高中力学竞赛模拟题竞赛题八

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练习八

1.(10分)如图10所示，质量为M的物块静止于光滑水平面地面上，物块的左端连接一水平轻弹簧，弹簧的劲度系数为k。质量为m的另一物块以速度ν0向M正对运动,m接触弹簧后将弹簧压缩.已知弹簧缩短x后的弹性势能为

,m接触弹簧到把弹簧压缩至

最短经过的时间为t,求在这段时间t内M的位移L=?

2、如图所示，质点以初速度v0自水平面的O

点抛出，欲使该质点用最短时间到达与水平面成α的平面AB,应用多大的抛射角θ抛射？ V03、圆环放在光滑水平面上，有一甲虫，质量与环相等，沿环爬行，相对环的角速度为ω0 ，求θαBO甲虫在环上爬行一周，环的角位移。

4、（20分）经过天文望远镜长期观测，人们在

图 1宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分

布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。

现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。

1、试计算该双星系统的运动周期T计算。

2、若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测∶T计算= 1∶N，（N ＞1）。为了解释T观测和T计算的不同，目前由一中流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

5、如图所示，四个质量均为m的

D质点，用同样长度且不可伸长的轻绳

联结成菱形ABCD。静止放在水平光

A滑的桌面上。若突然给质点A一个历

C2α时极短沿CA方向的冲击，当冲击结v束的时刻，质点A的速度为V，其它质点也获得一定速度，∠BAD = 2α

B(α＜π/4 ＝。求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。图复13 - 36、有一个用伸缩性极小且不漏气的布料制作的气球（布的质量可忽略不计），直径为 d = 2.0米。球内充有压强p0=1.005×105帕的气体。该布料所能承受的最大不被撕破力为

fm= 8.5×103牛顿/米（即对于一块展平的1米宽的布料，沿布面而垂直于布料宽度方向所

A施加的力超过8.5×103牛顿时，布料将被撕破）。开始时，气球被置于地面上，该处的大气压强为pa0=1.000×105帕，温度T0= 293开。假设空气的压强和温度均随高度而线性地变化，压强的变化为?p= - 9.0 帕/米，温度的变化为?T= - 3.0×10?3开/米，问该气球上升到多高时将破裂？

假设气球上升很缓慢，可认为球内温度随时与周围空气的温度保持一致。在考虑气球破裂时，可忽略气球周围各处和底部之间空气压强的差别。

7、为研究在月球上跳高问题，课题研究组的同学小李、小王、小华，在望江楼图书馆的多媒体阅读室里，上多媒体宽带网的“世界体坛”网站，点播了当年朱建华破世界纪录的精彩的视频实况录像。并就“朱建华在月球上能跳多高？”展开了相关讨论。

解说员：“??各位观众你们瞧，中国著名跳高选手朱建华正伸臂、扩胸、压腿做准备活动，他身高1．83米。注意了：他开始助跑、踏跳，只见他身轻如燕，好一个漂亮的背跃式，将身体与杆拉成水平，跃过2．38米高度，成功了！打破世界纪录。全场响起雷鸣般的掌声??”

小李：朱建华真棒！如果他在月球上还能跳得更高一些．

小王：对。据我们所学的万有引力知识可知，他在月球上的重力加速度g 月是地球上的重力加速度g 地的六分之一；那么他在月球上的重量将是地球上重量的六分之一，因此他在月球上能跳过的高度将是地球上能跳过高度的6倍，由2．38 X 6＝14．28米，即朱建华在月球上能跳过的高度是14．28米。

小华：你的分析是：“力为地球上的六分之一，则跳过的高度为地球上的6倍”，理由似乎不够确切。我认为应从功和能的关系思考问题，我设朱建华在踏跳时，脚蹬地弹力做功为W弹，对于同一个未建华来说，不论是在月球上还是地球上，W弹都是相同的，可以计算出朱建华在月球上能跳过的高度也是14。28米。

老师：小华的计算还有问题，在重心计算时没有注意到著名的“黄金律”，这是一条普适律。现给你们介绍如下：

公元前6世纪数学家华达可拉斯发现0.618的比率叫做黄金律又叫黄金比，人体的新陈

000

代谢，生理节凑，生理功能的最佳环境温度23C，这是由于37C×0.618≈23C的缘故。标准身高用黄金分割得肚脐眼，脐眼以上分割得肩膀，肩膀以上分割得鼻眼，脐眼以下分割得膝盖，上长肢跟下长肢的比≈0.618，下长肢跟身高之比≈0.618等等。

各位参加竞赛的同学，请注意以上的讨论，求出朱建华在月球上能跳多高？

8.如图三所示,在一根与水平面成α角的固定光滑细杆上，套有一质量为m1的小环A，小环通过一根长为L的细线与质量为m2

A 的小球B连接，试求：

(1) 系统从A、B间的细线为竖直位置静止释放瞬间，线上张力多大？（2系统从A、B间细线与细杆成多大锐角处静止释放后，细线将不发生摆动？

图三

α 练习八答案

2?(R?H)1 从而解得：T?()2??????? （10）4分 2v01??2.θ= arctg(ctgα) 3.θ= －

2? 334、1、双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度率为v，向心加速度满足下

v2GM2面的方程： M?2

L/2L（1）

v?GM （2） 2L周期 T计算?2??L/2v1N??L2L （3） GM2．根据观测结果，星体的运动周期 T观测?T计算＜T计算（4）

这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其它指向中心的作用力。按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M?位于中点处的质点相同。考虑暗物质作用于后双星的速度即为观察到的速度 v观，则有

2v观GM2MM?M?2?GL/2L?L/2?2?5?

v观?G?M?4M??2L?6?因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（4）式得

111? （7） v观Nv把（2）、（6）式代入（7）式得

M??N?1M （8） 4设所求暗物质的密度为ρ，则有

4N?13??L/2???M34 （9）

3?N?1?M故??2?L35、由对称性可知，C点的速度也必沿CA方向，设其大小为vC。D的速度可以分解为平行于v和垂直于v的分速度，其大小分别设为vD1和vD2。同样，B的速度也类似地分解为平行和垂直于v的二个分速度，其大小设为vB1和vB2 ，如图复解13 - 3所示，根据对称性，必有

由于绳子不可伸长，A沿DA的分速度和D沿DA的分速度一定相等，C沿CD的分速度和D沿CD的分速度也相等，即

vcos??vD1cos??vD2sin?vCcos??vD1cos??vD2sin?vD1AvDvD2vB2vCvB1?vD1vB2?vD2

?1? ?2?αvB1CB图复解13 - 3

?3? ?4?另一方面，设绳子AD给质点D的冲量的大小为I1，绳子DC给质点C冲量大小为I2。注意到绳子DC给质点D的冲量的大小同样也是I2（各冲量的方向均沿绳子方向）。由对称性还可以判定，绳子AB给质点B的冲量的大小也是I1，绳子BC给质点B和C的冲量的大小都是I2，根据动量定理，可分别列出关于质点D平行和垂直于v的方向以及质点C平行于v方向的关系式如下：

mvD1?I1cos??I2cos??5?mvD2?I1sin??I2sin? ?6?

?7?mvC?2I2cos?由（3）~（7）式可解出本题所需的 vD1和vD2、vC

vD1?v/(1?2sin2?)vD2?vsin2?/(1?2sin2?) vC?vcos2?/(1?2sin2?)据此结果和（1）、（2）式，此系统的总动量为

P?mv?2mvD1?mvC?4mv/(1?2sin2?) ，方向沿CA方向。

此系统的总动能为

E?EA?EB?EC?ED?1m?v2?2v2D1?2v2D2?v2C2??2mv2/?1?2sin2??

6、当气球充满气体而球内压强大于球外时，布料即被绷紧，布料各部分之间产生张力，正是这种张力可能使布料被撕裂。设想把气球分成上下两个半球，它们的交线是一个直径为d的圆周，周长为πd，所以要从这条交线处撕破气球，至少需要的张力为fm??d，另一方面，考虑上半球（包括半球内的气体）受力的情况，它受到三个力作用：

1、下半球的球面布料所施加的张力F；

2、上半球外空气对它的压力的合力，其大小为?d2pa/4，pa是气球所在高度处的大气压强；

3、下半球内气体对它的压力为?d2p/4，式中p为气球内气体的压强。忽略浮力时，上述三力相互平衡，即

?d2p/4 = ?d2pa/4 + F

而当F ＞fm??d时，布料即被撕裂，所以，气球破裂的条件是

?d2?p?pa?/4＞fm??d （1）

设气球破裂发生在高度h处，则

pa?pa0??ph （2）

而该处温度 T?T0??Th （3）这个温度也就是破裂时气球内气体的温度。又因为气球在上升过程中球内气体是等容变

化，所以有 p / T = p0/T0

即 p = p0T/T0 （4）（2）、（4）和（3）式代入（1）式，得

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