专题134 直接证明与间接证明(教学案)-2015年高考数学(理)一轮复

更新时间:2023-03-08 04:59:32 阅读量: 教学研究 文档下载

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一、课前小测摸底细

1.【人教A版教材习题改编】p=ab+cd,q=ma+nc·的大小为( ).

A.p≥q B.p≤q C.p>q D.不确定

bd+(m、n、a、b、c、d均为正数),则p、qmn

2. 【基础经典试题】用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①A?B?C?90??90??C?180?,这与三角形内角和为180?相矛盾,A?B?90?不成立;②所以一个三角形中不能有两个直角;③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角,不妨设A?B?90?;正确顺序的序号为 ( )

A.①②③ B.③①② C.①③② D.②③①

3.【2014山东省淄博市模拟】设a,b,c?(??,0),则a?A.都不大于?2 B.都不小于?2

111,b?,c?( ) bcaC.至少有一个不大于?2 D.至少有一个不小于?2

4.【2014全国1高考理第14题】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市; 乙说:我没去过C城市. 丙说:我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________

5.【改编题】6-22与5-7的大小关系是______________.

二、课中考点全掌握

考点:直接证明与间接证明 【题组全面展示】

【1-1】否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为( ). A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数

D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数

【1-2】分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.等价条件

【1-3】设a,b是两个实数,给出下列条件:

①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a+b>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是( ) A.②③ B.①②③ C.③ D.③④⑤

2

2

【1-4】下列表述:①综合法是执因导果法;②分析法是间接证法;③分析法是执果索因法;④反证法是直接证法.正确的语句是__ __ .

【1-5】分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证 b?ac<3a”索的因应是( )

A.a-b>0 B.a-c>0

C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0

2

综合点评:综合法是:从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,要求逐步推理,实际上是寻找它的必

要条件.分析法是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,即从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,即把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止.用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,

即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.

【基础知识重温】

1.直接证明 (1)综合法:

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.

综合法的思维特点是:由因导果,即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式,推出结论的一种证明方法.

框图表示:P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Qn?Q (2)分析法:

从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法. 分析法的思维特点是:执果索因;

分析法的书写格式: 要证明命题Q为真,只需要证明命题P1为真, 从而有……,这只需要证明命题为真,从而又有…… 这只需要证明命题P为真,而已知P为真,故命题Q必为真

框图表示:Q?P1→P1?P2→P2?P3→…→得到一个明显成立的条件. 2.间接证明

反证法:要证明某一结论A是正确的,但不直接证明,而是先去证明A的反面(非A)是错误的,从而断定A是正确的,即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法.

【方法规律技巧】要求丰富,资料中有很多,结合到一起,进行整合.

1. 明晰三种证题的一般规律 (1)综合法证题的一般规律:

用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐步推出结论. (2)分析法证题的一般规律:

分析法的思路是逆向思维,用分析法证题必须从结论出发,倒着分析,寻找结论成立的充分条件.应用分

析法证明问题时要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件. (3)反证法证题的一般规律:

反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是A,或者是非A.即在同一讨论过程中,A和非A有且仅有一个是正确的,不能有第三种情况出现. 2.综合法证题的思路:

3.分析法证题的技巧:

(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.

(2)证明较复杂的问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论,然后通过综合法由条件证明这个中间结论,从而使原命题得证. 4.反证法证明问题的一般步骤:

(1)反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)

(2)归谬:将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)

(3)立论:因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成立,从而肯定了原命题成立.(命题成立)

注意:可能出现矛盾四种情况:①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中,推出自相矛盾的结论.

5.反证法是一种重要的间接证明方法,适用反证法证明的题型有:(1)易导出与已知矛盾的命题;(2)否定性命题;(3)唯一性命题;(4)至少至多型命题;(5)一些基本定理;(6)必然性命题等.

【新题变式探究】

【变式一】?ABC的三个内角A,B,C成等差数列,求证:

ca??1 a?bb?cbc?c2?a2?ab?1 【解析】要证原式成立,只要证2ab?b?ac?bc222222即证bc?c?a?ab?ab?b?ac?bc,即c?a?b?ac?0

而三个内角A,B,C成等差数列,A?C?2B,B?600,b2?a2?c2?ac上式成立 故原式大成立.

【变式二】已知数列?an?中,a1?1,an?1?an(n?N*). an?3(1)求证:??11???是等比数列,并求?an?的通项公式an; ?an2?n(2)数列?bn?满足bn?(3?1)?*nnn?a(?1)??T?,数列的前n项和为,若不等式对一??bTnnnn2n2n?1切n?N恒成立,求?的取值范围.

【综合点评】综合法是一种由因导果的证明方法,即由已知条件出发,推导出所要证明的等式或不等式成立.因此,综合法又叫做顺推证法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法,这就要保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的正确性.逆向思考是用分析法证题的主要思想,通过反推,逐步

寻找使结论成立的充分条件,正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.

三、易错试题常警惕

易错典例:证明:如果a>b>0,那么

=

易错分析:采用反证法证明时,反面情况不全面,本题忽略

温馨提醒:(1)利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推理过程是错误的.

(2)用分析法证明数学问题时,要注意书写格式的规范性,常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P,再说明所要证明的数学问题成立.

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/bzp.html

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