离散型随机变量的期望与方差

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11．2 离散型随机变量的期望与方差

高考试题

1．（2005年江苏）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，

9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（D）

A．9.4,0.484 B．9.4,0.016 C．9.5,0.04 D．9.5,0.016 提示：本题考查了统计数据中平均数、方差有关概念、公式及有关计算等：

7个数据中去掉一个最高分和一个最低分后，余下的5个数为：9.4，9.4，9.6，9.4， 9.5，则平均数为：x?s29.4?9.4?9.6?9.4?9.5522?9.46?9.5，即x?9.5，方差为：

2?15[(9.4?9.5)?(9.4?9.5)?????(9.5?9.5)]?0.016，即 s2?0.016，故

选D.

2．（2005年全国卷三）设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取?22,?3，

5252?,0,,3,22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望

Eξ= .

[答案]

47

13提示：原点到过点（0，1）且斜率为?22、22的直线的距离为

12；原点到过点（0，

52521）且斜率为?3、3的直线的距离为的直线的距离为

1?1?123；原点到过点（0，1）且斜率为?、；原点到过点（0，1）且斜率为0的直线的距离为1．故1?2?2?14233?．

773．（2005年天津）某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，

E??332?一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：

投资成功 192次

投资失败 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元） [答案]4760 提示：分布列为

? 0.6 -2.5 第 1 页

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P

故E??0.6?192200?2.5?8200192200 8200 ． ?4760（元）

4．（2001年天津）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球．从中同时取出2个，

则其中含红球个数的数学的期望是__________（用数字作答）．

[答案]

65

提示：含红球个数的分布列是 ξ P 0 1103101 61065.

2 310 数学期望E??0?110?1?610?2??5．（2002年天津）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：5t/hm2）表所示：

品种 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 甲 乙 9.8 9.4 9.9 10.3 10.1 10.8 10 9.7 10.2 9.8 则其中产量比较稳定的小麦品种是______________．

[答案]甲种 6．（2003年天津）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、

A3，B队队员是B1，B2，B3．按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 A1对B1 A2对B2 A2对B3

232525133535 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A队，B队最后所得总分分别为ξ，η，

（1）求ξ，η的概率分布； （2）求Eξ，Eη．

[解析]（1）ξ，η的概率分布分别是

ξ P η P 0 3251 252 28753 875 0 875?1?251 ?0?287535?2 2215253 325 （2）E??3?875?2?2875，

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又∵????3,∴E??3?E??2315.

7．（2004年湖北）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发

生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件

不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．

（总费用=采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值） [解析]①不采用预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120（万元）；

②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.l=40（万元），所以总费用为45＋40=85（万元）；

③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30＋60=90（万元）； ④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30=75（万元），发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75＋6=81（万元）．

综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．

128．（2005年北京）甲、乙俩人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为

的概率为

2,乙每次击中目标

3 （1）记甲击中目标的次数为?,求?的概率分布及数学期望E?； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． [解答]（1）P(ξ＝0)＝C3()?201318，

P(ξ＝1)＝C3()?P(ξ＝3)＝C3()?231133818P(ξ＝2)＝C3()?221338，

21， ，

3 ξ的概率分布如下表：

Eξ＝0?18?1?38ξ P 0 18?2?381 18382 383 1218 ?3??1.5, （或Eξ=3·

3=1.5）； ；

（2）乙至多击中目标2次的概率为1－C3()=

3231927 （3）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事

件B1，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B2，则A＝B1＋B2，且B1，B2

为互斥事件．

P(A)?P(B1)?P(B2)?3827?1?121??， 8924第 3 页

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所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为

124．

9．（2005年重庆）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50

元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

（1）该顾客中奖的概率；

（2）该顾客获得的奖品总价值?（元）的概率分布列和期望E?． [解答]方法一： （1）P?I?C6C2210?1?1545?23，即该顾客中奖的概率为

23；

（2）?的所有可能值为：0，10，20，50，60（元），

C6CC32 且P(??0)?210?131,P(??10)?C3C6C21011?252，

2P(??20)?C1012?15,P(??50)?C1C6C10211?15，

P(??60)?C1C3C2101?115

故?有分布列：

? 0 1310 1325?10?20 1152550 11521560 215115P 115?16.

从而期望E??0?方法二： （1）P??20??50??60?(C4C6?C4)C210112?3045?23,

（2）?的分布列求法同解法一，

由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值E?=2×8=16（元）．

10．（2005年湖南）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．

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（1）求ξ的分布及数学期望；

（2）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率．

[解答]（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件A1，A2，A3.

由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，P（A3）=0.6， 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.

相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0， 所以?的可能取值为1，3，

P（?=3）=P（A1·A2·A3）+ P（A1?A2?A3） = P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1)P(A2)P(A3)） =2×0.4×0.5×0.6=0.24， P（?=1）=1－0.24=0.76， 所以?的分布列为 E?=1×0.76+3×0.24=1.48. ； （2）方法一 因为f(x)?(x?2

? 1 0.76 3 0.24 P 32?)?1?32294?,

2所以函数f(x)?x?3?x?1在区间[?,??)上单调递增， 要使f(x)在[2,??)上单调递增，当且仅当??2,即??2343.

从而P(A)?P(??43)?P(??1)?0.76.

方法二：?的可能取值为1，3.

当?=1时，函数f(x)?x?3x?1在区间[2,??)上单调递增， 当?=3时，函数f(x)?x?9x?1在区间[2,??)上不单调递增.0 所以P(A)?P(??1)?0.76.

2211．（2005年广东）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比

为ｓ：ｔ．现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次．以?表示取球结束时已取到白球的次数．

（1）求?的分布列；

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（2）求?的数学期望．

[解答]（1）ξ的可能取值为：0、1、2、…、n， ξ的分布列为 ξ P 0 ss?t1 st(s?t)22 st23… … n?1 n stn?1n(s?t)(s?t) tnn(s?t) （2）?的数学期望为

ss?tst(s?t)2st2 E??0??1??2?st23(s?t)?...?(n?1)?stn?1n?1(s?t)n?n?tnn(s?t)（1）

ts?tE??st2233(s?t)?ts(s?t)t?...?(n?2)st(s?t)n?1n?1?(n?1)st(s?t)n?1?ntn?1n?1(s?t)（2）

（1）?(2)得E??[1?(s?t)]．

125n12．（2005年福建）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与2，投中得1分，投不

中得0分．

（1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和ξ的数学期望；

（2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率． [解答]（1）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B， 则P(A)?12,P(B)?25,P(A)?12,P(B)?35.

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0、1、2，则ξ概率分布为：

ξ P E??0?

310?12?2?1?0 31091051 122 15 ，

910即每人在罚球线各投球一次，两人得分之和ξ的数学期望为；

（2）“甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中”的事件是“甲、乙

两人在罚球线各投球二次，这四次投球均未命中”的事件C的对立事件，

9?1??1??2??3?而P?C??C20?????C22?????，

100?2??2??5??5?0202∴甲、乙两人在罚球线各投球二次，

这四次投球中至少一次命中的概率为1?P?C??91100，

91100即甲、乙两人在罚球线各投球二次，这四次投球中至少一次命中的概率为．

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13．（2005年全国卷二）甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙

队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令?为本场比赛的局数．求?的概率分布和数学期望．（精确到0.0001）

[解答]单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4， 比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局， 因而P（?＝3）＝0.63?0.43?0.28，

比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜，

因而P（?＝4）＝C32?0.62?0.4?0.6＋C32?0.42?0.6?0.4?0.3744，

比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜， 因而P（?＝5）＝C42?0.62?0.42?0.6＋C42?0.42?0.62?0.4?0.3456， 所以?的概率分布为

? 3 4 5 P

0.28 0.3744 0.3456 P（?＝3）＋4×P（?＝4）＋5×P（?＝5）＝4.0656， ?的期望E?＝3×

14．（2005年浙江）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的

概率是

13，从B中摸出一个红球的概率为p．

（1）从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． （i）求恰好摸5次停止的概率；

（ii）记5次之内(含5次)摸到红球的次数为?，求随机变量?的分布率及数学期望E?． （2）若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是

25，求p的值．

22

18?1??2?[解答]（1）（i）C42????????，

33381????（ii）随机变量?的取值为0，1，2，3； 由n次独立重复试验概率公式Pn?k??Cnpkk?1?p?n?k，得

1?32?0； P???0??C5??1???3243??5第 7 页

共21页

1?80?， P???1??C???1???3?3?2431514

1?80?1??2， P???2??C5?????1???3?243?3??32?80?2171?17?1??（或P???3??1?）， ?P???3??C?????1???2432433?243?3??353223

随机变量?的分布列是

? 0 1 80243?1?2 80243802433 1724317243P

?的数学期望是E??3224332243 ?3?13181?0?80243?2?；

（2）设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球， 1

由3m?2mp3m?25，得p?1330．

15．（2005年湖北）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4

次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次

为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数?的分布列和?的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率．

[解答]?的取值分别为1，2，3，4.

??1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（??1）=0.6，

??2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故P(??2)?(1?0.6)?0.7?0.28.

ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故

P(??3)?(1?0.6)?(1?0.7)?0.8?0.096.

ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故

P(??4)?(1?0.6)?(1?0.7)?(1?0.8)?0.024.

∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为 ξ P 1 0.6 2 0.28 第 8 页

3 0.096 4 0.024 共21页

∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.

李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1-0.8)(1－0.9)=0.9976. 16．（2005年江西）A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当

出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9

次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设?表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求?的取值范围； （2）求?的数学期望E?.

?|m?n|?5?[解答]（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则?m?n??，

?1???9?

可得：当m?5,n?0或m?0,n?5时,??5;当m?6,n?1或m?1,n?6时,??7；

当m?7,n?2或m?2,n?7时,??9;所以?的所有可能取值为:5,7,9.

（2）P(??5)?2?()?2P(??9)?1?116?564?556415232?116，P(??7)?2C5()?2116?7?564?9?5564?11756427532，

.

,E??5?17．（2005年全国卷一）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，

若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，

则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）

[解答]因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1?0.5)?所以甲坑不需要补种的概率为1?1?7318，

88107303个坑都不需要补种的概率C3?()?()?0.670，

8811721恰有1个坑需要补种的概率为C3?()?()?0.287，

88，

恰有2个坑需要补种的概率为C3?()?()?0.041，

88212713个坑都需要补种的概率为C3?()?()?0.002

8831370补种费用?的分布为

? 0 10 20 30 第 9 页

共21页

P ?的数学期望为 0.670 0.287 0.041 0.002 E??0?0.670?10?0.287?20?0.041?30?0.002?3.75． 18．（2005年辽宁）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而

成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种

产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．

（1）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的 甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；

（2）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η 分别表示一件甲、乙产品的利润，在（1）的条 件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

（3）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60 万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量， 在（2）的条件下，x、y为何值时，

z?xE??yE?最大？最大值是多少？

（解答时须给出图示） [解析]本小题主要考查相互独立事件的概率、 随机变量的分布列及期望、线性规划模型的 建立与求解等基础知识，考查通过建立简单 的数学模型以解决实际问题的能力： （1）P甲?0.8?0.85?0.68，

P乙?0.75?0.8?0.6；

率 产品 甲 乙 概 工序 第一工序 0.8 0.75 第二工序 0.85 0.8 润 产品 甲 乙 利 等级 一等 5（万元） 二等 2.5（万元） 2.5（万元） 1.5（万元） 用 项目 量 产品 甲 乙 工人（名） 资金（万元） 8 2 8 10 （2）随机变量?、?的分别列是

? 5 0.68 2.5 0.32 ? 2.5 0.6 1.5 0.4 P P 5?0.68?2.5?0.32?4.2, E??2.5?0.6?1.5?0.4?2.1， E???5x?10y?60,?（3）由题设知?8x?2y?40,目标函数为

??x?0,?y?0.?

18题图

z?xE??yE??4.2x?2.1y.

作出可行域（如图）： 作直线l: 4.2x?2.1y?0,

将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上

的点M点与原点距离最大，

第 10 页

共21页

此时z?4.2x?2.1y取最大值.，

?5x?10y?60,?8x?2y?40.

解方程组?

得x?4,y?4.即x?4,y?4时，z取最大值，z的最大值为25.2．

19．（2004年福建）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能

答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行

测试，至少答对2题才算合格．

（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

[解析]求期望首先确定ξ的分布列，至少有一人合格，既可用直接法，也可用间接法解． （1）依题意，甲答对题数ξ的分布列为 ξ P E??0?130?1?310?2?120 130?3?161 95. 3102 123 16 ?（2）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，则

P(A)?C6C4?C6C103213?23,P(B)?C8C2?C8C103213?1415.

∴甲、乙两人至少有一人合格概率为P?1?P(A?B)?4445．

20．（2004年全国）一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占

线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望．

[解析]（1）P(??0)?0.52?0.62?0.09,

P(??1)?C2?0.5?0.6?C2?0.5?0.4?0.6?0.3,12212

P(??2)?C2?0.5?0.6?C2C2?0.5?0.4?0.6?C2?0.5?0.4?0.37,P(??3)?21C2C22222112222

?0.5?0.4?0.5?2212C2C2?0.5?0.4?0.2,22P(??4)?0.5?0.4?0.04. ∴ξ的概率分布列为 ξ P 0 0.09 1 0.3 2 0.37 3 0.2 4 0.04 ∴E??0?0.09?1?0.3?2?0.37?3?0.2?4?0.04?1.8．

训练试题

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??1,A发生1．设一随机试验的结果只有A和A，且P(A)=m，令随机变量???，则ξ的方

??0,A不发生

差Dξ=（D）

A．m

B．2m(1－m) C．m(m－1) ξ P 0 1－m 2D．m(1－m)

提示：随机变量ξ的分布列为 1 m 2

∴E??0?(1?m)?1?m?m,∴D??(0?m)?(1?m)?(1?m)?m?m(1?m)，

∴应选D．

A．Eξ=3.5，Dξ=3.52 C．Eξ=3.5，Dξ=3.5

2．设掷一颗骰子的点数为ξ，则（B）

B．Eξ=3.5，Dξ=

35123516

D．Eξ=3.5，Dξ=

提示：这是一个离散型均匀分布，由考题17可得B答案正确，故选B．

3．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中

后尚余子弹数目的期望为（C）

A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4

提示：ξ=k表示第（4－k）次命中目标，其分布列为P(ξ=3)=0.6，P（ξ=2）=0.4×0.6， P(ξ=1)=0.42×0.6，P（ξ=0）=0.43×0.6，∴Eξ=3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6=2.376．

故选C．

4．利用下图盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_________． 自然状况 S1 S2

S3 [答案]A3 方案 盈利 概率 0.25 0.30 0.45 A1 50 65 26 A2 70 26 16 A3 －20 52 78 A4 98 82 －10 提示：计算A1、A2、A3、A4的数学期望：Eξ1=0.25×50＋0.3×65＋0.45×26=43.7； Eξ2=0.25×70＋0.3×26＋0.45×16=32.5；Eξ3=0.25×(－20)＋0.3×52＋0.45×78=45.7； Eξ4=0.25×98＋0.3×82＋0.45×(－10)=44.6，比较知选A3．

1n[(x1?x)?(x2?x)???(xn?x)]是（A）

222?，xn，那么5．已知n个数据x1，x2，

A．S

2

B．S C．S* D．S*

2提示：由数据方差的定义得正确选项为A．

6．袋中有7个白球、3个红球，现采取不放回的方式取球，直到取出白球为止.以?表示取

球的次数，则E?=（A）

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A．

118 B．

710 C．

730 D．

116

提示：?的分布列为

? 1 7103102 793103 29784 A3A3P ? ?? 310 再由数学期望的定义求得正确选项为A．

相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇到红灯次数的数学期望为（B）

7．某人从家乘交通车到单位，途中有3个交通岗亭，假设在各个交通岗亭遇红灯的事件是

A．1.1

B．1.2

C．1.3

D．1.4

提示：设该人在上班途中遇到的红灯次数是?，则??B(3，0.4)，∴E??3?0.4?1.2，故选B．

8．某人射击时，击中目标的概率为p(0?p?1)，规定他击中目标时，应立即停止射击，?表示他的射击次数，则E?=（C）

1213

A． B． C．

1p D．

11?p

k?1提示：分布列P(??k)?(1?p)k?1p(k?1，2，?)，∴E??p?k(1?p)，选C．

k?19．若?的分布列如右表所示：其中p?（0，1），则（B）

A．E??p，D??pq B．E??q，D??pq C．E??p，D??1?p D．E??q，D??1?p

22? 0 p 1 q P 提示：E??0?p?1?q?q，而由已知分布列的性质有p?q?1，∴D??(0?q)p?(1?q)q?qp?pq?pq(p?q)?pq，故选B．

222210．E(??E?)的值为（A）

A．0

B．1

C．E?

D．2E?

提示：常数的数学期望是它本身，∴E(E?)?E?，故得正确选项为A．

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11．已知随机变量?的期望E??4，且随机变量??2??5，则E??（D）

A．4

B．8

C．9

D．13

提示：E(2??5)?2E??5，故选D．

12．下列说法正确的是（C） A．离散型随机变量的期望反映了该变量取值的概率的平均值

B．离散型随机变量的方差反映了该变量取值的平均水平 C．离散型随机变量的期望反映了该变量取值的平均水平 D．离散型随机变量的方差反映了该变量取值的概率的平均值 提示：由概念得正确选项为C．

13．已知随机变量?的方差D??4，且随机变量??2??5，则D?=（C）

A．4

B．13

C．16

D．20

提示：由D(a??b)?a2D?得正确选项为C．

14．D(??D?)的值为（C）

A．0

B．1

C．D?

D．2D?

提示：D?是一个常数，而常数的方差等于零，∴D(??D?)?D??0，选C．

15．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个，以ξ表示取到的白球个数，η表示取到的

黑球个数，则（D） A．Eξ=Eη且Dξ=Dη B．Eξ=3-Eη且Dξ=3-Dη

C．Eξ=Eη且Dξ=3-Dη

D．Eξ=3-Eη且Dξ=Dη

2提示：∵????3，∴??3??，∴E??3?E?，且D??(?1)D?，故选D．

216．设离散型随机变量?满足E???1，D??3，则E[3(?

A．36

提示：∵D??3?E?B．30

2?2)]?（D）

C．9

22D．6

2?(E?)?E??1，∴E??4，故得正确选项为D．

17．从某批零件中抽出50个，然后再从这50个中抽出40个进行产品检查，发现合格产品

有36个，则该批产品的合格率为（C）

A．36% B．72% 提示：合格率为

3640C．90% D．25%

，选C．

?，k8的方差为3，2(k2?3)，?，2(k8?3)的方差为18．若随机变量k1，k2，则2(k1?3)，（B）

A．3

2B．12 C．6 D．0

提示：即求2Dk，故选B．

20．（2002年江西省南昌市模拟题）已知随机变量?的期望E?=4，方差D?=1，则?=2?＋

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5的期望E?=___________，方差D?=_________．

[答案]13，4

提示：直接利用期望和方差的性质求解：∵E(a??b)?aE??b，

2∴E??E(2??5)?2E??5?2?4?5?13，又∵D(a??b)?aD?，

∴D??D(2??5)?4D??4．

21．（2003年临汾模拟题）甲、乙两人独立解出某一道题的概率相同，已知该题被甲或乙解

出的概率为0.36．求：

（1）甲独立解出该题的概率； （2）解出该题的人数?的数学期望． [解析]首先要列出解题人数的分布列：

（1）设甲、乙独立解出该题的概率均为x，

则该题不能被甲且不能被乙解出的概率为(1－x)2， 由题意知1－(1－x)2=0.36，解得x=0.2； （2）解出该题的人数?的分布列为：

? 0 0.64 1 0.32 2 0.04 P

∴E?=0×0.64＋1×0.32＋2×0.04=0.4．

22．（2003年河南省模拟题）英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对一题得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择，求甲、乙在这次测验中得分的数学期望．

[解析]数学期望反映了随机变量取值的平均水平，要求数学期望首先要得到分布列，由题意可知，本题为二项分布问题．

设甲和乙做题得分分别为随机变量?和?，由题意知： ?～B(80，0.25)，?～B(20，0.25)，

故E?=80×0.25+20×1=40，E?=20×0.25+80×1=85， 故甲、乙期望成绩分别为40分和85分．

23．某运动员投篮命中率P=0.6． （1）求一次投篮命中次数ξ的期望与方差；

（2）求重复5次投篮时，命中次数η的期望与方差．（2003年山东省模拟题） [解析]（1）投篮一次可能投中，或可能不中，投中次数ξ服从两点分布．（2）重复五

次投篮的投中次数ξ服从二项分布：

（1）投篮一次只有两种结果，投篮命中ξ=1，不中ξ=0，其服从两点分布列：

ξ P

0 0.4 1 0.6 则Eξ=0×0.4＋1×0.6=0.6，Dξ=(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6=0.24；

（2）由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布即η～B（5，0.6），

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D??(1?3)??15215?(2?3)?215?(3?3)?215?(4?3)?215?(5?3)?21522222(2?1?0?1?2)?2．

37．某沿江大城市遭特大洪水袭击，江面已开始超出江堤的警戒水位，如果持续一天不退就

可能导致堤毁城亡，如果紧急使用泄洪区，则几十平方千米范围内的居民需撤退，庄稼、房屋、财产遭淹，损失也很大，所以必须马上对是否启用泄洪区作出决策，如果一天内水位下降小于3cm，就必须丢卒保车，引洪水入泄洪区，影响水位的因素很复杂，主要有上游流域的降雨量，下游流域的降雨与排涝，情况如下表：

上游降雨量（ξ1） 概率（P1） 使水位升高（cm） 增大 不变 减小

下游降雨量（ξ2） 概率（P2） 使水位升高（cm） 增大 不变 减小

0.35 0.40 2 －1 0.25 0.45 0.30 3 0.5 －3 －3.5 0.25 另外，流域的几个大型水库若全部开闸吸洪也能使水位下降2.5cm，请帮助决策． [解析]上游使水位升高的期望值为：Eξ1=0.25×3＋0.45×0.5＋0.3×(－3)=0.075． 下游使水位升高的期望值为：Eξ2=0.35×2＋0.4×(－1)＋0.25×(－0.35)=－0.575． 故上游降雨量，下游降雨量与排涝使水位下降的期望为：0.075－0.575=－0.5(cm)． 由于几个大型水库吸洪使水位下降2.5cm，因为2.5＋0.5=3(cm) ． 即一天内能使水位下降3cm，所以可暂不使用泄洪区．

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