2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析

2018年高考数学试题汇编极坐标和参数方程及详细解析

1、（2018年高考数学全国卷I理科22）

（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0， 转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．

（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）． 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．

故：，解得：k=或0，（0舍去）

故C1的方程为：． 2、（2018年高考数学全国卷II理科22）

（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

，（θ为参数），直线

l的参数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），

转换为直角坐标方程为：．

直线l的参数方程为（t为参数）．

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转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0．

（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0，

+=1

则：

由于（1，2）为中点坐标，

，

所以：，

则：8cosα+4sinα=0，

解得：tanα=﹣2，即：直线l的斜率为﹣2． 3、（2018年高考数学全国卷III理科22）

（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为点（0，﹣

）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

，（θ为参数），过

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1， 当α=当α≠

时，过点（0，﹣时，过点（0，﹣

）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立； ）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα?x+

，

∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，

∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1， ∴

或

，

， ）．

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＜1，

综上α的取值范围是（

（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），

），

联立

，得（m2+1）x2+2+2m2﹣1=0，

，

=﹣+2，

=，=﹣，

∴AB中点P的轨迹的参数方程为4、（2018年高考数学天津卷理科12）

，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．

（5分）已知圆x2+y2﹣2x=0的圆心为C，直线于A，B两点，则△ABC的面积为 ．

，（t为参数）与该圆相交

【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0化为标准方程是（x﹣1）2+y2=1，圆心为C（1，0），半径r=1；

直线化为普通方程是x+y﹣2=0，

==

， ×

=．故答案为：． ，

则圆心C到该直线的距离为d=弦长|AB|=2

=2

=2×

∴△ABC的面积为S=?|AB|?d=×

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5、（2018年高考数学北京卷理科10）

（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a= 1+【解答】解：圆ρ=2cosθ， 转化成：ρ2=2ρcosθ，

进一步转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+y2=1，

把直线ρ（cosθ+sinθ）=a的方程转化成直角坐标方程为：x+y﹣a=0． 由于直线和圆相切，

所以：利用圆心到直线的距离等于半径． 则：

=1，

．a＞0则负值舍去．

．

解得：a=1±故：a=1+

．

6、（2018年高考数学江苏卷理科23） 在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（线l被曲线C截得的弦长．

【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，?x2+y2=4x， ∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆． ∵直线l的方程为ρsin（

﹣θ）=2，∴y=4．

，

． ﹣

=2，

﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直

∴直线l的普通方程为：x﹣圆心C到直线l的距离为d=

∴直线l被曲线C截得的弦长为26、（2018年高考数学全国卷I文科22）

（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，

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转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．

（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）． 由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2． 故：解得：k=

，

或0，（0舍去）

．

故C1的方程为：

7、（2018年高考数学全国卷II文科22）

（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为l的参数方程为

，（t为参数）．

，（θ为参数），直线

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率． 【解答】解：（1）曲线C的参数方程为转换为直角坐标方程为：直线l的参数方程为

．

（t为参数）．

（θ为参数），

转换为直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0． （2）把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0， 则：

由于（1，2）为中点坐标， 所以：

，

，

+

=1

则：8cosα+4sinα=0， 解得：tanα=﹣2， 即：直线l的斜率为﹣2．

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8、（2018年高考数学全国卷III文科22）

（10分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为点（0，﹣

）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

，（θ为参数），过

（1）求α的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程． 【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为

（θ为参数），

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1， 当α=当α≠

时，过点（0，﹣时，过点（0，﹣

）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立； ）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα?x+

，

∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点， ∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1， ∴

或

，

， ）．

），

＜1，

综上α的取值范围是（

（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3）， 联立

，得（m2+1）x2+2

+2m2﹣1=0，

，

=﹣+2，

=，=﹣，

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∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）

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