2012年高三数学一轮复习资料第八章 平面向量第八章 综合能力检测

第八章 综合能力检测

一、选择题（第小题5分，共40分）

1．向量i=（1，0），j=（0，1），下列向量中与向量3i?j垂直的是（ ）

A．2i?23j

3j)(

B．?i?3j C．2i?3j D．?i?3j

答案：B (?i?

3i?j)=0所以选B

2．已知向量a??4,3?,b???1,2?，若向量a?kb与a?b垂直，则k的值为

A．

233（ ）

B．7 C．?115 D．?233

答案：A (a?kb)(a?b)=5(4?k)?(3?2k)?0

??????????????????????????13．设OM?(1,)，ON?(0,1)，则满足条件0?OP?OM?1，0?OP?ON?1的动点

2P的

变化范围（图中阴影部分含边界）是

yy （ ）

yy21021101x?11x012x?201x A． B． C． D． ?????????????????答案：A 设P点坐标为(x,y)，则OP?(x,y).由0?OP?OM?1，0?OP?ON?1得

?0?2x?y?2，在平面直角坐标系中画出该不等式组表示的平面区域即可，选A． ?0?y?1?4．如图，非零向量OA?a,OB?b且BC?OA,C为垂足,若OC??a,则?? （ ）

a?b|a|2 A． B．a?b|a||b| C．a?b|b|2 D．|a||b|a?b ????????????????????????????????????????2答案：A解析：BC?OA即BC?OC?(OC?OB)?OC?0?|OC|?OB?OC?0

- 1 -

???2即?|a|??a?b?0可得答案A

25．在四边形ABCD中，AB=a+2b，BC=－4a－b，CD=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边

形ABCD为（ ） A.平行四边形

B.矩形

C.梯形

D.菱形

答案： C 解析∵AD=AB?BC?CD=－8a－2b=2BC，∴AD//BC. ∴四边形ABCD为梯形.

????????6．已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb (λ，μ∈R)那么A，B，C三点

共线的充要条件为( )

A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1

????????答案：D 解析： A，B，C三点共线即存在实数k使得AB=kAC即λa＋b=k（ a＋μb）

所以有λa=ka ， b=kμb，即λ=k， 1=kμ 故选D

7．已知向量a?(m,n)，b?(cos?,sin?)，其中m,n,??R.若|a|?4|b|，则当a?b??恒成立时实数?的取值范围是 A．??

C．?2或???2

2 （ ）

B．??2或???2 D．?2???2

m?n222???2

答案：B 由已知得|b|?1，所以|a|?a?b?mco?s?nsi?n??4，因此

222m?nsi?n?(?)?4si?n?(?)?4，由于a?b??恒成立，

2所以??4，解得??2或???2.

8．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v?(4,?3)（即点P的运动方向与v相同，且每

秒移动的距离为v个单位）．设开始时点P的坐标为（－１０，１０），则５秒后点P的坐标为（ ）

A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）

??????????????答案：C 设5秒后点P运动到点A,则PA?PO?OA?5V?(20,?15),

????∴OA?(20,?15)?(?10,10)=(10,-5).

二、填空题（第小题5分，共30分，其中13~15是选做题，选做两题）

9．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，

??

- 2 -

????????????若AB?i?kj，AC?2i?j，且∠C=90°则k的值是 ;

????????????????????答案：由平面向量的坐标表示可得：AB?(1,k),AC?(2,1),CB?AB?AC?(?1,k?1),

????????????????由AC?CB，得AC?CB?2???1??1??k?1??k?3?0,k?3.

????????????10．若菱形ABCD的边长为2，则AB?CB?CD?__________。

????????????????????????????????????答案：2 AB?CB?CD?AB?BC?CD?AC?CD?AD?2

????????11．已知向量AB?(4,0),AC?(2,2),则AC与BC的夹角的大小为 .

????????????????????????????AC?BC解析：．?BC?(?2,2),cos?AC,BC???????????0,??AC,BC??90?

ACBC

12．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c =a???2?a?a?则向量a与c的夹角为 ; ?b，

?a?b??a??a?b?= a·a- a·a = 0，

答案：

a?a?a 由题意得a·c = a·?b?= a·a - ?a??a?b?a?b因此a与c的夹角是

?2.

，已知两个向量OP1??cos?,sin??，

13．（选做题）设0???2?OP2??2?sin?,2?cos??，则向量P1P2长度的最大值是 ;

?????答案：P1P2?(2?sin??cos?,2?cos??sin?), ????? P1P2?2(2?cos?)?2sin??2210?8cos??18?32 ?????14．（选做题）设向量a与b的夹角为?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，则cos?? ． ??????解析：设向量a与b的夹角为?,且a?(3,3),2b?a?(?1,1)∴b?(1,2)，则

??a?b9co?s????32?a?b=531010.

15．（选做题）P是△ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是△ABC的（ ）

答案：垂心

由PA?PB?PB?PC得PA?PB?PB?PC?0.

- 3 -

即PB?(PA?PC)?0,即PB?CA?0， 则PB?CA,同理PA?BC,PC?AB 所以P为?ABC的垂心.

三、解答题（共80分）

16．（本题满分13分）已知A,B,C是三角形ABC三内角，向量m=(-1,3),n=(cosA,sinA),

且m·n=1. 求角A;

? m·n=1，?(?1,3)?(cosA,sinA)?1?3sinA?cosA?1,即…（4分）

2(sinA?32?cosA?12)?1,sin(A??5?6?6)?12,?（7分）

?0?A??,??6?A??6（,?9分）?A??6??6,?A??3。…（13分）

17．（本题满分13分）已知开口向上的二次函数f(x)，对任意x?R，恒有

f(2?x)?f(2?x)成立，设向量

a=(x?2?2x?1,1)，b=(1,2)。求不等式f(a·b)

由题意知f(x)在?2，???上是增函数，…（1分）

? a·b=x?2?2x?1?2?2 …（2分） ? f(a·b)

43① 当x??2时，不等式(*)可化为?(x?2)?(2x?1)?3,?x??此时x无解；…（6分） ② 当?2?x?此时0?x?③ 当x?此时

12121212，…（5分）

时，不等式(*)可化为x?2?(2x?1)?3,?x?0,…（8分） ；…（9分）

23时，不等式(*)可化为x?2?2x?1?3,?x?23，…（11分）

?x?。…（12分）

23综上可知：不等式f(a·b)

18．（本题满分14分）已知向量a是以点A(3，－1)为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的

单位向量，求a的终点坐标

- 4 -



解：设a的终点坐标为（ｍ，ｎ）……1分 则a＝（ｍ－3，ｎ＋1）……3分

??3(m?3)?4(n?1)?0①

由题意? ……6分 22②

?(m?3)?(n?1)?1由①得：ｎ＝

2

14（3ｍ－13）代入②得……7分

25ｍ－15Oｍ＋2O9＝O ……9分 1911??m?,m?,12????55解得?……13分 或??n??2.?n??8.12??55??∴a的终点坐标是（

195,?25)或(115,?85)……14分

??19．（本题满分14分）已知a?(1,x),b?(x2?x,?x),m为实数，

??2??求使m(a?b)?(m?1)a?b?1?0成立的x的范围.

??解： a?b?x2?x?x2?x

?m(a?b)2?(m?1)a?b?1?0?mx10当m=0时，x＞1…………………６分 20当m≠0时，m(x?1m)(x?1)?0 1m1m2?(m?1)x?1?0………４分

①m＜0时，x?1或x?②0＜m＜1时，1?x?…………………8分 ……………10分

③m=1时， x 不存在………………………12分 ④m＞1时，

20．（本题满分14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a?(?1,2)，又点

A(8,0),B(n,t),C(ksin?,t)(0???1m?x?1……………………………14分

?2)

- 5 -

????????(1)若AB?a,且|AB|?????????5|OA|，求向量OB；

????????????(2)若向量AC与向量a共线，当?4时，且tsin?取最大值为4时，求OA?OC

????????解: (1)AB?(n?8,t),?AB?a?8?n?2t?0……2分

又??????????2225|OB|?|AB|,?5?64?(n?3)?t?5t,得t??8 ……４分

???????? ?OB?(24,8)或OB?(?8,?8)……6分 ????(2)AC?(ksin??8,t)

???? ?AC与a向量共线, ?t??2ksin??16……8分

?tsin??(?2ksin??16)sin???2k(sin???k?4,?1?k4?0,?当sin??kk4)?232k

32k432??????4，得k?8，此时??,OC?(4,8)……12分 由k6?????????OA?OC?(8,0)?(4,8)?32 （14分）

时，tsin?取最大值为 （10分）

21．（本题满分12分）已知向量a?(cosx,sinx),b?(?cosx,cosx),c?(?1,0). （1）若x??6??,求向量a,c的夹角； ,9?8??]时，求函数f(x)?2a?b?1的最大值。

??? （2）当x?[解：（1）当x??2?6时， ??a?c???|a|?|c|?cosxcos5?62??cos?a,c??………………2分

(?1)?022x?sin2x???cosx??cos?6?cos.………………3分

???0??a,c???,

??5???a,c??.……………………5分

6??2（2）f(x)?2a?b?1?2(?cosx?sinxcosx)?1…………7分

?2sinxcosx?(2cos2x?1)

- 6 -

?sin2x?cos2x??x?[?2x?2sin(2x??4)……………………9分

?2,9?8?[], 3?4,2?]……………………10分

?4故sin(2x?∴当2x?

?4?4)?[?1.3?422],

?,即x??2时,f(x)max?1.……………………12分

- 7 -

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