【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业：5-3 平面向量的数量积]

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课时作业(三十)

1．(2012·辽宁)已知两个非零向量a，b，满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )

A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| 答案 B

解析 由|a＋b|＝|a－b|，两边平方并化简，得a·b＝0.又a，b都是非零向量，所以a⊥b.

2．若|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ＝150°，则a·(a－b)＝( ) A．1 C．7 答案 C

3解析 a·(a－b)＝a2－a·b＝4－23×(－2＝7.故选C.

→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的3．(2013·福建)在四边形ABCD中，AC面积为( )

A.5 C．5 答案 C

→·→＝(1,2)·→⊥BD→.故四边形ABCD的对角线互相解析 ACBD(－4,2)＝0，故AC1→→1垂直，面积S＝2|AC|·|BD|＝25×25＝5，选C.

→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|

4．(2014·潍坊模拟)已知平面上三点A、B、C满足|AB→·→＋BC→·→＋CA→·→的值等于( ) ＝5，则ABBCCAAB

A．25 C．－25 答案 C

→|2＋|BC→|2＝|CA→|2，

解析 ∵|AB

B．24 D．－24 B．25 D．10 B．－1 D．－7 D．a＋b＝a－b

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→→→→∴AB⊥BC，即AB·BC＝0.

→·→＋BC→·→＋CA→·→＝CA→(BC→＋AB→)＝CA→·→＝－CA→2＝－25. ∴ABBCCAABAC35．(2014·郑州第一次质检)若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝2，则向量a，b的夹角为( )

A．30° C．60° 答案 C

3解析 ∵(a＋b)·b＝b2＋a·b＝1＋a·b＝2

11∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2cos〈a，b〉＝2〈a，b〉＝60°.故选C. 6．若△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量p＝(a＋b，c)，q＝(a－b，c－a)，若|p＋q|＝|p－q|，则角B的大小是( )

A．30° C．90° 答案 B

解析 由|p＋q|＝|p－q|，可得p2＋2p·q＋q2＝p2－2p·q＋q2，化简得p·q＝0，

222

a＋c－b

又由p·q＝(a＋b，c)·(a－b，c－a)＝a2－b2＋c2－ac＝0，可得cosB＝2ac

B．45° D．90°

B．60° D．120°

1

，故选B.

2，由B∈(0，π)，可得B＝60°

7．(2014·哈尔滨模拟)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：( )

2πp1：|a＋b|>1 θ∈[0，3)； 2π

p2：|a＋b|>1 θ∈(3，π]； π

p3：|a－b|>1 θ∈[0，3)； π

p4：|a－b|>1 θ∈(3，π]； 其中的真命题是( )

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A．p1，p4 c．p2，p3 答案 A

B．p1，p3 D．p2，p4

解析 |a＋b|>1 (a＋b)2>1，而(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cosθ>1， 12ππ∴cosθ>－2，解得θ∈[0，3)，同理，由|a－b|>1 (a－b)2>1，可得θ∈(3，π]．

8．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于( ) A.5 C．5 答案 C

解析 由a＝(1,2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5. ∵|a－b|＝25，∴a2－2a·b＋b2＝20.

∴5－2×5＋b2＝20.∴b2＝25.∴|b|＝5，故选C. 9．关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： ①若a·b＝a·c，则b＝c；

②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3；

③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°. 其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号) 答案 ②

1k解析 对于①，向量在等式两边不能相消，故①不正确；对于②，有＝6，

－2得k＝－3，故②正确；对于③，根据平行四边形法则，可得a与a＋b的夹角为30°，故③不正确．故填②.

π

10．(2013·江西)设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为3a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的投影为________．

5答案 2

a·b

解析 向量a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝|b|又a·b＝(e1＋3e2)·2e1

B．25 D．25

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152

＝2e1＋6e1·e2＝2＋6×5，|b|＝|2e1|＝2，∴|a|·cos〈a，b〉＝2

2

11．(2012·安徽)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________． 9

答案 －8

解析 由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a29＋b2＝|2a|2＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－8，当且仅当2a＝－b时取等号．

12．(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则→→→→DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．

答案 1 1 解析

以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，→→→→C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以DE·CB＝(1，a)·(1,0)＝1，DE·DC＝(1，a)·(0,1)→·→的最大值为1. ＝a≤1.故DEDC

13．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝________.

答案 6

解析 (a＋2b)·(a－3b)＝－72 |a|2－a·b－6|b|2＝－72. 因为a·b＝|a|·|b|cos60°＝2|a|，所以|a|2－2|a|－24＝0. 所以(|a|＋4)(|a|－6)＝0，所以|a|＝6.

14．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|；

→＝a，AC→＝b，作△ABC，求△ABC的面积．

(3)若AB

答案 (1)120° 1337 3 解析 (1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61，

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得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

∵|a|＝4，|b|＝3，代入上式求得a·b＝－6. －6a·b1∴cosθ＝|a|·|b|4×32又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°. (2)可先平方转化为向量的数量积． |a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a＋b|＝13.

同理，|a－b|＝a－2a·b＋b37.

(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值． 由(1)知∠BAC＝θ＝120°， →|＝|a|＝4，|AC→|＝|b|＝3，

|AB

1→→

∴S△ABC＝2AC|·|AB|·sin∠BAC 1

＝2×3×4×sin120°＝33.

π

15．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e23，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的范围．

14141

答案 (－72∪(－2，－2)

解析 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 化简即得2t2＋15t＋7<0， 1解得－7<t<－2.

当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0， 但此时夹角不是钝角． 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，

2te1＋7e2 · e1＋te2

，

|2te1＋7e2||e1＋te2|

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2t＝λ，

可求得 7＝λt，

λ<0，

λ＝－∴ t＝－

，142.

14141

∴所求实数t的范围是(－7，－2)∪(－2，－2)．

16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →－tOC→)·→＝0，求t的值． (2)设实数t满足(ABOC11答案 (1)BC＝42，AD＝10 (2)－5

→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则AB→＋AC→＝(2,6)，AB→

解析 (1)方法一：由题设知AB→＝(4,4)． －AC

→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42. 所以|AB

故所求的两条对角线的长分别为42，210.

方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则E为线段BC的中点，E(0,1)．

又E(0,1)为线段AD的中点，A(－1，－2)，所以D(1,4)． 故所求的两条对角线的长分别为BC＝42，AD＝210. →＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．

(2)由题设知OC

→－tOC→)·→＝0，得(3＋2t,5＋t)·由(ABOC(－2，－1)＝0. 11从而5t＝－11，所以t＝－5→·→ABOC11→·→＝tOC→2.AB→＝(3,5)，t＝

或者：ABOC＝－.

5→|2

|OC

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