分析】本题考查了立体几何中的折叠问题，及定义法求二面角和点到平面的距离，我们由已知菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C为120°，及菱形的性质：对角线互相垂直，我们易得∴∠AOC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，解△AOC后，OC边的高即为A点到平面BCD的距离． 【解答】解：已知如下图所示：

设AC∩BD=O，则AO⊥BD，CO⊥BD， ∴∠AOC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角

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∴∠AOC=120°，且AO=1， ∴d=1×sin60°=

故答案为：

【点评】根据二面角的大小解三角形，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AOC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，通过解∠AOC所在的三角形求得∠AOC．其解题过程为：作∠AOC→证∠AOC是二面角的平面角→利用∠AOC解三角形AOC，简记为“作、证、算”．

三、解答题（共6小题，满分70分） 17．（10分）

【考点】余弦定理． 【分析】（I）由图及已知作CD垂直于AB，在直角三角形BDC中求BC的长． （II）由面积公式解出边长c，再由余弦定理解出边长b，求三边的和即周长． 【解答】解：（I）过C作CD⊥AB于D，则由CD=bsinA=4，BD=acosB=3

∴在Rt△BCD中，a=BC==5

（II）由面积公式得S=×AB×CD=×AB×4=10得AB=5 又acosB=3，得cosB= 由余弦定理得：b=

=

=2

△ABC的周长l=5+5+2=10+2 答：（I）a=5；（II）l=10+2

【点评】本题主要考查了射影定理及余弦定理． 18．（12分）

【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．

（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小． 【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O， ∵AB=AC，∴AF⊥BC．

又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．

再根据 ，可得∠CED=∠FDC．

又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，

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