量子力学补充习题

量子力学补充习题集

物理系理论物理教研室

2010年3月

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第一章 量子力学的实验基础

1-1 求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。

?，问这相1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m-2.s-1，假设太阳平均辐射波长是5500A当于多少光子？

1-3 一个质点弹性系统，质量m=1.0kg，弹性系数k=20N.m-1。这系统的振幅为0.01m。若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n为何？若n变为n+1，则能量改变的百分比有多大？

?和2450A?的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v与1.26v。设电子电荷及光速均1-4 用波长为2790A已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。

?的光投射到铝表面，试问：1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev能量，今有波长为2000A（1）由此发射出来的光

电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？

1-6 康普顿实验得到，当x光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x光原来的波长，??为散射后的波长。试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为????????量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角）

1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。

1-8 能量为15ev的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？

1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？

1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。

1-11 讨论受热He原子束为简单立方晶格（d??2?）所衍射。在什么温度下He原子的衍射才是明显的。

4???sin2 其中m为电子质mc2第二章 波函数和薛定谔方程

2-1 设粒子的波函数为?(x,y,z)，求在（x,x?dx）范围内发现粒子的几率。

2-2 设在球坐标系中粒子的波函数可表为：?(?,?,?)。试表出在球壳（?,??d?）中找到粒子的几率。 2-3 沿直线运动的粒子的波函数?(x)?发现粒子，而该处的几率密度为何？

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1?ix。（1）试将ψ归一化。（2）画出几率分布曲线。（3）在何处最易

1?ix2?it??Axe??xe2,(x?0)2-4 作一维运动的粒子处在?(x,t)??的状态中，其中λ＞0。（1）将此波函数归一化，试说明

?0,(x?0)?如其在t=0时刻归一化了，那么在以后的任何时刻都是归一化的。（2）粒子的几率分布函数为何？ 2-5 判断下列波函数所描写的状态是否定态？

（1）?1(x,t)?u(x)eiix?Et?E1t??v(x)e?u(x)eiix?Et? E2t?

（2）?2(x,t)?u(x)e（3）?3(x,t)?i?i,(E1?E2)

iEt?u(x)e?i?Et?u(x)e?。

2-6 由下列定态波函数计算几率流密度：（1）?1?1ikr1e （2）?2?e?ikr从所得的结果说明?1表示向外传rr播的球面波，?2表示向内（向原点）传播的球面波

2-7如在势能U(r)上加一常数，则其薛定谔方程的定态解将如何变化？试说明此变化后为何不能观察到（选择无穷远处的U为零）。

2-8 设体系的波函数为?(x,t)?Ae应是怎样的函数？

?ax2?i?t?，式中A，?和?为常数。为使此波函数满足定态薛定谔方程，U(x)??????22?????U(r)?的两个解，证明??1*?2dt与时间无关。 2-9 设?1(r,t)和?2(r,t)是薛定谔方程i??t2m第三章 简单体系定态薛定谔方程的解

3-1 设粒子在无限深方势阱中运，能量的量子数为n，试求：（1）距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子的几率是多少？（2）n取何值在此处找到粒子的几率最大？（3）当n??时，这个几率的极限是多少？这个结果说明了什么问题？

3-2 设原子或分子中的电子可以粗略地看作是一维无限深势阱中的粒子，并设势阱宽度为1?，试求：（1）两个最低能级间的间隔；（2）电子在这两个能级间跃迁时发出的波长。 3-3 试将一维自由粒子的定态波函数eipx/?和e?ipx/?组合成具有确定宇称的波函数。

3-4 对于任意势垒，试证明粒子的反射系数R与透射系数T满足R+T=1， （取E＞U0）

3-5 一束粒子入射在一窄势垒（k2a??1）上，如其垒高U0为粒子动能的二倍时，证明在此情况下粒子几乎完全透射过势垒。

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??U0,x?03-6 用以下一维势场模型：U(x)??来研究金属电子的发射，求E>0时的透射系数D。

0,x?0?3-7一势垒的势能为U(x)??垒的几率。

3-8 对于谐振子的基态?0(x)，计算粒子在经典振幅以外出现的几率。

3-9 对于谐振子的第一激发态?1(x)，（1）求振子出现几率最大的位置；（2）求经典振幅A；（3）计算振子在经典振幅以外出现的几率。

?0,x?0 式中U0，A，a均为正数。试估算A

?U(x?a)?2数。

3-13 给定U(x)=–U0δ(x)，求束缚态能级。

第四章 态叠加原理及力学量的算符表示

d24-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) 3x (2) ( )2 (3) ?dx (4) 2dx2?i?1n

?具有下列性质：R?(u?v)?R?u?R?v R?(cu)?cR?u ，4-2 线性算符R式中C是复数。下列算符哪些是线性的？ ?u(x)?e?pxu(x)dx ?u?du （5）E?u?u* （3）C?u?1/u（6）L?u??u,??常数?u?u （4）D（1）A（2）B2?dx0??B?，试问：??B?A?B?)是否厄米算符？ ?,B??B?A?都是厄米算符，但A4-3 若A（1）(A?B?)是否厄米算符？ ??B?A（2）i(Addd2d2,i,42,i2 4-4 证明下列算符哪些是厄米算符：

dxdxdxdx??)??A? （2）(A?B?? ?)??B??A4-5 （1）证明(A—4—

? ??r?p?x（2）L4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）xp??d/dx的情况下，A?不可能有两个以上的逆。又问，算符A?是什么样的算符？ 4-7 试证明任意一个算符A?1???x?x的本征函数和本征值。进而求(p?x?x)2的本征值。 4-8 对于一维运动，求p?有属于本征值为?的本征函数?，且有：k??L?M??M?L??1，证明V?L?M?和L??和U?M??也是4-9 若算符k?的本征函数，对应的本征值分别是??1和??1。 k4-10 试求能使e??x2d22为算符2?Bx的本征函数的?值是什么？此本征函数的本征值是什么？

dx22?的一个本征值，那么?为A?的一个本征值。一般情况下，设f(?)为?的多项式，则4-11 如果?为线性算符A?)的一个本征值。试证明之。 f(?)便为f(A4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。

?)改变一个常数C时，即U(r?)?U(r?)?C时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能4-13 当势能U(r量本征值改变否？

??2x21221/24-14 一维谐振子的势能U(x)?m?x，处于?(x)?(?/2?)e2(2?2x2?1)的状态中，其中

21（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？ ??m?/?，问：

（2）它的动量有没有确定值？

4-15 在时间t?0时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：

?(x,0)?11（a）试求C3的数?0(x)??2(x)?C3?3(x) 式中?n(x)是振子的第n个时间无关本征函数。

52值。（b）写出在t时的波函数。（c）在t?0时振子的能量平均值是什么？在t?1秒时的呢？

4-16 证明下列对易关系：

?,p?p?,y]?L?y?yL??i?z?y]?L????[L[Lxxy?pyLx?i?pzxxx?,p?p?,z]?L?z?zL??i?x， [L?z]?L????[Lyyz?pzLy?i?px

yyy?,x]?L?x?xL??i?y[Lzzz4-17 证明下列对易关系：

?,p?p?x]?L????[Lzzx?pxLz?i?py—5—

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