二次函数之平行四边形存在性问题攻略 祝林华
更新时间:2023-12-10 00:21:01 阅读量: 教育文库 文档下载
二次函数之平行四边形存在性问题攻略
祝林华
(四川省广安市邻水县邻水实验学校,638500)
二次函数综合题是全国各省市每年必考的中考题型,与二次函数有关的存在性问题更是必考题型。笔者就以平行四边形的存在性为例,谈谈研究这类题型的基本思路和解题技巧。
在平行四边形有关存在性问题中,常会遇到这样两类探究性的问题:(1)已知三点的位置,在二次函数上或在坐标平面内找一动点,使这四点构成平行四边形(下文出现时简称“三定一动”);(2)已知两个点的位置,在二次函数上或在坐标平面内找两个动点,使这四点构成平行四边形(下文出现时简称“两定两动”);平行四边形的这四个点有可能是定序的,也有可能没有定序;由于定序较为简单,所以笔者就不再举例说明。学生在拿到这类题型时常常无从下笔,比较典型的两种错误:一是确定动点位置时出现遗漏,而是在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解。实际上,这类题型的解法是有章可循的,就是要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。 一、基本思路:
(1)分清题型(属于三定一动还是两定两动,因为这两种题型的分类标准有所
不同);
(2)分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置); (3)利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)。可以把存在
性问题的基本思路叫做“三步曲”:一“分”二“作”三“算”。 二、平行四边形题型攻略:
(1)如果为“三定一动”,要找出平行四边形第四个顶点,则符合条件的有3
个点;这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形,过每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生所要求的3个点;
(2)如果为“两定两动”,要找出平行四边形第三、四个顶点,将两个定点连
成定线段,将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。 三、平行四边形解题技巧:
(1)若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示,则直接利用坐标系中平行四
边形的基本特征:即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解;
(2)若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示,则利用列方程组解图
形交点的方法解决;
(3)灵活运用平行四边形的中心对称的性质,也可使问题变得简单.
例1:如1:已知抛物线y??x2?2x?3与X轴交于A、B两点(点A在点B的左
侧),与y轴交于点C,顶点为P.若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
图1 图2 解题思路:“三步曲”
①“分清题型”:根据题目要求,确定为平行四边形存在性问题中“三定一动” 题型;
②“分类讨论且作图”:分析定点、动点,挖掘不变特征;A、C、P为定点,M 为坐标平面内一动点动点,确定位置的方法是:将以三个定点为顶点画?APC, 过每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生的交点位置就是M点; ③“利用几何特征计算”:分析几何特征,建等式求解点M坐标。 解:(1)确定位置:如图2
①以A、C、P三个定点为顶点画?APC;
②过点A作PC的平行线,过点P作AC的平行线,过点C作AP的平行线;三条直线相交于M1,M2,M3; (2)代数法求解点M的坐标:
如图2:设点M1(m,n),利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等可得:
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