二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论

编号：

Xxxxxxxx学校

本科毕业论文

二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论

院 系：数学科学系 姓 名：XXXX 学 号：XXX 专 业：XXXX 年 级：2008级 指导教师：XXX 职 称：讲师 完成日期：2012年5月

摘 要

二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.

本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.

关键词：二元函数；连续；偏导数；可微

I I

Abstract

Binary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to clarify the basic concepts of the relationship between the significance for understanding the nature of the binary function, the only way to figure out the binary function continuous partial derivatives and differentiability the relationship between, in order to better take advantage of this paper will focus on the relationships between them to be summarized and discussed, and give proof of application example.

In this thesis, the text introduces binary function continuity, partial derivatives of the Existence and differentiability of basic knowledge. Them a summary of the proof and further discussion, and also summarizes the continuity of the binary function, the partial derivatives exist and micro of simple relations, citing the examples to demonstrate support.

Key words： Dual function; Continuously; Partial derivative; Differentiable

II II

目 录

摘 要.............................................................. I Abstract........................................................... II 引 言.............................................................. 1 1 二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义........................ 2 1.1 二元函数的连续性............................................... 2 1.2 二元函数的可微性............................................... 2 1.3 二元函数的偏导数............................................... 2 2 二元函数三个概念的结论总结及证明.................................. 4 2.1 二元函数连续性的结论总结及证明................................. 4 2.2 二元函数可微性的结论总结及证明................................. 5 2.3 二元函数偏导数存在性的结论总结................................ 10 3 二元函数三个概念之间关系的总结................................... 10 3.1 二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证...................... 10 3.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明.................... 10 3.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明.................... 11 3.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证...................... 12 3.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明............................... 12 3.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明............................... 13 4 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图................... 19 结 束 语........................................................... 20 参考文献........................................................... 21 致 谢........................................................... 22

引 言

二元函数微分学是一元函数微分学的推广,因此它保留了一元函数微分学的许多性质.但由于自变量由一个增加到两个,从而产生了某些本质上的新的内容.如一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点可微,反之亦然.但在二元函数微分学中,函数在某点偏导数存在,推不出它在这点可微.又如,一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点必连续.但在二元函数微分学中,函数在某点的偏导数都存在,却推不出它在这点连续.同时二元函数微分学是高等数学教学中的一个重难点,它涉及的内容实际上是微积分学内容在二元函数中的体现,其中有关二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点.

当前,二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果,但是,在国内的许多教材中只是对它们三者的定义作了说明,而对它们之间的关系很少提及或没有提到,在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略浅显,在一些学术性论文中也只是对二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性的个别关系做了具体的说明,因此在让学生学习这方面的知识时能达到对这方面知识可以做到全面的掌握让是当前教学中的一大难题.

本文具体就二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系通过实例作深入的探讨,就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究,对教材内容做一些适当的补充和扩展,为后继课程的学习奠定基础.然后总结有关二元函数微分学中这关于二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这三个概念之间的关系,并对二元函数具体的实例详细加以证明,建立他们之间的关系图.这样对有效理解和掌握多元函数微积分学知识将起到重要作用.

1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/byy5.html