2.2.4 点到直线的距离

张喜林制

2.2.4 点到直线的距离

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考点知识清单

1．点到直线的距离公式设P(x1,y1)是平面上一点，直线l:Ax By C 0(AB不同时为零），则P到L的距离d

2．平行线之间的距离公式

两条平行线l1:Ax By C1 0与l2:Ax By C2 0（A、B不同时为零）之间的距离d 要点核心解读

1． 点到直线的距离

点P(x1,y1)到直线Ax By C 0的距离

d |Ax1 By1 C|

A B22

(1)如果给出的方程不是一般式，应先将方程化为一般式方程．

(2)若点P在直线上，点P到直线的距离为零，距离公式仍然成立．

(3)求点到直线的距离的计算步骤：

①给点的坐标赋值：x1 ?,y1 ?,

②给A、B、C赋值：A ?,B ?,C ?; ③计算d |Ax1 By1 C|

A B22;

④给出d的值．

(4)点到几种特殊直线的距离．

①点P(x0,y0)到x轴的距离d

y0|;

②点P(x0,y0)到y 轴的距离d |x0|;

③点P(x0,y0)到直线y a的距离d |y0 a|;

④点P(x0,y0)到直线x a的距离d |x0 a|.

2．两条平行直线间的距离

两条平行直线l1:Ax By C1 0与l2:Ax By C2 0的距离为

d |C1 C2|

A B22

典例分类剖析

考点1 求点到直线的距离

命题规律

已知点和直线，求点到直线的距离．

[例1] 求点P(3，-2)到下列直线的距离：

(1)3x 4y 1 0; (2)y 6; (3)y轴.

[答案] (1)根据点到直线的距离公式得

d |3 3 4 ( 2) 1|

32 ( 4)2 18; 5

(2) ∵ 直线y 6平行于x轴，

d |6 ( 2)| 8;

(3)d |3| 3.

母题迁移 1．求两平行线l1:3x 4y 10和l2:3x 4y 15的距离．

考点2 求直线的方程

命题规律

已知距离，求直线方程．

[例2] 求与直线l:5x 12y 6 0平行且到L的距离为2的直线的方程．

[答案] 设所求直线的方程为5x 12y C 0.在直线5x 12y 6 0上取一点P0(0,),点P0到直线5x 12y C 0的距离为 12

1 C||C 6|d 2, 22135 ( 12)| 12

则C 32或C 20.

故所求直线的方程为

5x 12y 32 0或5x 12y 20 0.

[点拨] 本题还可利用两条平行直线5x 12y 6 0和5x 12y C 0的距离为2这一条件，结合两条平行线之间的距离公式求出C，亦可获解．

母题迁移 2．在△ABC中，A(3,3),B（2, 2),C( 7,1),求∠A的平分线AD所在直线的方程． 考点3 最值问题

命题规律

(1)已知直线方程，求目标函数z (x a)2 (y b)2的最小值．

(2)求过定点的直线到另一定点的距离最远的直线方程．

[例3] 两条互相平行的直线分别过点A(6,2).、B( 3, 1),并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．

(1)求d的变化范围；

(2)求当d取最大值时，两条直线的方程．

[答案] (1)设两条平行直线的斜率为k，则两直线的方程分别为l1:y 2 k(x 6),l2:y 1 k(x 3).

即kx y 6k 2 0,l2:kx y 3k 1 0.

d |3k 1 6k 2|

k 12 3|3k 1|k 12,整理得：

(81 d2)k2 54k 9 d2 0,

由k R,知 542 4 (81 d2)(9 d2) 0 0 d .

(2)当k不存在时，两直线方程分别为x 6和x 3,其距离为9．而9 3,所以dmax , 且当d 时，k 3,此时直线l1、l2的方程分别为3x y 20 0和3x y 10 0.

22[例4] 设x 2y 1,求x y的最小值．

22[答案] 如图2-2-4-1，方程x 2y 1表示直线AB的方程，x y表示原点O与直线AB上的点

2P(x，y)的距离的平方即|OP|.

显然，当OP⊥AB，即P与图中的C点重合时，x y取得最小值． 22

|OC| | 1|

222 1,

1 5

x2 y2的最小值是|OC|2

[点拨] 本题的外形是代数问题，通过建立x 2y 1与直线AB、x2 y2与线段OP的对应关系，使代数的抽象获得了几何的形象，这就是数形结合思想的具体体现．

母题迁移 3．已知在△ABC中，A(1,1),B(m,m),(1 m 4)C(4,2),求m为何值时，△ABC的面积S最大。

考点4 对称问题

命题规律

两直线关于点P(a，b)中心对称，求其中一条直线的方程，或求两平行直线的对称中心的轨迹．

[例5] 求直线y 4x 1关于点M(2，3)对称的直线方程．

[解析] 若两条直线关于定点M对称，则其中一条直线上的任意一点关于M的对称点在另一条直线上．运用中点坐标公式，可用两个对称点中的一点的坐标表示出另一个点的坐标，这是思路一．

由中心对称的定义可知，若两条直线关于定点M对称，则它们是一对与定点M的距离相等的直线，运用两平行线的斜率相等及点到直线的距离公式，即可求出所求直线的方程，这是思路 二．

根据两点确定一条直线，在已知直线上任取两个点，求出这两个点关于M的对称点，进而求出所求直线的方程，这是思路三．

[答案] 解法一：设P（x，y）是所求直线上的任意一点，Q(x0,y0)为P点关于M(2，3)的对称点，

x0 x 2, x0 4 x, 2则p点在直线y 4x 1上，即y0 4x0 1,且 解得 y 6 y 0 y0 y 3, 2

代入y0 4x0 1,得6 y 4(4 x) 1.

∴ 所求直线的方程为4x y 21 0.

解法二：将已知直线的方程y 4x 1化为4x y 1 0.

由题意可知，所求直线与已知直线平行，且点M(2，3)到两直线的距离相等．

设所求直线的方程为4x y C 0,则

|4 2 3 C|

4 122 |4 2. 3 1|4 12,整理得|C 11| 10.

解得C 21或C 1（舍去）．

∴ 所求直线的方程为4x y 21 0.

解法三：在已知直线上取两个点(0，1)、（1，-3），则

(0，1)关于(2，3)的对称点为(4，5)，（1，-3）关于(2，3)的对称点为(3，9).

过点(4，5)、(3，9)的直线方程为

y 5x 4 ,即4x y 21 0, 9 53 4

∴ 所求直线的方程为4x y 21 0.

[点拨] 解法一是代入法，是求轨迹方程的常用方法，具有普遍意义．本题给出了求直线关于定点的对称直线方程的三种基本解法，关键是中心对称图形对称条件的运用．

母题迁移 4．已知直线l:y 3x 3,求：

(1)点P(4，5)关于L的对称点坐标；

(2)直线y x 2关于L的对称直线的方程；

(3)直线L关于点A(3，2)的对称直线的方程．

优化分层测讯

学业水平测试

1．已知点(3，m)到直线x y 4 0的距离等于1，则m等于( )

3A. B. C. D.3或

2．点P在直线x y 4 0上，O为坐标原点，则| OP|的最小值是( )．

A B.22 C.6 D.2

3．到直线3x 4y 1 0的距离为2的点的轨迹方程是( )．

A.3x 4y 11 0 B.3x 4y 11 0

C.3x 4y 11 0或3x 4y 9 0

D.3x 4y 11 0或3x 4y 9 0

4．过点A（-3，1）的直线中，与原点距离最近的直线方程是

5．两平行直线l1:3x 4y 5 0,l2:6x 8y 15 0,则这两条平行线间的距离为

6．过P(1，2)引直线，使A(2，3)、B（4，-5）到它的距离相等，求这条直线的方程．

高考能力测试

（测试时间：45分钟测试满分：100分）

一、选择题（5分×8 =40分）

1．到直线2x y 1 0的距离为5

的点的轨迹是( )．

A．直线2x y 2 0 B．直线2x y 0

C．直线2x y 0或直线2x y 2 0

D．直线2x y 0或直线2x y 2 0

2．两平行线分别过点A(3，0)和B(O，4)，它们之间的距离d满足的条件是( )．

A.0 d 3 B.0 d 4 C.0 d 5 D.3 d 5

3．若0

2,点(1,cos )到直线x sin y.cos 1 0的距离是1

4,则这条直线的斜率是( )

A.1 B. 1 C.3

D.

4．过两直线x 3y 1 0和3x y 0的交点，并与原点的距离等于1的直线有( )．

A．O条 B.l条 C.2条 D．3条

5．已知直线3x 2y 3 0与直线6x my 1 0互相平行，则它们之间的距离为( )．

A.2 B 5 C.4 D.7

6．若点（1，a）到直线x y 1 0的距离是32

,则实数a为( )．

A. 1 B.5 C. 1或5 D. 3或3

7．抛物线y x2上的点到直线4x 3y 8 0的距离的最小值为( )．

A.4

3 B.7

5 C.8

5 D.3

8．（2008年全国卷Ⅱ）原点到直线x 2y 5 0的距离为( )．

A.1 B.3 C.2 D.5

二、填空题（5分x4 =20分）

9．若x、y 满足ax by c 0(a2 b2 0),则x2 y2的最小值是10.P在直线3x y 5 0上，且P到直线x y 1 0的距离等于2,则点P的坐标为

11．已知定点叙0，1），点B在直线x y 0上运动，当线段∣AB∣最短时，点B的坐标是

．

12.将直线x 2y 1 0沿y轴的负方向平移1个单位后得到直线L，则L关于原点对称的直线方程是 ，L关于x轴对称的直线方程是 ．

三、解答题（10分x4 =40分）

13.已知直线l1与l2的方程分别为7x 8y 9 0,7x 8y 3 0,直线L平行于l1,直线L与l1的距离为

d1,与l2的距离为d2,且

d11 ,求直线L的方程． 22

14．已知直线L过点P(2，3)，且L和两条平行直线l1:3x 4y 7 0与l2:3x 4y 8 0分别相交于

A、B两点，当|AB| 32对，求直线L的方程．

15.已知正方形的中心G点的坐标为（-1，0），一边所在直线的方程为x 3y 5 0,求其他三边所在直线的方程．

16．已知三条直线l1:2x y a 0(a 0),l2: 4x 2y 1 0,l3:x y 1 0,且l1与l2的距离

(1)求a的值；

(2)能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的;③点P到的距离与点P到ll的距离之比是l3若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由，2:5.

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