三角函数与平面向量
更新时间:2023-10-20 01:03:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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三角函数与平面向量
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来源:《数学金刊·高考版》2013年第03期
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三角函数与平面向量交汇的试题屡见不鲜,颇为流行,呈现方式可大(解答题)可小(填空题和选择题). 若是小题,一般难度不大,主要考查基本概念和基本公式,是送分题;若是大题,则对基本公式的理解记忆能力、变形能力、运算能力等提出了一定的要求. ■
解答三角函数与平面向量交汇的试题时,一定要熟悉向量的数量积的定义和性质,合理选用向量数量积的运算法则构建相关等式,然后运用与此相关的三角函数知识点进行解题,并要注意方程思想的运用. ■
■ 已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),b=(-cosωx-sinωx,2■·cosωx),设函数f(x)=a·b+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈■,1. (1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若已知y=f(x)的图象经过点■,0,求函数f(x)在区间0,■上的取值范围. 破解思路 先通过向量数量积的坐标运算,整理、化简成单一三角函数表达式f(x)=2sin2ωx-■+λ. 然后代入对称轴方程x=π,求出ω;再根据三角函数y=Asin(ωx+φ)+B的周期公式T=■求解第(1)问. 对于第(2)问,代入点■,0求出λ,得到三角函数表达式y=2sin■x-■-■,再根据x的取值范围求出函数f(x)的取值范围.
经典答案 (1)由已知得f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2■sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+■sin2ωx+λ=2sin2ωx-■+λ.
由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得sin2ωx-■=±1,所以2ωπ-■=kπ+■(k∈Z),即ω=■+■(k∈Z). 又ω∈■,1,k∈Z,所以k=1,故ω=■. 所以f(x)的最小正周期是■.
(2)由y=f(x)的图象过点■,0,得f■=0,即λ=-2sin■×■-■= -2sin■=-■,即λ=-■. 故f(x)=2sin■x-■-■,由0≤x≤■,有-■≤■x-■≤■,所以 -■≤sin■x-■≤1,得-1-■≤2sin■x-■-■≤2-■,故函数f(x)在0,■上的取值范围为[-1-■,2-■].
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